1.1.1--任意角与弧度制

1、oAB始边终边顶点角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图形 逆时针 顺时针定义定义：正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做任何旋转时形成的角（如果 是零角，记作： =00 )任意角xyo始边终边 终边终边终边1)置角的顶点于原点终边落在第几象限就是第几象限角第几象限角2)始边重合于X轴的非负半轴终边 如果角的终边在坐标如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限，我们称为轴线角我们称为轴线角那么下列各角：那么下列各角：-50-50，405405，210210, , -200-200，450450分别是第几

2、象限的角？分别是第几象限的角？50 xyoxyo210450 xyo405xyo200 xyoxy o3003900-33003900=300+36003300=3003600=300+1x3600 =300+(-1)x3600 300= =300+0 x3600300+2x3600 , 300+(-2)x3600 300+3x3600 , 300+(-3)x3600 , ,与300终边相同的角的一般形式为300K.3600，K Z与终边相同的角的一般形式为K.3600，K ZS= | =a+k.3600 , K Z即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。注意以下四点：注意

3、以下四点： kZ； 是任意角；是任意角； k360与与 之间是之间是“+”号，如号，如k36030,应应看成看成k360+(30)； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差相差360的整数倍的整数倍.例例1. 在在0到到360范围内，找出与下列各角终边范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.解：解：120=360+240， 240的角与的角与120的角终边相同，的角终边相

4、同， 它是第三象限角它是第三象限角 640=360+280， 280的角与的角与640的角终边相同，的角终边相同， 它是第四象限角它是第四象限角 95012=3360+12948， 12948的角与的角与95012的角终边相的角终边相同，同， 它是第二象限角它是第二象限角课堂练习 1锐角是第几象限的角？第一象限的角是锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于否都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间的角是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故的角

5、可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐内的角是锐角角 例3写出终边落在Y轴上的角的集合。v终边落在坐标轴上的情形xyo0090018002700 +Kx3600+Kx3600+Kx3600+Kx3600或3600KX3600例3写出终边落在y轴上的角的集合。v解解：终边落在轴正半轴上的角的集合为S1=| =900+K3600,KZ =| =900+2K1800,KZ=| =900+1800 的偶数倍终边落在轴负半轴上的角的集合为S2=| =2700+K3600,KZ=| =900+1800+2K1800,KZ=| =900+（2K+1）1800 ，K

6、Z=| =900+1800 的奇数倍S=S1S2所以终边落在轴上的角的集合为=| =900+1800 的偶数倍| =900+1800 的奇数倍=| =900+1800 的整数倍=| =900+K1800 ，KZ偶数奇数整数XYO900+K36002700+k3600 写出终边落在 轴上的角的集合。v解解：终边落在 轴正半轴上的角的集合为S1=| = K3600,KZ =| = 2K1800,KZ=| = 1800 的偶数倍终边落在 轴负半轴上的角的集合为S2=| = K3600,KZ=| = 2K1800,KZ=| = （2K+1）1800 ，KZ=| = 1800 的奇数倍S=S1S2所以终

7、边落在 轴上的角的集合为=| =1800 的偶数倍| =1800 的奇数倍=| =1800 的整数倍=| =K1800 ，KZ偶数奇数整数XYOK36001800+k3600y xyxy x900 +900 +900 +2700 +900+ 1800+ 900 +900 + 1800 + 例31800+ yx拓展拓展1 1：第一、二、三、四象限的角的集第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？合分别如何表示？ 第一象限：第一象限：S= | kS= | k3603609090k k360360，kZkZ；第二象限：第二象限：S=|90S=|90k k360360180180k k360360,

8、kZ,kZ；第三象限：第三象限：S=|S=|180180k k360360270270k k360360,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S= | S= | 9090k k360360kk360360，kZ.kZ.拓展拓展2 2：如果如果是第二象限的角，那么是第二象限的角，那么 2 2、/2/2分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？9090k k360360180180k k360360180180k k720720 23602360k k7207204545k k180180/290/290k k180180S=|=45S=|=45k k180180，kZ.kZ.315315，-135-1

9、35，4545，225225，405405，585585. . 例例4 4 写出终边在直线写出终边在直线y=xy=x上的角的集上的角的集合合S S，并把，并把S S中适合不等式中适合不等式-360-360 720720的元素写出来的元素写出来. . 例例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.解：解：(1) S=| =60+k360 ，kZ , S中在中在360720间的角是间的角是 60+（1）360=280； 60+ 0360=60； 60+ 136

10、0=420(2) S=| =21+k360 ，kZ S中在中在360720间的角是间的角是 21+0360=21； 21+ 1360=339； 21+ 2360=699(3) | =36314+k360 ，kZ S中在中在360720间的角是间的角是 2360+36314=35646； 1360+36314=314； 0360+36314=36314v小结：小结：1.任意角的概念任意角的概念正角：射线按正角：射线按逆时针逆时针方向旋转方向旋转形成的角形成的角负角：射线按负角：射线按顺时针顺时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角零角：射线零角：射线不作不作旋转形成的角旋转形成的角1)置角的顶点于置

11、角的顶点于原点原点2)始边重合于始边重合于X轴轴的的非负非负半轴半轴2.象限角象限角3)终边终边落在落在第几象限第几象限就是第几象限角就是第几象限角3 . 终边与终边与 角角相同的角相同的角K360，KZ1.1.2弧弧 度度 制制弧度制的定义弧度制的定义:1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度的角.用符号用符号rad表示。表示。2.正角的弧度数正角的弧度数正数正数负角的弧度数负角的弧度数负数负数零角的弧度数零角的弧度数零零用弧度做单位来度量用弧度做单位来度量角的制度叫做角的制度叫做 弧度制弧度制正角正角负角负角零角零角正数正数负数负数0任意角的集合任意角的集合实数集实数集

12、R3.任一已知角任一已知角的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值| = l r其中其中l为以角为以角作为圆心角时所对圆弧的作为圆心角时所对圆弧的长长,r为圆的半径为圆的半径.4. l = | r(弧长计算公式弧长计算公式)5.角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算:360 = 2 rad,180 = rad1 = rad 0.01745rad1801rad = ( ) 57.3 =57 18180 0 30 45 60 90 180 270 6 .特殊角的度数与弧度数的对应表特殊角的度数与弧度数的对应表:043223 例例1. 按照下列要求，把按照下列要求，把67 30 化成弧度化成弧度：（1）精

13、确值；）精确值；（2）精确到）精确到0.001的近似值。的近似值。 例例2. 将将3.14 rad换算成角度（用度数换算成角度（用度数表示，精确到表示，精确到0.001).例例3.利用弧度制来推导扇形的公式利用弧度制来推导扇形的公式：lOSRlR.lR.2 21 1(2)S(2)S ; ;R R2 21 1(1)S(1)S2 2 由弧度的定义可知：由弧度的定义可知：圆心角圆心角AOB的弧度数等于的弧度数等于它所对的弧的长与半径它所对的弧的长与半径 长的比的绝对值。长的比的绝对值。定定义义的的合合理理性性1弧度弧度rl=rOAB1弧度弧度rl=rOAB与半径长无关与半径长无关的一个比值的一个比值小结1.圆心角圆心角所对弧长与半径的比是一个所对弧长与半径的比是一个仅与角仅与角大小有关的常数大小有关的常数,所以作为度所以作为度量