1.1.平面直角坐标系-伸缩变换解析

1、新课标人教版课件系列新课标人教版课件系列高中数学选修选修441.1.1平面直角坐标系（1）学会用坐标法来解决几何问题。学会用坐标法来解决几何问题。（2）能用变换的观点来观察图形之间）能用变换的观点来观察图形之间的因果联系，知道图形之间是可以类的因果联系，知道图形之间是可以类与类变换的。与类变换的。（3）掌握变换公式，能求变换前后的）掌握变换公式，能求变换前后的图形或变换公式。图形或变换公式。教学目标教学目标教学重点：应用坐标法的思想及掌教学重点：应用坐标法的思想及掌握变换公式。握变换公式。教学难点：掌握坐标法教学难点：掌握坐标法的解题步骤的解题步骤与应用，总结体会伸缩变换公式与应用，总结体会伸

2、缩变换公式的应用。的应用。通过典型习题的讲解、通过典型习题的讲解、剖析，及设置相关问题引导学生剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。思考来突破难点。一平面直角坐标系的建立思考思考:声响定位问题声响定位问题某中心接到其正东、正西、正北方向某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点点听到巨响的时间比其他两个观测点晚晚4s，已知各观测点到中心的距离都，已知各观测点到中心的距离都是是1020m，试确定该巨响的位置。，试确定该巨响的位置。（假定当时声

3、音传播的速度为（假定当时声音传播的速度为340m/s，各 相 关 点 均 在 同 一 平 面 上 ）各 相 关 点 均 在 同 一 平 面 上 ）y yx xB BA AC CP Po o 以接报中心为原点以接报中心为原点O，以，以BA方向为方向为x轴，建立轴，建立直角坐标系直角坐标系.设设A、B、C分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点， 设设P（x,y）为巨响为生点，由）为巨响为生点，由B、C同时听同时听到巨响声，得到巨响声，得|PC|=|PB|，故，故P在在BC的垂直平分的垂直平分线线PO上，上，PO的方程为的方程为y=x，因，因A点比点比B点晚点晚4s听到爆炸声，听到爆炸声，y

4、 yx xB BA AC CP Po o则则 A(1020,0), B(1020,0), C(0,1020)故故|PA| |PB|=3404=1360由双曲线定义知由双曲线定义知P点在以点在以A、B为焦点的为焦点的双曲线双曲线 上，上，12222byax)0(13405680340568010201020,6802222222222xyxacbca故双曲线方程为10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心距中心 处处.m10680用用y=x代入上式，得代入上式，得 ，|PA|PB|,5680 x 解

5、决此类应用题的关键：解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系、建立平面直角坐标系2、设点、设点（点与坐标的对应）（点与坐标的对应）3、列式、列式（方程与坐标的对应）（方程与坐标的对应）4、化简、化简5、说明、说明坐坐 标标 法法例例1.1.已知已知ABCABC的三边的三边a,b,ca,b,c满足满足b b2 2+c+c2 2=5a=5a2 2,BE,CF,BE,CF分别分别为边为边AC,CFAC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究究BEBE与与CFCF的位置关系。的位置关系。(A)FBCEOyx以以ABC的顶点为原点的顶点为原点，边边AB所在的直

6、线所在的直线x轴，建立直角轴，建立直角坐标系，由已知，点坐标系，由已知，点A、B、F的的坐标分别为坐标分别为解：解：A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).2cC设点 的坐标为,则点E的坐标为x y(x,y)（ ，）2 2.2222225|5|bcaACABBC由，可得到，222225().xycxcy即 22222250.xyccx整理得(,),(,),222xycBEcCFxy 因为2()()0.222xcyBE CFcx 所以因此，因此，BEBE与与CFCF互相垂直互相垂直. .建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标

7、系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 具体解答过程见书本具体解答过程见书本P4你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？角坐标系应注意什么问题？xO 2 y=sinxy=sin2x二二. .平面直角坐标系中

8、的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换思考：思考：（1 1）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=y=sinxsinx得到曲线得到曲线y=sin2x?y=sin2x? 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，保持纵坐标不变，将横坐标将横坐标x缩为原来的缩为原来的 ，就得到正弦曲线，就得到正弦曲线y=sin2x.12通常把通常把 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：坐标对应关系为：112xxyy 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设设P(x,yP(x,

9、y) )是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标保持纵坐标不变，将横坐标不变，将横坐标x x缩为原来缩为原来 ，得到点得到点12,p x y （2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=3sinx?写出其坐标变换。写出其坐标变换。O 2 y=sinxy=3sinxyx在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标），保持横坐标x不变，不变，将纵坐标伸长为原来的将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线倍，就得到曲线y=3sinx。（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线得到曲线y=3sinx?写出写出其坐标变换。其坐

10、标变换。通常把通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。长变换。223xxyy 设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为,pxy（3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=3sin2x? 写出其坐标变换。写出其坐标变换。O 2 y=sinxy=3sin2xyx 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐，保持纵坐标不变，将横坐标标不变，将横坐标x缩为原来的缩为原来的 ，在此基础上，在此基础上，将纵坐标变为原来的将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12设点

11、设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。的一个坐标伸缩变换。3（3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。写出其坐标变换。3123xxyy 定义：设定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，在变换在变换(0):(0)xxyy 的作用下，点的作用下，点P(x,y)对应对应 称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。 4注注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩

12、变换可以用坐标伸缩变换得到；形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,0,p x y 例例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换伸缩变换后的图形。后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1 213xxyy 解： 由伸缩变换代入2x+3y=01213xxyy得得x +y =023xxyy 22代入x +y =1得2249xy+=1 1222133xxxxyyyy 由 伸 缩 变 换得1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线曲线4x2+9y2=36变为曲线变为曲线0 xxyy 1解：设伸缩变换，22代 入 x +y =1得2 2221xy224936xy又1312则1312xxyy 得221xy2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换在同一直角坐标系下经过伸缩变换 后