单片机4.1-2014.

1、上节课内容回顾 结构不稳定及其改进措施结构不稳定及其改进措施 系统的稳态误差的计算与分析系统的稳态误差的计算与分析； 系统的型别与静态误差系数系统的型别与静态误差系数 定义：对于通过调整参数无法稳定的系统定义：对于通过调整参数无法稳定的系统称为结构不稳定系统。称为结构不稳定系统。 等效减少积分环节 引入比例微分控制引入比例微分控制稳态误差稳态误差 定义：定义：稳定系统稳定系统误差的终值。误差的终值。)(limteetss 表示为：表示为：对于一个给定的系统要求它的稳态误差，对于一个给定的系统要求它的稳态误差，首先要判首先要判断系统是否稳定断系统是否稳定。若系统不稳定，则没有稳态误差，。若系统不

2、稳定，则没有稳态误差，若稳定，才有必要求稳态误差。若稳定，才有必要求稳态误差。稳态误差的计算稳态误差的计算 方法一方法一：通过解系统的误差响应：通过解系统的误差响应e(t)，然，然后求极限可求出稳态误差。后求极限可求出稳态误差。 方法二方法二：利用拉氏变换的终值定理。：利用拉氏变换的终值定理。应用终值定理计算稳态误差：应用终值定理计算稳态误差：)(lim)(lim0ssEteestss 系统的稳态误差除与输入有关外，只与系统的系统的稳态误差除与输入有关外，只与系统的开环增益开环增益K和积分环节的个数有关。和积分环节的个数有关。为积分环节的个数。为积分环节的个数。为开环增益；为开环增益；式中，式

3、中， K)(lim10sRKssesss )()()(tbtrte 定义：定义：输入信号输入信号r(t)作用下的稳态误差与系统结构的关系作用下的稳态误差与系统结构的关系阶跃输入下的稳态误差阶跃输入下的稳态误差)( 1)(0trtr srsR0)( srKssesss010lim Ksrss 00limKress 100时，时，当当 01 sse时，时，当当 02 sse时，时，当当 要消除阶跃作用下的稳要消除阶跃作用下的稳态误差，开环传递函数态误差，开环传递函数中至少要有一个积分环中至少要有一个积分环节。但是，积分环节多节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。会导致系统不稳定。斜坡输入下的稳态误

4、差斜坡输入下的稳态误差)( 1)(0ttVtr 20)(sVsR 2010limsVKssesss KsVss 010lim sse时，时，当当0 KVess01 时，时，当当 02 sse时，时，当当 要消除斜坡作用下的稳要消除斜坡作用下的稳态误差，开环传递函数态误差，开环传递函数中至少要有两个积分环中至少要有两个积分环节。节。等加速输入下的稳态误差等加速输入下的稳态误差)( 12)(20ttatr 30)(sasR 3010limsaKssesss Ksass 020lim sse时，时，当当0 sse时，时，当当1 Kaess02 时，时，当当 要消除等加速作用下的要消除等加速作用下的稳

5、态误差，开环传递函稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分数中至少要有三个积分环节。但是，积分环节环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定多会导致系统不稳定。结论结论 要消除或减小系统的稳态误差，则要求要消除或减小系统的稳态误差，则要求增加积分环节数目或提高开环增益，而增加积分环节数目或提高开环增益，而这与系统稳定性的要求是相矛盾的。因这与系统稳定性的要求是相矛盾的。因此，必须合理地解决这一矛盾。此，必须合理地解决这一矛盾。q系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义；q以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态误差，不适用于干扰作用下系统的稳态误差；q上述公式中必须是系统的开环增益，也即开环传递

6、函数中，各典型环节的常数项均为时的系数。q以上规律是根据误差定义E(s)=R(s)-B(s)推得的。计算稳态误差计算稳态误差注意事项注意事项：四、系统型别与静态误差系数四、系统型别与静态误差系数 系统型别是针对系统的系统型别是针对系统的开环传递开环传递函数中函数中积分环节的个数而言的。积分环节的个数而言的。 =的系统称为型系统；的系统称为型系统； 的系统称为型系统；的系统称为型系统； 的系统称为的系统称为型系统；型系统； 系统的型别越高，跟踪典型输入信号的系统的型别越高，跟踪典型输入信号的无差能力越强，所以，系统的型别反映无差能力越强，所以，系统的型别反映了系统对典型输入信号的无差的度量，了系

7、统对典型输入信号的无差的度量，故又称为故又称为无差度无差度。静态误差系数静态误差系数 静态误差静态误差系数有三个：系数有三个： 静态位置误差系数静态位置误差系数Kp； 静态速度误差系数静态速度误差系数Kv； 静态加速度误差系数静态加速度误差系数Ka；系统型别、静态误差系数、稳态误差与输入信号间的关系系统型别、静态误差系数、稳态误差与输入信号间的关系PssKre10系统系统型别型别静态误差系数阶跃输入斜坡输入加速度输入v vKPKVKA0 0K00 K0 KPKr10000VssKve0 VKv000assKae0 aKa000)(rtrtvtr0)(2)(20tatr五、干扰五、干扰n(t)作

8、用下的稳态误差作用下的稳态误差 定义：定义：e = r - b)(1sGREC)(2sGN+干扰信号产生的误差可以表示为：干扰信号产生的误差可以表示为：)()()()(sNssRsEBNn )()(sNsBN )()()()()(sNsCsNsBsBN )()(1)(212sGsGsG 举例举例 某系统的结构图如图所示，当输入信号某系统的结构图如图所示，当输入信号r(t)=1(t)，干扰信号，干扰信号n(t)=1(t)时，求系统时，求系统总的稳态误差总的稳态误差ess。1KREC)1(2 TssKN+例题结论：例题结论： 该系统在干扰作用下的稳态误差并不等该系统在干扰作用下的稳态误差并不等于，

9、而是与干扰作用点之前的增益于，而是与干扰作用点之前的增益K1有关，而与干扰作用点之后的增益有关，而与干扰作用点之后的增益K2无无关，且关，且K1越大，越大，essn越小。越小。消除干扰引起的误差的方法消除干扰引起的误差的方法 某系统的结构图如图所示，当输入信号某系统的结构图如图所示，当输入信号r(t)=1(t)，干扰信号，干扰信号n(t)=1(t)时，求要使干扰信时，求要使干扰信号对系统的影响为，号对系统的影响为，G1(s)应如何设计。应如何设计。)(1sGREC)1(2 TssKN+ sGssGKTssKsessssn1012201lim11lim取 ssKsG111 01lim1lim10

10、10sKssGessssn得e12TssK tn tc tr)(1sG在G1(s)中引入积分环节，可以消除某种形式干扰引起的稳态误差essn，同时也可以消除系统对某种形式的参考输入的稳态误差essr。六六、改善系统稳态精度的方法改善系统稳态精度的方法1、抗干扰补偿 sGsGsGsGsGsGsncn212121 0212sGsGsGsGn sGsGn11干扰全补偿的条件 sG2 sG1 sR SN sC sE sGn补偿器按输入补偿 sCsRsE误差定义 sRsGsGsGsGsCr1 sRsGsGsGsCsRsEr11 0sE 01sGsGr则得 sGsGr1 sE sR sC sG sGr要使

11、需举例：举例： 系统结构如图所示，当输入系统结构如图所示，当输入r(t)=1+t，干，干扰扰n(t)=0.01sin100t时，求在时，求在r(t)，n(t)同同时作用下，系统的稳态误差。时作用下，系统的稳态误差。(E=R-C)s1RC11 sN+s+例题结论：例题结论： 对于由干扰输入造成的误差还可以通过对于由干扰输入造成的误差还可以通过在干扰端加补偿而得以消除，即按干扰在干扰端加补偿而得以消除，即按干扰补偿。补偿。111KTsREC221KT s+ N 系统结构如图所示，求系统结构如图所示，求:1)当输入当输入r(t)=0，干扰，干扰n(t)=1(t)时，求系统时，求系统的静态误差的静态误

12、差ess2)当输入当输入r(t)=1，干扰干扰n(t)=1(t)时，时，求求ess3)若要减少若要减少ess，则应如何调整，则应如何调整K1,K2。4)如分别在扰动点之前或之后加入积分环如分别在扰动点之前或之后加入积分环节，对节，对ess有何影响有何影响 。例题：例题：pDKK sREC24s控制系统如图所示，试在Kp-KD平面上画出1）稳定区域和不稳定区域2）临界阻尼比轨迹及欠阻尼区域和过阻尼区域3）加速度误差系数Ka为40 的 轨迹2s第三章小结第三章小结基本要求(1)熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计

13、算方法。(2)了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。(3) 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。(4) 正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。(5) 熟练掌握计算稳态误差的方法。(6) 掌握系统的型次和静态误差系数的概念。4-1 根轨迹的基本概念4-2 绘制根轨迹图的基本法则4-3 利用根轨迹分析系统的动态性能4-4 广义根轨迹(The Root Locus Methods)(The Root Locus Methods)主要内容：主要内容：q根据系统的开环传递函数绘制根轨根据系统的开环传递函数绘制根轨迹；迹；q通过根轨迹分析闭

14、环系统的性能；通过根轨迹分析闭环系统的性能；4-1 根轨迹的基本概念(The Basic Concepts of Root Locus)(The Basic Concepts of Root Locus)一、根轨迹一、根轨迹根轨迹是指系统中某个参数（由0）变动时，闭环闭环特征根特征根在S平面上移动的轨迹。 15 . 0ssKsG KssKsRsCs25 . 005 . 02KssKs2112, 1开环传递函数闭环传递函数闭环特征方程特征根表达式15 . 0ssK sR sC1.K0系统总是稳定的。2.0K0.5共轭复根，呈欠阻尼状态，阶跃响应具有衰减振荡特性。5.K=1最佳阻尼状态，阶跃响应平

15、稳性及快速性均较理想。6.K1系统阻尼减弱，频率加大，平稳性变差。7.开环传递函数中有一个串联的积分环节,I型,阶跃作用下的稳态误差为零；Kv=K，K加大稳态精度提高。 根轨迹法根轨迹法由开环传递函数寻求闭环根轨迹。K05 . 011s2s021111j11jj1j1根轨迹法的思路根轨迹法的思路 根据反馈系统中开环、闭环传递函数的根据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函数直接寻找确定关系，通过开环传递函数直接寻找闭环根轨迹的总体规律。闭环根轨迹的总体规律。问题问题 控制系统中开环零、极点与闭环零、控制系统中开环零、极点与闭环零、极点之间存在何种关系？极点之间存在何种关系？二、

16、开、闭环传递函数的零、极点表达式二、开、闭环传递函数的零、极点表达式G(s)H(s)R(s)C(s)系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：)()(1)()(sHsGsGs 系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：)()(sHsG niimjjpszsKsNsMsHsG11*)()()()()()(设：设：次多项式；次多项式；为为其中，其中，msM)(;)(次次多多项项式式为为nsN);();(zerozpolepji的的零零点点，又又称称为为开开环环传传递递函函数数为为分分子子多多项项式式方方程程的的根根的的极极点点，又又称称为为开开环环传传递递函函数数为为分分母母多多项项式式方方程

17、程的的根根成成正正比比。与与开开环环增增益益称称为为开开环环根根轨轨迹迹增增益益，KK*注意：注意： 开环根轨迹增益与开环增益之间的区别。开环根轨迹增益与开环增益之间的区别。 开环增益是当开环传递函数中分子多项式开环增益是当开环传递函数中分子多项式与分母多项式的与分母多项式的常数项常数项为为“1”时得到的传时得到的传递函数的系数；递函数的系数； 开环根轨迹增益是指当开环传递函数中的开环根轨迹增益是指当开环传递函数中的分子多项式与分母多项式中的分子多项式与分母多项式中的最高阶项最高阶项的的系数为系数为“1”时得到的传递函数的系数。时得到的传递函数的系数。 nimjjiniiniimjjzsKps

18、pssGpszsKsGs11*111*)()()()()()(1)()( niiljjsszsKs11*)()()( Si称作闭环传递函称作闭环传递函数的极点；数的极点；z j称作闭环传递称作闭环传递函数的零点；函数的零点；K* 称作闭环根轨称作闭环根轨迹增益；迹增益；结论：结论： 闭环零点由开环前向通道传递函数的零闭环零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。对点和反馈通道传递函数的极点组成。对于单位负反馈系统，闭环零点就是开环于单位负反馈系统，闭环零点就是开环零点。零点。 闭环极点与开环零点和开环极点及根轨闭环极点与开环零点和开环极点及根轨迹增益迹增益K*均有关。均有关

19、。三、根轨迹方程三、根轨迹方程 绘制根轨迹，实际上还是寻求闭环特征绘制根轨迹，实际上还是寻求闭环特征方程的根，因此，根轨迹上的所有点，方程的根，因此，根轨迹上的所有点，都必须满足方程式：都必须满足方程式：0)()(1 sHsG nimjjizsKps11*0)()(1)()(11* niimjjpszsK换换写写成成：根轨迹方程根轨迹方程 由于由于G(s)H(s)为复变量为复变量s的函数，所以的函数，所以为为一一矢矢量量方方程程。1)()(11* niimjjpszsK模值方程为：模值方程为：相角方程为：相角方程为：1|11* niimjjpszsK mjniijpszs11)()( )12(

20、 k结论结论q复平面上的复平面上的s点如果是闭环极点，即闭环特点如果是闭环极点，即闭环特征根，那么它与开环零、极点组成的向量征根，那么它与开环零、极点组成的向量必能满足模值方程和相角方程。必能满足模值方程和相角方程。q满足相方程的满足相方程的s值也一定能满足模值方程。值也一定能满足模值方程。q相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件。而模值方程主要用来确定根轨迹上各件。而模值方程主要用来确定根轨迹上各点对应的开环增益点对应的开环增益K*值。值。4-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则注：以开环增益注：以开环增益K K作为可变参量来介绍。作为可变参量来介

21、绍。法则一：根轨迹的分支数法则一：根轨迹的分支数qn阶系统的特征方程有阶系统的特征方程有n个特征根，当开环增益个特征根，当开环增益K（由（由0）变动，则）变动，则n个特征根跟随变化，个特征根跟随变化，在在s平面上必然出现平面上必然出现n条根轨迹。条根轨迹。法则二：根轨迹对称于实轴法则二：根轨迹对称于实轴q闭环特征根若为实数，则必然位于实轴闭环特征根若为实数，则必然位于实轴上，若为复数，则共轭出现，对实轴互上，若为复数，则共轭出现，对实轴互为镜像。所以根轨迹亦必对称于实轴。为镜像。所以根轨迹亦必对称于实轴。法则三：根轨迹的起点与终点法则三：根轨迹的起点与终点q根轨迹起始于开环极点，终止于开环零根

22、轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。点。q当开环零点数当开环零点数m小于开环极点数小于开环极点数n时，则时，则有（有（nm）条根轨迹终止于无穷远处。）条根轨迹终止于无穷远处。q当开环极点数当开环极点数n小于开环零点数小于开环零点数m时，则时，则有（有（mn）条根轨迹来自无穷远处。）条根轨迹来自无穷远处。根轨迹法则应用示例根轨迹法则应用示例 例例 某负反馈系统的开环传递函数为：某负反馈系统的开环传递函数为：)15 . 0()()( ssKsHsG讨论根轨迹的起点和终点。讨论根轨迹的起点和终点。法则四：实轴上的根轨迹法则四：实轴上的根轨迹q实轴上根轨迹所在区段内的右侧，开环实轴上根轨迹所在区段内的

23、右侧，开环零、极点数目之和为奇数。零、极点数目之和为奇数。注：可用相角方程来证明。注：可用相角方程来证明。p p1 1p p2 2p p3 3p p4 4z z1 1z z2 2z z3 30 0j jp p1 1p p2 2p p3 3p p4 4z z1 1z z2 2z z3 3j js s1 1法则五：根轨迹的渐近线法则五：根轨迹的渐近线 渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴正方向的夹角为：mnka )12(渐近线与实轴相交点的坐标为：渐近线与实轴相交点的坐标为：mnzpnimjjia 11 根轨迹法则应用示例根轨迹法则应用示例n例例 单位负反馈系统的开环传递函数为：单位负反馈系统

24、的开环传递函数为：)2)(1()(* sssKsG试求根轨迹趋向无穷的渐近线。试求根轨迹趋向无穷的渐近线。p p1 1p p2 2p p3 36 60 0o o- -6 60 0o o1 18 80 0o oj j0 0- -1 1- -2 2法则六：根轨迹的起始角和终止角法则六：根轨迹的起始角和终止角q根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。切线与水平正方向的夹角。q根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。角。4-2 绘制根轨迹的基本

25、法则绘制根轨迹的基本法则s s1 1z1 1p1 1p2 2p3 3j j0 0)(31pp )(21pp 1p )(11zp z z1 1z z2 21z 2z 0 0j j起始角与终止角计算公式起始角与终止角计算公式 起始角计算公式：起始角计算公式：)()()12(11inkjikmjjkpppzpkk 终止角计算公式：终止角计算公式：)()()12(11jmkjjkniikzzzpzkk 本节课小结 系统型别与静态误差系数系统型别与静态误差系数 改善系统稳态精度的方法改善系统稳态精度的方法 介绍了根轨迹的基本概念 介绍了绘制根轨迹图的基本法则中前七个4-1, 4-1, 在书上做在书上做

26、4-24-2预习预习4.3 4.44.3 4.4节节课本课本 P144 P144 习题习题法则七：根轨迹分离点的坐标法则七：根轨迹分离点的坐标 分离点坐标分离点坐标d的计算公式为：的计算公式为： nimjjizdpd1111两条或数条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点) .求分离点坐标值的方法二求分离点坐标值的方法二设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为：)()()()(*sAsBKsHsG 根轨迹方程为根轨迹方程为：0)()(1 sHsG0)()(* sBKsA闭环特征方程有重根闭环特征方程有重根，则满足：则满足：0)()(* sBKsA)()(*sBsAK

27、 于是，有：于是，有：0)()()()( sBsAsBsA根轨迹法则应用示例根轨迹法则应用示例 例例 负反馈系统的开环传递函数为：负反馈系统的开环传递函数为：25. 33)1()()(2* sssKsHsG求系统闭环根轨迹。求系统闭环根轨迹。法则八：分离角与会合角法则八：分离角与会合角 根轨迹在复平面上相遇而后分开的方根轨迹在复平面上相遇而后分开的方向由根轨迹的分离角和会合角确定。向由根轨迹的分离角和会合角确定。分离角分离角 所谓所谓分离角分离角是指根轨迹离开重极点处的是指根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角。切线与实轴正方向的夹角。180分离角的计算公式分离角的计算公式 mjnliij

28、dsdzdkl11)()()12(1 为分离点坐标；为分离点坐标； d为开环零点；为开环零点； jz个非重根。个非重根。其它其它个重极点外，个重极点外，时，除时，除为当为当lnlkksdi 会合角会合角n所谓所谓会合角会合角是指根轨迹进入重极点处的切线是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。与实轴正方向的夹角。90会合角计算公式会合角计算公式 ninliiidsdpdkl11)()()12(1 为分离点坐标；为分离点坐标； d为系统的开环极点；ip个非重根。个非重根。其它其它个重极点外，个重极点外，时，除时，除为当为当lnlkksdi 例题：例题： 设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：25. 33)1()()(2* sssKsHsG求：闭环根轨迹的分离角。求：闭环根轨迹的分离角。例题结果例题结果j j0 0分离角和会合角的简单计算公式分离角和会合角的简单计算公式 )12(121 klkldd，则