弹性力学总结与复习.

1、弹弹性性力力学学问问题题5个基本假设；个基本假设；15个基本量：个基本量：ijijiu,基本原理基本原理平衡原理平衡原理能量原理能量原理（单元体）（单元体）（整体）（整体）基本方程基本方程控制微分方程控制微分方程（15个）个）边界条件边界条件（6个）个）平衡微分方程（平衡微分方程（3个）：个）：几何方程（几何方程（6个）：个）：物理方程（物理方程（6个）：个）：应力边界条件（应力边界条件（3个）：个）：位移边界条件（位移边界条件（3个）个） ：0,ijijX)(21,ijjiijuuijijXn iiuu 数学上构成偏微分方程的定解问题数学上构成偏微分方程的定解问题求解方法求解方法ijkkij

2、ijE)1 (1求解方法求解方法函数解函数解精确解；精确解；近似解；近似解； （如：基于能量原理的解）（如：基于能量原理的解）数值解数值解（如：有限差分法、有限单元法等）（如：有限差分法、有限单元法等）实验方法实验方法（1）按）按未知量未知量的性质分：的性质分：按位移求解；按位移求解；按应力求解；按应力求解；（2）按采用的）按采用的坐标系坐标系分：分：直角坐标解答；直角坐标解答；极坐标解答；极坐标解答；逆解法；逆解法；半逆解法；半逆解法；（1）平衡方程）平衡方程0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）yYxXxyyx)1 ()(2222（2-

3、23）（3）边界条件：）边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18）（平面应力情形）（平面应力情形）（1）对应力边界问题，且为单连）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。是唯一正确解。（2）对多连通问题，满足上述方）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。件，才是唯一正确解。说明：说明：3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤：常体力下平面问题求解的基本方程与步骤：（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出

4、应力分量：）求出应力分量：),(yx先由方程（先由方程（2-27）求出应力函数：）求出应力函数：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)（3）再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。xyyx,04YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18）uus（2-17）vvs直角坐标下直角坐标下（1） 由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数),(r0112222224rrrr（46）（2） 由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：rr,22r22211rr

5、rrrrr1（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量rr,满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件： ,rsruuuus应力边界条件：应力边界条件：rsrsrkmlkmlssruur,为边界上已知位移，为边界上已知位移，kkr,为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）极坐标下极坐标下4. 平面问题平面问题Airy应力函数应力函数 的选取：的选取：直角坐标下直角坐标下)(yxfy0y)(yfyxyOblx0ygggyxyO极坐标下极坐标下（1） 轴对称问题轴对称问题DCrrBrrA22lnln（411）应力函数应力函数应力分量应

6、力分量CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr（412）位移分量位移分量（4-13）cossin4KIHrEBrusincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。（2） 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题原问题的转换：原问题的转换：问题问题12qrba2cos2qr2sin2qrba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题2cos)(rf2cos1224rDCBrAr)(2fr（3） 楔形体问题楔形体问题 由因次法确定

7、由因次法确定 应力函数的分离变量形式应力函数的分离变量形式（1） 楔顶受集中力偶楔顶受集中力偶xyO22P)(rfxyO22M)(（2） 楔顶受集中力楔顶受集中力（3） 楔形体一侧受分布力楔形体一侧受分布力)(3fr（4） 曲梁问题曲梁问题)()()()(21rfqrfM)()(3rfQr其中：其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，Q分别为梁截面上弯矩与剪力。分别为梁截面上弯矩与剪力。结合应力分量与应力函数的关系确定结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：应力函数：22r)(rfsin)(rfcos)(rf（5） 半平面问题半平面问题PxyOrxyOrM

8、qxyOrqxyOraa)(xqxyOr)(rf)()(2fr)(3fr利用叠加法求解利用叠加法求解（1）一点应力状态分析；）一点应力状态分析；（2）一点应变状态分析；）一点应变状态分析；（3）应力边界条件的列写；）应力边界条件的列写；（圣维南原理的应用）（圣维南原理的应用）第一章第一章 绪绪 论论（1）弹性力学弹性力学与与材料力学）、材料力学）、结构力学结构力学课程的异同。课程的异同。（从研究对象、研究内容、研究方法等讨论）（从研究对象、研究内容、研究方法等讨论）（2）弹性力学弹性力学中应用了哪些基本假定？这些基本假定在建立弹中应用了哪些基本假定？这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用是

9、什么？举例说明哪些使用这些假定？性力学基本方程时的作用是什么？举例说明哪些使用这些假定？（3）弹性力学中应力分量的正负是如何规定的？与材料力学中有何）弹性力学中应力分量的正负是如何规定的？与材料力学中有何不同？不同？第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（1）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。（2）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。（3）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程）时，作了哪）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程）时，作了哪些近似

10、简化处理？其作用是什么？些近似简化处理？其作用是什么？（4）位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？）位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？（5）已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确）已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确定？需要什么条件？定？需要什么条件？（6）已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主）已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主方向？方向？（7）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？如何）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？如何由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、

11、主应变方向？由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？（8）平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？）平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？（9）边界条件有哪两类？如何列写？）边界条件有哪两类？如何列写？（10）何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？）何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？如何利用圣维南原理列写边界条件？如何利用圣维南原理列写边界条件？（11）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。（12）弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？）弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？（13）弹性力学平面问题

12、的变形协调方程有哪些形式？各自的使用条）弹性力学平面问题的变形协调方程有哪些形式？各自的使用条件是什么？件是什么？（14）按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条）按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解为什么不需要满足变形协调方程？为什么不需要满足变形协调方程？（15）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题的正确解？为什么？的正确解？为什么？（16）常体力情况下，如何将体力转化为面力？其

13、意义如何？）常体力情况下，如何将体力转化为面力？其意义如何？（17）何为逆解法？何为半逆解法？）何为逆解法？何为半逆解法？（18）Airy应力函数应力函数 在边界上值的物理意义是什么？应力函数在边界上值的物理意义是什么？应力函数 的的导数：导数： 在边界上值的物理意义是什么？在边界上值的物理意义是什么？yx,第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（1）直角坐标解答适用于什么情况？）直角坐标解答适用于什么情况？（2）应力函数是否是唯一的？它可确定什么程度？）应力函数是否是唯一的？它可确定什么程度？（3）用应力函数法求解弹性力学问题的基本步骤？）用应力函数法求解弹性力学问题的基

14、本步骤？（4）应力函数与应力分量间的（直角坐标）关系如何？）应力函数与应力分量间的（直角坐标）关系如何？（5）如何利用材料力学的结果推出应力函数）如何利用材料力学的结果推出应力函数 的形式？的形式？（6）如何利用量纲分析法（因次分析法）确定楔形体问题应力函数）如何利用量纲分析法（因次分析法）确定楔形体问题应力函数 的幂次数？的幂次数？)(yxfy0y)(yfyxyOblx0ygggyxyO第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？（圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）（圆环、圆筒、圆弧形曲杆

15、、楔形体、半无限平面体等）（2）极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？）极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？（平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程）（平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程）（3）极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？）极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？（用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等）（用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等）（4）极坐标下应力分量与应力函数）极坐标下应力分量与应力函数 间关系？间关系？（5）极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？）极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？（6）极坐标下轴对称问题应力函数）极坐标下轴对称问题应力函数

16、 、应力分量、位移分量的特点？、应力分量、位移分量的特点？（7）圆弧形曲梁问题应力函数）圆弧形曲梁问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？、应力分量、位移分量的确定？（如何利用材料力学中曲梁横截面应力推出应力函数（如何利用材料力学中曲梁横截面应力推出应力函数 的形式？）的形式？）（8）楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下，应力函数）楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下，应力函数 、应、应力分量、位移分量的确定？力分量、位移分量的确定？（9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数 、应力分量、位移分量的确定？、应力

17、分量、位移分量的确定？（10）圆孔附近应力集中问题应力函数）圆孔附近应力集中问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？、应力分量、位移分量的确定？（11）叠加法的应用。）叠加法的应用。非非轴对称问题的求解方法轴对称问题的求解方法半逆解法半逆解法1. 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题原问题的转换：原问题的转换：问题问题12qrba2cos2qr2sin2qrba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题2cos)(rf2cos1224rDCBrAr)(2fr2. 楔形体问题楔形体问题 由因次法确定由因次法确定 应力函数的分离变量形式应力函数的分离变量形式（1） 楔顶受集中

18、力偶楔顶受集中力偶xyO22P)(rfxyO22M)(（2） 楔顶受集中力楔顶受集中力（3） 楔形体一侧受分布力楔形体一侧受分布力)(3fr3. 曲梁问题曲梁问题)()()()(21rfqrfM)()(3rfQr其中：其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，Q分别为梁截面上弯矩与剪力。分别为梁截面上弯矩与剪力。结合应力分量与应力函数的关系确定结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：应力函数：22r)(rfsin)(rfcos)(rf4. 半平面问题半平面问题PxyOrxyOrMqxyOrqxyOraa)(xqxyOr)(rf)()(2fr)(3fr叠加法的

19、应用叠加法的应用 3.3.整体分析整体分析 2.2.对单元进行分析对单元进行分析 1.1.将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构 FEMFEM分析的主要步骤分析的主要步骤： （1 1）单元的位移模式）单元的位移模式（2 2）单元的应变列阵）单元的应变列阵（4 4）单元的结点力列阵）单元的结点力列阵（5 5）单元的等效结点荷载列阵）单元的等效结点荷载列阵建立建立结点结点平衡方程组，求解各平衡方程组，求解各结点的位移结点的位移。（3 3）单元的应力列阵）单元的应力列阵单元刚度矩阵小结：单元刚度矩阵小结： Tkkjjiievuvuvu单元结点虚位移 eNu单元内虚位移 eB单元内虚应变 eTTeTtdxdyBDBtdxdyU内力虚功 eTeFW外力虚功kjiskjir,;,其中 eeeeTekFtdxdyBDBF tABDBktdxdyBDBkTeTe