简谐振动与频谱分析

1、中国矿业大学理学院力学与工程科学系力学与工程科学系 二00三年八月一、简谐振动的三角函数表示法一、简谐振动的三角函数表示法 )sin()(tAtxfT12f2特点：（特点：（1）简谐振动是等幅振动。简谐振动是等幅振动。（2）是最简单的周期振动。是最简单的周期振动。 )()(nTtxtx 简谐函数简谐函数二、简谐振动的矢量表示法二、简谐振动的矢量表示法 任意简谐振动可以用一个旋转矢量任意简谐振动可以用一个旋转矢量A来表示来表示。 旋转矢量旋转矢量A在铅垂轴上的投影表示简谐振动，旋转矢在铅垂轴上的投影表示简谐振动，旋转矢量量A的模就是简谐振动的振幅，它的旋转角速度就是简谐的模就是简谐振动的振幅，它

2、的旋转角速度就是简谐振动的圆频率。振动的圆频率。 速度、加速度也可以用旋转矢量表示。速度、加速度也可以用旋转矢量表示。 旋转矢量 旋转矢量三、简谐振动的复数表示法三、简谐振动的复数表示法1i)sin()cos(AtiAtAtitiitieeeAeAF)(AiFeAA 复数旋转矢量复数旋转矢量 复数旋转矢量复数旋转矢量ImAImAImFtiitieAeex)sin(Im)(tAAeti复振幅复振幅三种表示方法各有特点：三种表示方法各有特点： 三角函数三角函数 表示法形式简单，比较直观；表示法形式简单，比较直观； 矢量表示法矢量表示法 几何意义十分明确；几何意义十分明确； 复数表示法复数表示法 便

3、于分析计算。便于分析计算。以后若不加说明，即表示省略虚部符号以后若不加说明，即表示省略虚部符号 ，即，即Im)(AtitiitiFAeAeex)(AtitiFAeieix )(22AtitiFAeex 3 , 2 , 1 )()(nnTtxtx)sincos(2)(1110tnbtnaatxnnnTnTnTtdtntxTbtdtntxTadttxTa110sin)(2 cos)(2)(2T21基频：基频：02/T可取可取，或，或傅立叶系数傅立叶系数)sin(2)(110nnntncatxnnnnnnbabacarctg ,22 表示周期振动的表示周期振动的平均值；平均值； 是频率为是频率为 的

4、简的简谐振动振幅；谐振动振幅； 为相位角为相位角。20anc1nn 周期函数的频谱图周期函数的频谱图相频谱图相频谱图幅频谱图幅频谱图例例1-11-1已知矩形波如图所示，试作出谐波分析。已知矩形波如图所示，试作出谐波分析。解：图示矩形波为周期性方波解：图示矩形波为周期性方波TtTPTtPtP2 20 )(00计算傅氏系数：计算傅氏系数：02202000TTTdtPdtPTa0coscos22021010TTTndttnPdttnPTa 矩形波矩形波矩形波的傅氏级数为矩形波的傅氏级数为:tnbtPnn11sin)(tnnPn15 , 3 , 10sin14)5sin513sin31(sin4111

5、0tttP 矩形波的振幅频谱图矩形波的振幅频谱图nPPn04 考虑傅里叶级数前三项的影响考虑傅里叶级数前三项的影响 基频的谐波分量基频的谐波分量占主要地位，它的幅占主要地位，它的幅值最大。值最大。 在基频分量上迭在基频分量上迭加上三阶谐波分量得加上三阶谐波分量得到的波形已逐渐接近到的波形已逐渐接近矩形波。矩形波。 若再迭加上五阶若再迭加上五阶谐波分量，已近似谐波分量，已近似于矩形波。于矩形波。用复数形式表示傅里叶级数用复数形式表示傅里叶级数)sincos(2)(1110tnbtnaatxnnntintintintineeitneetn11112sin21cos11tinnnntinnnneib

6、aeibaatx11110222)(an是是n的偶函数，的偶函数，bn是是n的奇函数，即：的奇函数，即：nnaannbb根据欧拉公式：根据欧拉公式：例例1-2 1-2 图示的矩形脉冲在一个周期内可以表示为：图示的矩形脉冲在一个周期内可以表示为： 其中其中T为周期，为周期，t1为脉冲为脉冲宽度。求宽度。求x(t)的复数形式的的复数形式的傅里叶级数展开式，并画出傅里叶级数展开式，并画出t1=T/3时的频谱图。时的频谱图。22 022 22 0)(11101TtttttxttTtx 矩形脉冲矩形脉冲解：解：dtexTXtttinn2201111因为因为12T22101111tttinneinTxXd

7、txTXtt22001110n时时dtentnxtxtinn12sin)(1102sin110tnnxTtx102sinlim1100tnnxn 矩形脉冲傅里叶谱图矩形脉冲傅里叶谱图 相邻两条谱线之间的距离为相邻两条谱线之间的距离为 ，如果脉冲宽度，如果脉冲宽度不变，而周期不变，而周期 T 变得越来越大，谱线就会变得越来越密集。变得越来越大，谱线就会变得越来越密集。T21 两个频率比为无理数的简谐振动进行合成，其两个频率比为无理数的简谐振动进行合成，其合成的结果就是一种非周期的一般振动。合成的结果就是一种非周期的一般振动。tBtAx2sinsin有阻尼的衰减振动有阻尼的衰减振动)sin()(t

8、Aetxdtn矩形脉冲函数矩形脉冲函数取其余值tttxtx 00 )(00非周期的一般振动不能应用傅里叶级数来作谱分析非周期的一般振动不能应用傅里叶级数来作谱分析 一个一般函数可以用傅里叶积分表示，只要一个一般函数可以用傅里叶积分表示，只要它是分段单调连续，而且是绝对可积的，即：它是分段单调连续，而且是绝对可积的，即：dttx )( 非周期振动函数非周期振动函数收敛收敛tinnnTneXtx )(21lim)(T当当 时，时，,d,n得到得到:deXtxti)(21)(dtetxXTTtiTnn22)( dtetxXti)()(傅立叶积分傅立叶积分傅立叶变换傅立叶变换)(F)(txX傅立叶逆变

9、换傅立叶逆变换)(F)(-1Xtx若用频率若用频率 代替代替 ，则表示为：，则表示为： fdfefXtxtfi2)()(dtetxfXtfi2)()(傅立叶变换对傅立叶变换对 一个非周期振动可以表示成一个非周期振动可以表示成无穷简谐振动的叠无穷简谐振动的叠加加，这些简谐振动的，这些简谐振动的频率不是离散分布频率不是离散分布，而是连而是连续分布续分布。是是 的复数函数的复数函数)(X)(tx)(X也称为也称为 的频谱函数。的频谱函数。例例1-3 1-3 求图示单个矩形脉冲的傅里叶积分，并作出频谱图。求图示单个矩形脉冲的傅里叶积分，并作出频谱图。解：解： 单个矩形脉冲单个矩形脉冲 tttttxtttx2 02 2 2 0)(11101的频谱函数为的频谱函数为：)(tx )()(dtetxXti22011 tttidtex2sin2 10tx的傅立叶积分为：的傅立叶积分为：)(txdetxtxti2sin221)(10计算出频谱函数的值为：计算出频谱函数的值为：2sin2)(10txX22sin1101ttxt 单个矩形脉冲的频谱图单个矩形脉冲的频谱图非周期振动频谱图的谱线是连续分布而不是离散分布。非周期振动频谱