最新近世代数复习提纲

1、近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义(四个等价定义)2、基本性质(1)单位元的唯一性；(2)逆元的唯一性；i i iii(3) (ab) b a , (a ) a;(4) ab ac b c；ii(5) ax b x a b ; ya b y ba o3、元素的阶使am e成立的最小正整数 m叫做元素a的阶，记作|a| m;若这样的正整数不存在，则称a的阶是无限的，记作|a| o ii_(1)|a| |a |,|a| |g ag|( g G)。(1) 若 am e,则|a| m；|a| m由an e可得m|n。(2) 当群G是有限群时，a G,有|a| 且|a|G|。(4) |a|

2、 n |ar | ,其中 d (r , n)。 d nr证明 设|ar1| k。因为(ar)d (an)d e ,所以k工。 d另一方面，因为(ar)k ark e,所以n rk,从而匚匚k,又(L匚)1, d dd d施和MBW二一 ab 二 a=b而wab ba 三(一 a 一二 b.) 二 a=g(p7p3)。20一 a G，a 一 ；而 a G 二巴Q一。直14G a C= z7 2 1y*亩渊再京同辑。目建)1 池GW田0H当巨 a GHa 一 )而0一 。口，辑耳善世科法B1, 讨洲-簪(当与)木加三辑)ss02,用加塞-H渊-簪(当与)洋溢三辑)ss00 mi-*nAkw-H!m

3、*fm潮再奈同百辑五喜*nM i0(1)设辑百田aH池 Amw4lm。(2) mm*n*fmm 潮再奈aAkmm柔。(3) 涝连(4)m-辑a3-m柔可宓。4, 木加nAkm !设五喜啪)mi i mi 直 2W(123L (13)(24)池的小讨渊)为(123)(13)(24)12345 12345 123452314 5 3214 5 1432512 345413 25(142)(1) n7*nAm*am*辑“五喜 n 济MW辑“ffis=(2二 y 一三。(3)a-nm*am湘以油w-H-岸木簪也寻藁当啪君渊史。(4) (ALsFL 三。(5)m木加塞3-啪塞可宓。(1) ( P61.1

4、)。(2) ( P7P1)施和MB(3)循环群的子群是循环群(P65.4)。(4)当 |G| 时，G Z G L , a 2 , a 1 , e a0 , a , a2 , L ;当 |G| n 时，G Zn G e a0 , a , a2, L , an 1 0(5) |G| |a|(6)当|G| 时，G有且仅有两个生成元a, a1;当|G| n时，G有且仅有(n)个生成元，这里(n)表示小于n且与n互素的正整数个数。且当(m, n) 1时，am是G的生成元。(7)若G与G同态，则1 G也是循环群；2当(a) a时，G ；3 G的阶整除G的阶。例 3 ( P79 3)三、子群1、定义：设H是

5、群G的非空子集，若H关于G的于是也构成群，则称H是G的 子群，记作H G。2、等价条件(1)群G的非空子集H是子群 a, b H,有ab, a 1 Ha , b H ,有 ab 1 H(2)群G的非空有限子集H是子群 a, b H ,有ab H。3、运算(1)若Hi, H2 G,则HiI H2 G (可推广到任意多个情形)。(2)若Hi, H2 G ,则Hi U H2未必是G的子群。(3)若 H1, H2 G,则 H1H2 ，h2|，H1 , h2 H2未必是 G 的子群。(4)若Hi, H2 G,则Hi H2不是G的子群。4，*WH GyWGmr*aH azh H五喜 Hsnam4*; GW

6、*Ha ha - h H五喜 H 寻目na mM*。(1)涝连“aH Ha。(2) aH bH b X H ; Ha Hb ab-H ; aH(Ha) H a H (3) aH (Ha) G a H。(4) aH bH (Ha Hb) (aH)一 (bH) I(Ha)一 (Hb) 。(5)aH - a G池 Gm-6Ha-a G-& 池 Gm-6洪。当 G UaH)应(aH_(bH) (MaH bH 月)a GMG U 工3)应(Ha-Ib) (MHa Hb 月) a G5，簪辑G mN辑Hm4*(比*)-簪五喜 H寻前簪)ft奈Q一三。 M-Q-耳)HG 二 H =9H-。6, NmN辑wH

7、 池塞 G mN 辑)wa G)a*aH HayWWH 池 G mxmN辑 ft奈 Hiag。辑 GmN辑 H 池NmN辑 a G)*aIa Ha G - h H2*arH直 4 (P74 1)直 5 ( P74 3)12 NmN辑三万池NmN辑。22万辑三出塞淞NmN辑。32 辑 GmfLJC(G) a G- x G-xa ax池 Gmxmr 辑。施和MB4?设Hi,H2 G且有一个是不变子群，则 H1H2G o7、商群 设 HG ,令 G/H aH |a G , aH , bH G/H ,定义(aH)(bH) (ab)H则它是g/h的代数运算，叫做陪集的乘法。 g/h关于陪集的乘法作成群，

8、叫做G关于H的商群。当|G| 时，有|g/H |回。四、群同态设是群G到G的同态满射，则1、G也是群；2、(e) e ；3、(a1) (a) 1;4、| (a)| |a|;5、ker a G | (a) eG ；6、G/kerG ( : a ker (a)；7、H G (H) G；8、HG(H)G ；9、H G 1(H) G； 1 -10、HG (H )G o注：若HG,则映射：a aH ( a G)是G到G/H的同态满射，叫做自然同态。环论部分、基本概念1、环的定义设R是一个非空集合，“ + ”与“。”分别是加法与乘法运算，若(1) R关于“ + ”作成交换群(叫做加群)；(2) R关于”封

9、闭；(3) a , b, c R, 有 ao(boc) (aob)oc ；(4) a, b, c R,有ao(b c) a ob aoc(b c)oa boa coa则称R关于“ + ”与“。”作成环。2、基本性质(1) a o(b c) a ob a oc , (b c) oa boa coa；(2) 0oa ao0 0;(3) ( a)ob ao( b) (aob)；(4) ( a)o( b) aob ；(5) ao(b1 Lbn)a0bl L aobn, (b1 L bn)oab10aL bnoa；mnm n(6) ( ai)o(b j)ai obj ;1 1j 1i 1 j 1m n

10、m n m n mn a oa a , (a ) a ；(8)当R是交换环时，a, b R,有(a b)n an C：an1b L C： 1abn 1 bn。3、环的几种基本类型设R是环(1)交换环：a , b R ,有 ab ba。例 6 (P89.2)(2)有单位元环：存在1 R,使得 a R,有1a a1 a。(3)无零因子环：a, b R,当a 0, b 0时，ab 0。注：无零因子环的特征：无零因子环R中的非零元关于加法的阶，叫做R的特征。1 无零因子环R的特征，或是 或是素数；2 当无零因子环R的元素个数| R|有限时，R的特征整除|R|。(4)整环：有单位元无零因子的交换环。(5

11、)除环：有单位元1( 0),且非零元都有逆元。(6)域：交换的除环。二、两类特殊的环1、模 n 剩余类环：Zn 0 , 1, 2 , L , n。(D Zn是有单位元的交换环，且1是Zn的单位元；(2) a Zn, a 0,则a不是零因子 (a, n) 1;(3) Zn无零因子n是素数；(4) a Zn, a 0,则a不是零因子 a是可逆元；(5) Zn是域 n是素数。2、多项式环：Rx f (x) anxn L ax a0|an, L , a1，a。 R。例 7 (P109.2)三、理想1、定义：设U是环R的非空子集，若(1) a,bU/abU;(2) a U , r R,有 ar , ra

12、 U。则称U是环R的理想子环，简称理想。注：1 理想一定是子环，但子环不一定是理想。2 环的中心是子环，但未必是理想。2、运算(1)若U1, U2是环R的理想，则U1I U2也是环R的理想(可推广到任意多个 情形)。(2)若U1, U2是环R的理想，则U1UU2未必是环R的理想。(3)若Ui, U2是环R的理想，则Ui U2 U1 U2 |ui U1 , U2 U2也是环R的 理想。(4)若Ui, U2是环R的理想，则Ui U2不是环R的理想。3、生成理想：设A环R的一个非空子集，则R的所有包含A的理想的交仍是R的 理想，这个理想叫做由 A的理想，记作(A)。(1) (A)是R的包含A的最小理

13、想。(2)当A a时，记(A) (a),叫做由a生成的主理想。i 当 R是交换环时，(a) ra na| r R, n Z；m2 当R是有单位元环时，(a) Xiayi |Xi , yi R; i i3 当R是有单位元的交换环环时，(a) ra |r R。(3) A ai , a2 , L , an,记(A) (ai , a2 , L , an) 0 且有(ai , a2 , L , an) (a) (a2) L (an)例 8 (Pii3.例 3)例 9 (Pii4.3)4、最大理想：设U是环R的理想，且U R。若包含U的环R的理想，只有U与 R ,则称U是环R的最大理想(极大理想)。(i)

14、环R的理想U ( R)是最大理想 当R的理想 适合U R时，必有U或 Ro(2)环R的理想U ( R)是最大理想商环RU只有平凡理想。(3)设R是有单位元的交换环，则 R的理想U ( R)是最大理想 商环RU是 域。例 10 (P119.1)已知：R a bi|a, b Z。求证：R/(1 i)是域。证明：因为R是有单位元的交换环，所以a bi (1 i),存在x yi Z(i)使 得a bi (x yi )(1 i) (x y) (x y)i所以a x y , b x y ,由此可见，当x, y奇偶性相同时，a , b同为偶 数；当x, y一奇一偶时，a, b同为奇数。反之，当a, b的奇偶性相同时，取x