finite-timesynchronizationofdynamicalnetworkscoupledwithcomplex-variablechaoticsystem翻译

1、装订线毕业设计（论文）报告纸摘要：本文主要研究动力学网络外加复变混沌系统的有限时间同步。根据李雅普诺夫函数方法和有限时间稳定理论，通过设计合适的有限时间控制器来考虑有或没有耦合时延的动力学网络。有限时间同步的充分条件已经被推倒并且其有效性也通过数值模拟得到验证。关键词：有限时间同步；动力学网络；复变；混沌系统；时滞。1.前景动力学系统的复杂网络已经应用于许多大型物理系统的建模中，其中节点代表的是个体，边代表各个个体之间的交互影响。同步是复杂动力学网络中典型的集体动力学行为，在很多领域已经被广泛研究。众所周知，许多动力学网络由于自身的复杂性无法自己实现同步。因此，如何将动力学网络控制到目标轨道成

2、为了有趣重要的问题。最近，关于实变混沌系统的动力学网络的同步和控制问题的研究都有许多有价值的结论。在很多实际应用中，如安全通信和数据加密系统，往往期望同步在限定时间内达到。因此，限定时间控制技术作为一种有效的工具，已经广泛应用于复杂动力学网络的限定时间同步（见文献12-15）。Yang等人研究了随机噪声扰动复杂网络的限定时间随机同步问题（见文献12)。Shen等人则研究了一组耦合神经网络的限定时间同步（见文献13）。Sun等人分别研究了两个复杂动力学网络之间的广义限定时间和随机外同步。（见文献14-15）众所周知，在复杂网络领域，许多物理学系统均被研究，它们可以使用复变动力学系统进行数学建模。

3、（见文献16-26）例如，Lorenz复杂系统被用来描述仿真旋转流体和失谐激光。（见文献17-19）Atay研究的是分布延迟的复杂耦合振子的振幅死亡。（见文献27）Wu等人研究的是结合复变动力学系统的网络同步问题。（见文献28、29）然而，据我们所知。结合了复变混沌系统的网络的限定时间同步问题还未被研究过。基于上述的讨论，本文考虑了复变混沌系统的动力学网络限定时间同步问题。在动力学网络中，有无时滞的情况均被考虑了。基于李雅普诺夫函数方法和有限时间稳定理论，相应的控制器已经被设计出并且其同步条件在本文中也被提出。值得注意的是，在上述的分析中，外部耦合矩阵不需要假设为对称和不可约。剩下文章的组织如

4、下：第二部分介绍了复变混沌系统的动力学网络的模型，并且给出了准备的内容。第三部分研究了有无时滞下的动力学网络的有限时间同步问题，还有获取的同步标准。第四部分是数值模拟部分，验证理论结果的正确性。第五部分为全文的总结。符号：全文中，意味着埃尔米特矩阵是正定（负定）的。对于任意复数（或者复向量）分别表示它的实部和虚部。表示的共轭复数。是的范数，定义为。2.模型和准备 考虑具有N个节点的网络，节点编号为，使用复变混沌系统描述，如下：（1）其中是个n维的复向量， ；函数是n维的复数向量函数。则无时滞的网络模型如下：（2）时变耦合延迟的网络模型为：（3）其中，是耦合强度，是内部耦合矩阵，是时变延迟。是行

5、和为零的外部耦合矩阵，该矩阵决定网络的拓扑图，如果节点被节点影响，则；否则，。这里我们的目的是为了设计合适的控制器将同步网络（2）和（3）控制到给定的轨道，其中是单个孤立节点的解。控制网络可以写为：（4）和（5）其中，是设计的控制器，。令同步误差。则误差系统可以表示为：（6）和（7）网络（2）和（3）达到有限同步，当存在着一个常数使得对于任意，均成立，。假设1.假设存在着一个正数，使得复数向量函数满足：（8）评论1.显而易见，很多典型的复变混沌系统，如Lorenz复杂系统、Chen式和Lü系统均满足假设1。假设2.假设时变耦合延迟是可微的，并且存在着一个常数使得。引理1（见Z. WU

6、, G. Chen and X. Fu, 2012）.对于任意的两个复数，和任意的实常数，满足以下的不等式：引理2（见H. Wang et al, 2009）.假设一个连续、正定函数满足以下的微分不等式：其中均为常数。则，对于任意的给定满足以下不等式：并且其中是以下公式给出：引理3（见R. A. Horn and C. R. Johnson, 1990). 令为埃尔米特矩阵。则对于任意的均为实数，同时矩阵M的特征值全为实数。3.主要结果首先，通过设计合适的控制器，考虑无时滞系统（4）的有限时间同步。定理1.假定假设1成立。如果控制器取值为（8）式，则无时滞系统（4）可以实现有限时间同步：（8）

7、其中，是正常数，是向量的最大特征值，是连续、正定函数。证明. 考虑以下李雅普诺夫函数：则对的导数，使用（6）和（8）式化简如下：令，则从假设1可以得到：令使得当时，。根据引理2，存在着一个正实数使得意味着当。也就是说，有限时间同步可以实现并且已被证明。然后，考虑网络（5）模型，通过设计适当的控制器来实现时变耦合时滞网络的有限时间同步。定理2. 假设1和假设2均成立。如果设计器的取值如下，则时变时滞的网络（5）模型即可达到有限时间同步：（9）其中，是一个正实数，是矩阵的最大特征值，并且是连续的正定函数。证明.考虑以下的李雅普诺夫函数：则对的导数，使用（7）和（9）式化简如下：令，则根据假设1和引

8、理1，可以得到：由假设2可知，则可以令使得。根据引理2，存在着一个正实数，也就意味着当，。也就是说，有限时间同步可以实现并且已被证明。备注2.在上述讨论中，耦合矩阵A不需要为对称或者不可约矩阵，意味着定理1和2可以应用在更普遍的（无）时滞动力学网络上。进一步，在初始值给定的情况下，可以通过选择不同的正实数C来调整同步速度。4.数值模拟本部分中，提供了几个验证所得结果的数值模拟。考虑下列复值的Chen氏系统21： 其中，x1和x2都是复变量，x3为实数。当时，它表现出混沌行为。由Ref.29可得，当的时候，假设1成立。首先，考虑控制模型（4）的有限时间同步，控制器（8）控制有六个结点的Chen氏

9、复变系统。令内部耦合矩阵，外部耦合矩阵：.在数值仿真中，状态变量的初始值为同时同步轨迹s(t)的初始值为。选择控制器（8）中的耦合强度。通过简单的计算可得。再者，根据定理1,的证明过程，控制模型（4）在时可以达到有限时间同步。根据引理2，可以计算出同步时间。由Fig.1，可以发现同步在时刻时就能达到，远小于预测同步时间，说明了该控制器的有效性。 Fig.1. （彩线）控制器（8）下，控制网络（4）的同步误差 再者，考虑控制网络（5）的有限时间同步，控制器（9）控制有六个结点的Chen氏复变系统。选择和第一个例子中相同的外部和内部耦合矩阵。数值仿真中，令时变时滞使得假设2成立。的初始值和也上述一

10、样。控制器（9）中，令耦合强度。简单计算可得。则根据定理1的证明过程，控制网络（5）的有限时间同步在时可以达到。由引理2，计算可得同步时间为。从Fig.2，可以发现同步在时刻就能达到，远小于，也说明了该控制器的有效性。 Fig.2. （彩线）控制器（9）下，控制网络（5）的同步误差 5.结论 本文研究了动力学网络外加复变混沌系统的有限时间同步问题。通过设计适当的控制器，既考虑了时滞动力学网络，也考虑了无时滞动力学网络。基于李雅普诺夫函数方法和有限时间稳定理论，获得了相应的同步标准。最后，提供了两个数值模拟例子来验证理论结果。致谢作者在这里感谢那些匿名审稿人的建议和意见。这项研究是由中国国家自然

11、科学基金的天元专项基金，批准号No.11226242和中国江西省自然科学基金，批准号N0.20122BAB211006联合资助。参考文献1.X. Wang and G. Chen, IEEE Trans. Circ. Sys. I 49, 54 (2002).2.Z. Ma, Z. Liu and G. Zhang, Chaos 16, 023103 (2006).3.W. Yu, J. Cao and J. Lu, SIAM J. Appl. Dynam. Syst. 7, 108 (2008).4.W. Sun, Y. Yang, C. Li and Z. Liu, Int. J. Mod

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