在坐标原点处有一个火焰ppt课件

1、YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上恣意一点处的温度与该点到原点的间隔成反恣意一点处的温度与该点到原点的间隔成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才干最快到达较凉爽的地点？什么方向爬行才干最快到达较凉爽的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向即梯度方

2、向爬行向即梯度方向爬行一、方导游数一、方导游数YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度),(yxp),(yyxxpxyl0 xy方导游数图示方导游数图示 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方沿某一方向的变化率问题向的变化率问题( , )zf x y YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度 :, ,( )()()lim().PPP x y zf PPlPPlPlPf Pf PPPf PPlfPl 定定义义 设设为为一一给给定定点点，设设在在 点点的的附附近近有有定定义义，是是从从 点点出出发发的的射射线线，设设是是射射线线 上上的的一一点

3、点。令令沿沿 趋趋于于 时时，如如果果存存在在，就就称称此此极极限限为为在在 点点沿沿 的的方方向向导导数数，记记为为怎样计算方导游数呢？怎样计算方导游数呢？YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度00000( , , )(,),( , , )f x y zP xyzf x y zPl定定理理： 如如果果在在点点可可微微 则则在在 点点沿沿任任何何方方向向 的的方方向向导导数数存存在在，且且 000000000,cos,cos,cosxyzffxyzfxyzfxyzl cos,cos,cosl 其其中中是是 的的方方向向余余弦弦。 000,Pxx yy zzl 证证明

4、明：若若是是 上上的的点点，则则000cos,cos,cos,xyzP PP PP P 0fPP由由假假设设在在 点点可可微微, ,则则有有YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度 0000000222000,xyzf Pf Pfxy zxfxy zyfxy zzoxyz 于于是是 00000000002220002220,xyzf Pf Pxyfxy zfxy zP PP PP Poxyzzfxy zP Pxyz 0PlP令令沿沿 趋趋于于 时时，有有YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度 000000000,cos,cos,cosxyz

5、ffxyzfxyzfxyzl 注注：对对二二元元函函数数，有有 00000000,cos,cos,cos,sinxyxyffxyfxylfxyfxy 二、梯度二、梯度( , , ).u x y zC 定定义义：由由所所确确定定的的曲曲面面称称为为等等量量面面( , ).u x yC 由由所所确确定定的的曲曲线线称称为为等等量量线线YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度:(,)(,)grad,grad,PPPuu x y zPuuuijkxyzu x y zPuuuuuxyz 定定 义义设设在在点点 附附 近近 有有 定定 义义 ，称称 向向 量量为为在在点点 的的

6、梯梯 度度 ， 记记 为为即即222uuuuxyz 长长度度记记为为 g gr ra ad dYunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度1u意意义义：（）梯梯度度方方向向是是 增增长长最最快快的的方方向向。2u（ ）梯梯度度的的模模是是 沿沿这这一一方方向向的的变变化化率率。cos,cos,cos ,( , , )lu x y zl 证证：设设 的的方方向向余余弦弦为为这这时时沿沿 的的方方向向导导数数为为coscoscosuuuulxyz 00coscoscoslllijk 令令 是是 方方向向的的单单位位向向量量：于于是是YunnanUniversity6. 方向导

7、数和梯度方向导数和梯度 ,cos,cos,cosuuuulxyz0gradu l 0gradcos grad ,uu l0,cos(grad ,)1,lu l 当当 与与梯梯度度的的方方向向一一致致时时.ul 从从而而有有最最大大值值grad.u变变化化率率等等于于梯梯度度的的模模YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度0,nun 用用 表表示示等等量量面面的的一一个个法法向向量量 它它指指向向 的的数数值值增增大大的的方方向向，用用表表示示等等量量面面的的一一个个单单位位法法向向量量 则则0graduunn 1212121212(1)grad()gradgrad,(

8、2)gradgradgrad,(3)gradgrad .uuuuu uuuu uF uFuu 梯梯度度运运算算法法则则：YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度 1.1,1,12, 1,3uxyzMl 例例求求在在点点沿沿方方向向的的方方向向导导数数，梯梯度度，及及梯梯度度的的模模. .解解：,.xyzuyzuxzuxy 1,1,11,1,1,11,1,1,11xyzuuu 213cos, cos, cos,141414l 方方向向 的的方方向向余余弦弦为为故故YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度 1,1,1 cos1,1,1 cos1,

9、1,1 cos4.14xyzfuuul grad1,1,11,1,11,1,1.xyzuuiujukijk 222grad3.xyzuuuu YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度222312,rrxyzrr 例例证证明明g gr ra ad d，其其中中.rxiy jzk 22211,urxyz 证证： 令令则则 33222222,xyxyuuxyzxyz 3222zzuxyz YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度 3222332222221gradxirxyzyzkkxyzxyz 从从而而3rr YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度YunnanUniversity6. 方向导数和梯度方向导数和梯度YunnanUniversity6