一轮复习正弦定理和余弦定理

1、一轮复习：正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.诊断基础知识由浅入深夯基固本知识梳理1.正弦定理和余弦定理在 ABC中，若角A, B, C所对的边分别是a, b, c,则正弦定理余弦定理内容3 = -b- = -C- = 2R sin A sin B sin C(R为AABC外接圆半径)a2= b2+ c2 2bccos A b2= a2 + c2 2accos B c2= a2 + b2 2abcos C常见变形(1)a=2Rsin A, b= 2Rsin B, c=2Rsin C;a .一 b . _ c(2)sin A诋 sin B-2r,

2、sin C 一凉；(3)a : b ： c= sin A ： sin B ： sin Cb2+c2a2cos A-2bc；a2+c2-b2cos Bo;2aca2+b2 ccos C=o .2ab解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他 两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他 两角- 1(1)S= 2ah(h表小边a上的图).111(2)S=，bcsin A= /absin Cacsin B.- 1(3)S=2(a+b+c)(r 为AABC 内切圆半径).辨析感悟1.三角形中关系的判断(1)在 ABC

3、中，sin A > sin B 的充分不必要条件是 A > B.(X)(2)(教材练习改编)在 ABC 中，a=V3, b=V2, B = 45°,则 A=60°或 120°.(V)2 .解三角形(3)在4ABC 中，a = 3, b=5, sin A= 1,则 sin B = 5.(V)399 (4)(教材习题改编)在 ABC 中，a=5, c=4, cos A=n，则 b=6.(V)3 .三角形形状的判断(5)在4ABC中，若sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形.(V)(6)在4ABC中，若b2 + c2>

4、a；则此三角形是锐角三角形.(X)感悟提升1 . 一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在 ABC中，A>B? a>b? sin A>sin B,如(1).2 .判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦（余 弦）定理实施边、角转换.学生用书第63页以例求法举一反三突破高频考点考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例11 （1）（2013湖南卷）在锐角 ABC中，角A, B所对的边长分别为a, b.若2asin B =43b,则角A等于().7tA3冗C.6冗D.12(2014杭州,g拟)在 ABC中，角A

5、, B, C所对的边分别为a, b, c,若a=1, c= 4也 B = 45°,贝U sin C=.解析 （1）在BC中，由正弦定理及已知得 2sin A sin B =，3sin B, .B 为*BC 的内角，；sin Bw0.3. sin A=寄.又: ABC为锐角三角形,222. 2一(2)由余弦定理，得 b2=a2 + c22accos B= 1 +328收乂= 25,即 b = 5.所以sin C =csin B 4 5也 太. = _,224一=5.A. 30B. 45C. 45°或 135D. 60（2）在 ABC中，内角A,B, C 的对边分别是 a, b

6、, c,若 a2b2=，3bc, sin C=2次sin B,则 A=A. 30B. 60().C. 120°D. 150°解析（1）由正弦定理，得2L_22sin 60 - sin C'解得：sin C =平，又c< a,所以C<60°,所以C = 45°.(2).sin C=243sin B,由正弦定理，得 c=243b,b2+ c2 a2 >/3bc+ c2/cos A=2bc= -2bc-也bc+ 2*/3bc 乖2bc又A为三角形的内角，A=30°.答案(1)B (2)A考点二判断三角形的形状【例2】（201

7、4临沂一模）在 ABC中，a, b, c分别为内角A,B, C的对边,且 2asin A= (2b c)sin B+ (2c b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B + sin C=43,试判断 ABC的形状.解 (1)由 2asin A=(2b c)sin B+(2cb)sin C, 得 2a2=(2b c)b+(2cb)c,即 bc= b2+c2a2, A b2 + c2a21.八 50 cos A=o. =o, - A = 60 .2bc 2'(2)A+B+C= 180°,B+C=180°60 =120°. 由 sin B + sin

8、 C=V3,得 sin B + sin(120 -B)=3, sin B+ sin 120 cos B cos 120 sin B = V3. 3sin B+9cos B=V3,即 sin(B+30°) = 1., ,0 <B<12O0 ,.30°<B + 30°<150°. B+30° = 90°, B = 60°.；A= B= C = 60°, 4ABC为等边三角形.规律方法解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角包等变换得出内角之间的关系式；或将条

9、件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系.另外，在变形过程中要注意A, B, C的范围对三角函数值的影响.【训练2】 (2013山东省实验中学诊断 ABC中，内角A, B, C的对边分 别为 a, b, c,且 2c- 2ab 1= *0，所以90 <C< 1800,即BC为钝角三角形. 2ab 4 (2)由已知(a2+ b2)sin(A-B)= (a2- b2)sin C,得 b2sin(A B) + sin C = a2sin C sin(A B),即 b2sin Acos B = a2cosAsin B,=2a2+2b2 + ab,则 ABC是().A.钝

10、角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)在 4ABC 中，若(a2+b2)sin(A B) = (a2b2)sin C,则 AABC 的形状是().A.锐角三角形C.等腰三角形B.直角三角形D.等腰或直角三角形2222221a+b C解析 (1)由 2c =2a +2b +ab,得 a+b c = ab,所以 cos C=2ab =即 sin_2 (2)AABC 的面积 S= 2acsin B= ac. Bsin Acos B = sin2 Acos Asin B,所以sin 2B = sin 2A,由于A, B是三角形的内角,故 0<2A< 2 自 0<2B

11、<2 立故只可能2A= 2B或2A=兀2B, 一，、冗即 A=B 或 A+B = .故MBC为等腰三角形或直角三角形.答案(1)A (2)D考点三与三角形面积有关的问题【例3】(2013新课标全国II卷)4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知 a=bcos C + csin B.求B；(2)若b = 2,求 ABC面积的最大值.正弦定理审题路线(1)a=bcos C+csin B > sin A=？ sin(B+C) =？求出角 B.边化角_ 1S= 3acsin B,由2?得出a2与c2的关系式？利用基本不等式求aclb2= a2 + c22accos B

12、的最大值即可.解(1)由已知及正弦定理，得 sin A=sin Bcos C + sin Csin B.又 A= k (B+C),故 sin A=sin(B+ C)= sin Bcos C+ cos Bsin C.由，和 CC(0,九得sin B = cos B.一一.兀又BC(0,兀)所以B=.由已知及余弦定理，得4 = a2+ c2-Zacco.又 a2+ c >2ac,4故 ac&尸，当且仅当 a=c时，等号成立.2因此 ABC面积的最大值为2+1.111.规律方法 在斛决二角形问题中,面积公式S= /absin Cbcsin Aacsin B取为用，因为公式中既有边又有角

13、，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.学生用书第64页【训练3】(2013湖北卷)在 ABC中，角A, B, C对应的边分别是a, b, c.已 知 cos 2A 3cos(B+ C) = 1.求角A的大小；若4ABC的面积S= 神,b = 5,求sin Bsin C的值.解 (1)由 cos 2A3cos(B+C)=1,得 2coJA+3cos A- 2=0,1 ,、即(2cos A-1)(cos A+2) = 0,解得 cos A=万或 cos A= 2(舍去).因为 0<A< 九,所以a号31. .1. _3 _3.由 S= 2 bcsin A=?bc = 4 bc= 5M3,

14、得 bc= 20.又b = 5,所以c= 4.由余弦定理，得 a2=b2+c2 2bccos A=25+ 1620 = 21,故 a= 21.又由正弦定理，得sin Bsin C=%n Afsin A57.I课堂小结I1 .在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解.2.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化.如 a2= b2 + c22bccos A 可以转化为 sin2 A=sin2 B + sin2 C2sin Bsin Ccos A,利用这些变形可进行等式的化简与证明.教你解题

15、提升能力培养解题能力答题模板6解三角形问题【典例】(12分)(2013山东卷)设4ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b,7ca+ c= 6, b= 2, cos B= 9.(1)求a, c的值；求sin(AB)的值.规范解答(1)由余弦定理b2=a2+c22accos B,得 b2=(a+c)22ac(1 + cos B),又 b = 2, a+c= 6, cos B=, 9解 得 a =3, c =3,(6分) (2)在 ABC 中，2- U sin B=V1cosB= 9 ,(7分) 由正弦定理得sin A=ar=平.(9分)因为a = c,所以A为锐角,所以 cos A=M

16、- sin一一 (2)AABC 的面积 S= 2bcsin A=杷,故 bc= 4.A=1. 310.227（10 分） 因止匕 sin（A B） = sin Acos B cos Asin B = （12 分） 反思感悟(1)在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.在本题第(2)问中，不会判断角A为锐角，易造成求错cos A,导致sin(A-B) 的结果出错.答题模板 第一步：定已知.即梳理已知条件，确定三角形中已

17、知的边与角；第二步：选定理.即根据已知的边角关系灵活地选用定理和公式；第三步：代入求值.【自主体验】已知a, b, c分别为4ABC三个内角 A, B, C的对边，c=3asin C-ccos A.求A;(2)若a=2, ABC的面积为J3,求b, c.解 (1)由c=43asin C ccos A及正弦定理，得gsin Asin C cos A sin Csin C = 0,由于 sin Cw0,所以 sin,6)= ,p -八冗冗5冗工a八 九又 0<A<& 所以6<A 6<6，故 A=g.而 a . 一 1. 从而 SzABc = 2bcsin A = 2

18、x 2x 2y2X=b2+c2 2bccos A,故 b2 + c2=8,解得 b = c= 2.阶排训粽炼出高分课时题组训练基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1. （2013 绍兴模拟）在 ABC 中，若 a2c2+b2=d3ab,则 C=（）.A. 300 B. 450 C. 600 D. 120°oooa + b c 3ab 3解析由a2c2+b2= *73ab,彳4 cos C=o k = o，所以 C = 30 .2ab 2ab 2 '答案 A32. （2014合肥模拟）在 ABC中，A=60 , AB = 2,且 ABC的面积为芍，则BC 的长为（）.A

19、岑B#C. 2V3D. 21133 一一 22解析 S= 2XAB ACsin 60 =2乂彳g=右,所以 AC=1,所以 BC =AB+ AC2- 2AB ACcos 60= 3,所以 BC=V3.答案 B 一，九_冗3. 4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知b = 2, B=6，C=4,则AABC的面积为（）.A. 23+2B.V3+1 C, 23- 2 D.g-1解析 由正弦定理京=备及已知条件得c= 2V2, sin b sin c-1sin A=sin（B+C） = X2+，62+2乂2 =2+ 64=肉1.答案 B4. 4ABC的内角A, B, C所对的边分

20、别为a, b, c.若B = 2A, a=1, b=J3, 则 c=().A. 2m B. 2 C.>/2 D. 1a b /口 a b13.3斛析 由二一V= -3, 得二一7= W, 所以二一八 二o .八 八，故 cos A= o , sin A sin B， sin A sin 2A? sin A 2sin Acos A，2'又 Aq0,兀)所以 a=6，b = 3，C = 2，c= ,a2 + b2 =12+(V3)2 =2.答案 B5. (2013陕西卷)设AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcos C+ ccos B = asin A,则A

21、ABC 的形状为().A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析 由正弦定理及已知条件可知 sin Bcos C + cos Bsin C = sin2A,即sin(B+C)= sin2A,而 B+C= k A,所以 sin(B+C)=sin A,所以 sin2 A=sin A,又 0VA< tt, sin A> 0, sin A = 1,即 A = 2.答案 A二、填空题6. 在AABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若a = g, b = 2, sin B + cos B=2,则角A的大小为.解析 由题意知，sin B + cos B =

22、g 所以WsinB+j)=也所以B=j,根据 正弦定理可知焉=肃b，可得去A=：，所以加a=2,又a<b，故a=6.答案号67. (2014惠州模拟)在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.若(a2+c2b2)tan B=V3ac,则角 B 的值为.,人力2 /口 a2 + c2 b2， 八口由斛析 由余弦止理，得 20 = cos B,结合已知等式得cos B tan B =勺，sin B=中,记=",答案押2f8. （2013烟台一模）设 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a=1, 1b = 2, cos C = 0 贝 sin B

23、等于.解析 由余弦定理，得 c2 = a2+b22abcos C=4,即 c= 2.由 cos C =（得 sin C =15,十力2 b c /口bsin C 21515 74 .由正弦止理三"B = sinC，得sin B= c =,X 4 =1（或者因为c=2,所以b = c=2,即三角形为等腰三角形，所以sin B = sin C=5）.答案-J5三、解答题 19. （2014宜山质检）在 ABC中，a, b, c分别是角A, B, C所对的边，且a=Qc+ bcos C.（1）求角B的大小；若 Saabc=J3, b=33,求 a+c 的值.1斛 （1）由正弦止理，得 si

24、n A=/sin C+ sin Bcos C,又因为 a= l （B+C）,所以 sin A= sin（B+C）,1 .可得 sin Bcos C + cos Bsin C = 2sin C+ sin Bcos C,即 cos B = 5，又 BC（0,兀）所以 B=%. 23（2）因为 Sabc = J3, 所以%csinV3,所以 ac= 4, 23由余弦定理可知b2 = a2+ c2 ac,所以（a+c）2=b2+3ac= 13+ 12 = 25,即 a+c=5.10. (2013北京卷)在 ABC 中，a=3, b=2&, /B=2/A.(1)求cos A的值；求c的化3解（1

25、）因为a = 3, b = 2，6, / B=2/A,所以在 ABC中，由正弦定理，得百力sin 2A'所以烈鬻&=挛故cosA=*.(2)由(1)知 cos A=坐，所以 sin A=41 cos2A=坐又因为/ B=2/A,所以 cos B = 2cos2A 1=1,所以 sin B = 1 -cos2B = 22. 33在 ABC 中，sin C = sin(A+B)sin Acos B+ cos Asin B=5,39所以c=asin Csin A=5.能力提升题组（建议用时：25分钟）一、选择题 .一入口1. （2014温岭中学模拟）在锐角 ABC中，若BC=2, s

26、in A=*,则AB AC的3最大值为（）.“ 1JA"B"C. 1 D. 335解析 由余弦定理，得a2=b2+c2 2bcx 1=4,由基本不等式可得4>4bc,即 33,二二. . 1,bc< 3,所以 AB AC=bccos A=&bc& 1.3答案 CABC的形状为（)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上均有可能解析 由题意可知c>a, c>b,即角C最大,所以 a3+b3 = aa2+b b2<ca2 + cb2,即b, c 满足 a3 + b3=c3,那么2. （2013青岛一中调研）在ABC中，三边长a,c3<ca2+cb2,所以c2<a2+b2根据余弦定理，得a2+b2c2cos C=>0,所以 02ab<c<2,即三角形为锐角三角形.答案 A、填空题13. (2013 浙江卷)在 ABC 中，/C=90 , M 是 BC 的中点.若