统计量及其抽样分布PPT学习教案

1、会计学1统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布6.1 统计量统计量统计量的概念统计量的概念常用统计量常用统计量次序统计量次序统计量充分统计量充分统计量第2页/共68页在实际应用中，当我们从总体中抽取一个样本在实际应用中，当我们从总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对后，并不能直接应用它去对)(21nXXX， 总体的有关性质和特征进行推断，这是因总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。为了使统总体性质的信息，但仍较分散。为了使统计推断成为可能，需要把分散的信息集中计推断成为可能，需要把分散的信息集中

2、起来，针对不同的研究目的，构造不同的起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数，这种函数在统计学中称为统计样本函数，这种函数在统计学中称为统计量。量。1. 构造统计量的原因：构造统计量的原因：第3页/共68页(1)定义定义6.1 设设是从总体是从总体X中抽取的中抽取的nXXX，21容量为容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个的一个样本，如果由此样本构造一个2. 统计量的定义：统计量的定义：函数函数)(21nXXXT，不依赖于任何未知，不依赖于任何未知为一个为一个参数，则称函参数，则称函数数)(21nXXXT，统计量统计量(或样本统计量或样本统计量)。代入代入T计算的数值称为一个具体的统计量

3、值。计算的数值称为一个具体的统计量值。(2)当获得样本的一组具体观测值当获得样本的一组具体观测值nxxx，21后，后，第4页/共68页【例例6.1】设设解解：一个样本，判断下列各量是否为统计量。一个样本，判断下列各量是否为统计量。是从某总体是从某总体X中抽取的中抽取的nXXX，21niiXnX11)1 (niiXXnS122)(1)2(niiXEX12)()3()()()4(XDXEXi(1)(2)是统计量，是统计量，(3)(4)不是统计量，不是统计量，因为因为(3)(4)依赖总体分布的未知参数。依赖总体分布的未知参数。第5页/共68页(1)由于数学期望和方差等概念用由于数学期望和方差等概念用

4、“矩矩”来描来描述述1. 常用常用统计量的构造：统计量的构造：(2)当当n充分大时，经验分布函数充分大时，经验分布函数 靠近总靠近总体分布函数体分布函数 。)(xFn)(xF2. 常用的常用的统计量：统计量：niiXnX11)1 (是样本的均值，反映总体期望的信息是样本的均值，反映总体期望的信息niiXXnS122)(1)2(是样本方差，反映总体方差是样本方差，反映总体方差的信息。样本标准差的信息。样本标准差S也是常用的统计量。也是常用的统计量。第6页/共68页XsV )3(是样本变异系数，反映总体变异系数是样本变异系数，反映总体变异系数C它反映了随机变量在以它的均值为单位时，取它反映了随机变

5、量在以它的均值为单位时，取值的离散程度。此统计量取消了均值不同对不值的离散程度。此统计量取消了均值不同对不同总体的离散程度的影响，常用来刻画均值不同总体的离散程度的影响，常用来刻画均值不同时，不同总体的离散程度。在投资项目的风同时，不同总体的离散程度。在投资项目的风.险分析中、不同群体或行业的收入差距描述中险分析中、不同群体或行业的收入差距描述中有广泛的应用。有广泛的应用。的信息。其中总体变异系数定义为的信息。其中总体变异系数定义为)()(XEXDC 第7页/共68页称称 为样本为样本 阶矩，反映总体阶矩，反映总体 kkmnikikXnm11)4( 阶矩的信息。阶矩的信息。k，称为样本，称为样

6、本 阶中心矩。阶中心矩。 knikikXXnv1)(1)5(反映出总体反映出总体 阶中心矩的信息。阶中心矩的信息。 k第8页/共68页，称，称 为样本偏度。为样本偏度。32312133)()()6(niiniiXXXXn反映出总体偏度的信息。偏度反映了随机变量反映出总体偏度的信息。偏度反映了随机变量密度函数曲线在众数密度函数曲线在众数(密度函数在这一点达到最密度函数在这一点达到最大值大值)两边的对称偏斜性。两边的对称偏斜性。 如果如果)(2，NX03，则偏度，则偏度第9页/共68页，称，称 为样本峰度。为样本峰度。43)()()7(212144niiniiXXXXn它反映出总体峰度的信息。峰度

7、反映随机变量它反映出总体峰度的信息。峰度反映随机变量密度函数曲线在众数附近的密度函数曲线在众数附近的“峰峰”的尖峭程度的尖峭程度。如果如果)(2，NX04，则峰度，则峰度第10页/共68页定义定义6.2 设设是从总体是从总体X中抽取的中抽取的nXXX，21它是样本它是样本)(21nXXX，满足如下条件的函数满足如下条件的函数：容量为容量为n的一个样本，的一个样本，)(iX称为第称为第i个次序统计量，个次序统计量，时，时，每当样本得到一组观测值每当样本得到一组观测值nxxx，21中，中，其由小到大的顺序其由小到大的顺序)()2()1(nxxx的观测值的观测值，第第i个值个值)(ix就作为次序统计

8、就作为次序统计量量)(iX称为称为次序统计量次序统计量。而而)()2()1(nXXX，分别为分别为最小最小和和最大最大次序统计量。次序统计量。)()1(nXX和和称为称为样本极差样本极差。)1()()(XXRnn第11页/共68页充分充分统计量统计量是指统计量的加工过程中一点信息都不是指统计量的加工过程中一点信息都不损失的统计量。损失的统计量。【例例6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质检员抽检了质检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除前个电子元件，检查结果是，除前3个个是不合格品是不合格品(记为记为 )外，其他都是外，其他都是合格品合格品(记为

9、记为 )。当企业领导问及抽检。当企业领导问及抽检结果时，质检员给出如下两种回答：结果时，质检员给出如下两种回答：111321，XXX10040iXi，(1)抽检的抽检的100个元件中有个元件中有3个不合格个不合格)3(1001记记为为iiX(2)抽检的抽检的100个元件中前个元件中前3个不合格个不合格)3(31记记为为iiX解：解：10011iiXT3212XXXTT1为充分统计量。为充分统计量。第12页/共68页)(2，N当当是来自正态分布是来自正态分布)(21nXXXX，的一个样本时，的一个样本时，的的充充分分统统计计量量；是是已已知知，则则若若21)(niiX的的充充分分统统计计量量。是

10、是已已知知，则则若若niiXnX121第13页/共68页6.2 关于分布的几个概念关于分布的几个概念抽样分布抽样分布渐近分布渐近分布随机模拟获得的近似分布随机模拟获得的近似分布第14页/共68页1. 英国统计学家费希尔曾把英国统计学家费希尔曾把抽样分布抽样分布、参数估计参数估计和和假设检验假设检验看做统计推断的三个中心内容。看做统计推断的三个中心内容。2. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质。性，完全取决于其抽样分布的性质。3. 在总体在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数的分布类型已知时，若对任一自然数n，都能导出

11、统计量，都能导出统计量 的分的分布的数学表达式，这种分布称为精确的抽样分布的数学表达式，这种分布称为精确的抽样分布。它对样本容量较小时的统计推断十分有用布。它对样本容量较小时的统计推断十分有用.)(21nXXXTT，4. 正态条件下，主要有正态条件下，主要有 分布、分布、t分布、分布、F分布。分布。2第15页/共68页1. 抽样分布理论中，至今已求出的精确抽样分布并不多。抽样分布理论中，至今已求出的精确抽样分布并不多。2. 通常，抽样分布很难求得，有时通常，抽样分布很难求得，有时尽管求出了精确抽尽管求出了精确抽样分布，但因为过于复杂而难以使用。样分布，但因为过于复杂而难以使用。3. 实用中，当

12、实用中，当n无限增大时，常用统计量的极限分布无限增大时，常用统计量的极限分布作为抽样分布的一种近似，这种极限分布常称为作为抽样分布的一种近似，这种极限分布常称为渐渐近分布近分布。【例例6.2】设设 nXXX，21)0(2，N是 抽 自 正 态 总是 抽 自 正 态 总体体的一个样本，可以证明当的一个样本，可以证明当n时时，22)10(sNXn和和，所以统计量所以统计量的渐近分布为的渐近分布为N(0，1)sXnT 第16页/共68页因为在实际应用中，有许多问题要寻求它的精确分因为在实际应用中，有许多问题要寻求它的精确分布和渐近分布都是非常困难的，而在计算机飞布和渐近分布都是非常困难的，而在计算机

13、飞速发展的今天，利用计算机进行随机模拟来获速发展的今天，利用计算机进行随机模拟来获得某种统计量的近似分布已十分容易。因此，得某种统计量的近似分布已十分容易。因此，随机模拟方法寻求统计量的分布已被普遍使用随机模拟方法寻求统计量的分布已被普遍使用。通常，抽样分布很难求得，有时。通常，抽样分布很难求得，有时尽管求出了尽管求出了精确抽样分布，但因为过于复杂而难以使用。精确抽样分布，但因为过于复杂而难以使用。第17页/共68页基本思想：基本思想：设有一个统计量设有一个统计量)(21nXXXTT，为了获得统计，为了获得统计量量T的分布函数的分布函数)()(tFn，我们可连续作一系列类似实验，我们可连续作一

14、系列类似实验，每次试验都是从总体中随机抽取容量为每次试验都是从总体中随机抽取容量为n的样本，然后的样本，然后计算其统计量的值。当这种试验进行了计算其统计量的值。当这种试验进行了N次时，就得到次时，就得到统计量统计量T的的N个观测值：个观测值：NTTT，21根据这根据这N个观测值：个观测值：可做其经验分布函数可做其经验分布函数)()(tFn可以证明，这种经验分布可以证明，这种经验分布函数函数)()(tFn是统计量是统计量T的分布的分布)()(tFnN的一个很好的近似。的一个很好的近似。这种寻求统计量的方法就是反复地从总体中抽样，这种这种寻求统计量的方法就是反复地从总体中抽样，这种抽样完全可由计算

15、机来实现。由此得到的统计量分布。抽样完全可由计算机来实现。由此得到的统计量分布。就是随机模拟法所获得的近似分布。就是随机模拟法所获得的近似分布。第18页/共68页6.3由正态分布导出的几个重要分布由正态分布导出的几个重要分布分布分布t分布分布F分布分布2第19页/共68页2. 定义定义6.3 设随机变量设随机变量相互独立相互独立，nXXX，21，则它们的，则它们的且且iX服从标准正态分服从标准正态分布布)10( ，N2niiX12平方和平方和服从自由度为服从自由度为n的的2分布。分布。分布由阿贝分布由阿贝(Abbe)1863年首先提出，后来由年首先提出，后来由21.自由度是统计学中常用的一个概

16、念，它可以解释自由度是统计学中常用的一个概念，它可以解释3.海尔墨特海尔墨特(Hermert)和卡和卡皮尔逊皮尔逊(K.Pearson)分别分别于于1875年和年和1900年推导出来的。年推导出来的。为独立变量的个数，还可以解释为二次型的秩。为独立变量的个数，还可以解释为二次型的秩。第20页/共68页2)(2，NX设设4.)10(，NXZ，则则1)(Yrank，即即2ZY 令令)1 (2Y，则则)(2n5.分布的概率密度函数曲线为分布的概率密度函数曲线为图图6-1 分布的概率密度函数曲线分布的概率密度函数曲线)(2n)(xpx第21页/共68页2(1) 分布的变量值始终为正的；分布的变量值始终

17、为正的； 分布的性质和特点分布的性质和特点：6.2(2) 分布的形状取决于自由度分布的形状取决于自由度n的大小，通常为的大小，通常为不对称分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称，不对称分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称，nDnE2)()(22，(3) 数学期望和方差分别为数学期望和方差分别为)()(22221221nn，(4) 可加性可加性：若若，且独立，且独立，)(2122221nn 则则当当n时时，2分布的极限分布是正态分布；分布的极限分布是正态分布；第22页/共68页2可可从从卡卡方方分分布布表表查查得得。分分位位数数的的)()(22npnp7.)(xp2)(2n计计算算相相应应的的临临

18、界界值值。分分布布的的右右尾尾概概率率根根据据)(2n。，则则可可求求出出相相应应的的即即如如果果xxP )(2利用利用Excel提供的统计函数提供的统计函数CHIINV可构建可构建2分布分布的的临界值表。临界值表。Excel操作操作第23页/共68页2当当n很大时，很大时，8.)112()(22，近近似似服服从从nNn实际上，当实际上，当n45时时，22)12(21)(nnpp由于由于)112()(22，nNn标准化后标准化后)10(112)(22，Nnn查标准正态分布查标准正态分布p分位数表分位数表ppnn112)(22则则22)12(21)(nnpp第24页/共68页2. 定义定义6.4

19、 设随机变量设随机变量分布分布，)()10(2nYNX，记为记为t(n)，其中，其中n为自由度。为自由度。独立，则独立，则且且YX与与nYXt/其分布称为其分布称为t分布分布，t分布也称学生氏分布，是高塞特分布也称学生氏分布，是高塞特(W.S.Gosset)于于1.提出的。提出的。1908年在一篇以年在一篇以“Student”为笔名的论文中首次为笔名的论文中首次第25页/共68页3.t分布的概率密度函数曲线分布的概率密度函数曲线图图6-2 t分布的概率密度函数曲线分布的概率密度函数曲线(t(13)(xpx0t(4)第26页/共68页4.t分布的临界值表分布的临界值表(t(13)(tpt0利用利

20、用Excel提供的统计函数提供的统计函数TINV可构建可构建t分布的分布的临界值表。临界值表。Excel操作操作t第27页/共68页(1) t分布的密度函数与标准正态分布分布的密度函数与标准正态分布N(0，1)的的t分布的性质和特点分布的性质和特点：5.(2) t(n)的密度函数的两侧都按的密度函数的两侧都按t-(n+1)的速度趋向的速度趋向密度函数非常近似，都是单峰偶函数；密度函数非常近似，都是单峰偶函数；于零，这比负指数函数趋向于零的速度要慢于零，这比负指数函数趋向于零的速度要慢一些，故一些，故 t(n)的密度函数在两侧尾部都要比的密度函数在两侧尾部都要比N(0，1)的两侧尾部粗一些；的两

21、侧尾部粗一些；20)(ntE，(3) t分布的数学期望为：分布的数学期望为：方差为：方差为：32)(nnntD，显然比，显然比N(0，1)大；大；第28页/共68页(4) 自由度为自由度为1的分布称为柯西分布，随着自由度的分布称为柯西分布，随着自由度增大，增大，t分布的密度函数愈来愈接近正态分布的分布的密度函数愈来愈接近正态分布的密度函数。密度函数。30n(5) 实际应用中，一般实际应用中，一般当当时，时，t分布与分布与标准正态分布就非常接近；标准正态分布就非常接近；(6) t分布一般用于小样本问题。分布一般用于小样本问题。第29页/共68页6. 与与t分布有关的两个抽样分布分布有关的两个抽样

22、分布：，22)(111XXnsXnXii的一个样本，的一个样本，(1) 设设是来自正态分布是来自正态分布nXXX，21)(2，N称为服从自由度为称为服从自由度为n-1的的t分布。分布。则则，)1()(ntsXn，)1()()1(22222nXXsni，)(2nNX注注：由于：由于故故，)10(/NnX第30页/共68页，iiYnYXnX11记：记：(2) 设设是两个相互独立的总体是两个相互独立的总体，YX和和，)(21NX是来自是来自X的一个的一个nXXX，21，)(22NY样本，样本，mYYY，21是来自是来自Y的一个样本，的一个样本，22)(11XXnsix，22)(11YYmsiy，2)

23、1()1(222mnsmsnsyxxy则则，)2()()(21mntnmmnsYXxy第31页/共68页则则。)2()()(21mntnmmnSYXxy，)()(2221mNYnNX222)1()1(yxsmsn注注：由于：由于，)10(/)()(21NmnYX)(YXE)()(YEXE，21)(YXD)()(YDXD，mn22故故222)()(YYXXii，)2(2 mn第32页/共68页则称则称X服从第一自由度为服从第一自由度为m，第二自由度为，第二自由度为n的的mZnYnZmYX/有如下表达式：有如下表达式：F分布是统计学家费希尔首先提出的。分布是统计学家费希尔首先提出的。F分布分布1.

24、显著性检验中都有着重要的地位。显著性检验中都有着重要的地位。有着广泛的应用，如在方差分析、回归方程的有着广泛的应用，如在方差分析、回归方程的分布，随机变量分布，随机变量X2分别服从自由度为分别服从自由度为m和和n的的2. 定义定义6.5 设随机变量设随机变量相互独立，且相互独立，且ZY与与ZY与与F分布，记为分布，记为F(m，n)，简记为，简记为)(nmFX，第33页/共68页3.F分布的概率密度函数曲线分布的概率密度函数曲线图图6-3 F分布的概率密度函数曲线分布的概率密度函数曲线F(1，10)F(5，10)F(10，10)(xpxO第34页/共68页4. F分布的临界值表分布的临界值表)(

25、xpxO利用利用Excel提供的统计函数提供的统计函数FINV可构建可构建F分布的分布的临界值表。临界值表。Excel操作操作F第35页/共68页F分布的性质和特点分布的性质和特点：5.方差：方差：4)4)(2()2(2)(2nnnmnmnXD，(1) 设随机变量设随机变量X服从服从， )(nmF22)(nnnXE，则数学期望：则数学期望：可查可查F分布表获得，分布表获得，(2) F分布的分布的p分位数分位数)(21vvFp，且且)(1)(12121vvFvvFpp，(3) F分布与分布与t分布的关系分布的关系若若)(ntX分布，则分布，则)1 (2nFX，第36页/共68页 x2122221

26、xnnexn00 x0 x n2第37页/共68页212)1()2()21()(nnxnnnxx第38页/共68页 x221122212121211112)2(2nnnnnnxnnnnnn0 x0 x0第39页/共68页 dxexrxr010r rrr1第40页/共68页xexfux,21)(2221第41页/共68页6.4样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布样本均值的分布中心极限定理中心极限定理第42页/共68页样本均值的分布样本均值的分布的随机变量。的随机变量。1. 设设是从某一总体中抽出的随机样本是从某一总体中抽出的随机样本，nXXX，21则则为互相独立

27、且与总体有相同分布为互相独立且与总体有相同分布nXXX，212. 要想知道要想知道的分布，必须知道总体分布。的分布，必须知道总体分布。X由于正态分布是最常见的分布之一，所以主要介绍即由于正态分布是最常见的分布之一，所以主要介绍即)(2，N在总体分布为正态分布在总体分布为正态分布X时样本均时样本均值值的分布。的分布。)(2，N3. 在总体分布为正态分布在总体分布为正态分布时，有时，有X)(2nNX，的抽样分布仍为正态分布，即的抽样分布仍为正态分布，即说明用样本均说明用样本均值值X时，平均来说时，平均来说去估计总体均去估计总体均值值没有偏差；当没有偏差；当n越来越大时，越来越大时，的离散程度越来越

28、小，的离散程度越来越小，X即用即用X越来越准确。越来越准确。估估计计第43页/共68页样本均值的分布样本均值的分布4. 实际应用中，总体的分布并不总是正态分布或近实际应用中，总体的分布并不总是正态分布或近似似但由中心极限定理知道，不管总体的分布是什么，但由中心极限定理知道，不管总体的分布是什么，的分布总是近似正态分布，只要的分布总是近似正态分布，只要X此时样本均此时样本均值值2总体总体的的有限。有限。正态分布，此时正态分布，此时X的分布将取决于总体分布的情况。的分布将取决于总体分布的情况。，5. 无论对什么总体分布，设总体均值无论对什么总体分布，设总体均值为为总体方差总体方差)(XE为为，总，

29、总有有2)1(iXnE)(1iXEn)(XD)1(iXnD)(12iXDnn2所以所以n较大时，较大时，)(2nNX，即即)10(/，NnX第44页/共68页样本均值的分布样本均值的分布6. 由图形来观察：由图形来观察：)(2nNX，抽样分布抽样分布X50104n5xX50 x16n5.2x第45页/共68页中心极限定理中心极限定理XXnX2，方差，方差总体期望总体期望中心极限定理中心极限定理：设从均值为：设从均值为 ，方差为，方差为 的一个任意的一个任意总体中抽取样本量为总体中抽取样本量为n的样本，当的样本，当n充分大时，样充分大时，样本均值本均值 的抽样分布近似服从均值为的抽样分布近似服从

30、均值为 、方差为、方差为X2n/2正态分布正态分布第46页/共68页中心极限定理中心极限定理抽样分布趋于正态分布的过程抽样分布趋于正态分布的过程)(xfx)(xfx)(xfx总总体体分分布布形形状状时时2n的的抽抽样样分分布布x时时4n的的抽抽样样分分布布x时时30n的的抽抽样样分分布布xx)(xfx)(xfx)(xfx)(xfx)(xfx)(xfx)(xfx)(xfx)(xf第47页/共68页中心极限定理中心极限定理2.实际应用中，由于总体的分布未知，我们常要求实际应用中，由于总体的分布未知，我们常要求n30。中心极限定理中心极限定理：设从均值为：设从均值为 ，方差为，方差为 的一个任意的一

31、个任意总体中抽取样本量为总体中抽取样本量为n的样本，当的样本，当n充分大时，样充分大时，样本均值本均值 的抽样分布近似服从均值为的抽样分布近似服从均值为 、方差为、方差为X2n/2正态分布正态分布注：注：1.中心极限定理要求中心极限定理要求n充分大，那么多大叫充分大呢？充分大，那么多大叫充分大呢？这与总体的分布形状有关。总体偏离正态越远，则这与总体的分布形状有关。总体偏离正态越远，则要求要求n越大。越大。3.大样本与小样本问题。在样本量固定的条件下进行的大样本与小样本问题。在样本量固定的条件下进行的统计推断、问题分析，都称为小样本问题；而在样统计推断、问题分析，都称为小样本问题；而在样本量本量

32、n的条件下进行的统计推断、问题分析则称的条件下进行的统计推断、问题分析则称为大样本问题。一般统计学中的为大样本问题。一般统计学中的n30为大样本，为大样本，n30为小样本只是一种经验说法。为小样本只是一种经验说法。第48页/共68页例题讲解例题讲解【 例例 6 . 4】的的总总体体、标标准准差差设设从从一一个个均均值值6 . 010是是很很偏偏，的的样样本本。假假定定该该总总体体不不中中随随机机选选取取容容量量36n的的近近似似概概率率。小小于于计计算算样样本本均均值值要要求求：9 . 9) 1 (X的的近近似似概概率率。超超过过计计算算样样本本均均值值9 . 9)2(X解解：根根据据中中心心

33、极极限限定定理理，)(2nNX，)1 . 010(2，故故NX)9 . 9(XP)1 . 0109 . 91 . 010(XP) 1(ZP) 1(ZP) 1(1ZP)1 (11587. 08413. 01)9 . 9(XP)9 . 9(1XP8413. 01587. 01解解：第49页/共68页例题讲解例题讲解范范围围内内附附近近在在总总体体均均值值计计算算样样本本均均值值1 . 010)3(X) 1 .109 . 9( XP)1 . 0101 .101 . 0101 . 0109 . 9(XP) 11(ZP1) 1(2ZP6826. 0的的近近似似概概率率。解解：) 1() 1(ZPZP第5

34、0页/共68页例题讲解例题讲解【 例例 6 . 5】产产的的电电瓶瓶具具有有均均值值为为某某汽汽车车电电瓶瓶商商声声称称其其生生设设质质检检部部门门决决定定个个月月的的寿寿命命分分布布。现现假假个个月月、标标准准差差为为 660的的电电瓶瓶进进行行寿寿命命试试验验。个个该该厂厂生生产产确确，为为此此随随机机抽抽查查了了检检验验该该厂厂的的说说法法是是否否准准50解解：个个电电瓶瓶的的平平均均，试试描描述述假假定定厂厂商商声声称称是是正正确确的的50) 1 (寿寿命命的的抽抽样样分分布布。根根据据中中心心极极限限定定理理，即即60X布布近近似似服服从从正正态态分分布布。个个电电瓶瓶的的平平均均寿

35、寿命命的的分分说说明明50，方方差差72. 0506222nX，85. 072. 0X)85. 0 ,60(2NX故故第51页/共68页例题讲解例题讲解解解：过过个个样样本本的的平平均均寿寿命命不不超超假假定定厂厂商商声声称称正正确确，则则 50)2(个个月月的的概概率率为为多多少少？57若若厂厂商商声声称称正正确确，则则。，这这是是一一个个不不可可能能事事件件个个月月的的概概率率为为不不超超过过0002. 057个个电电瓶瓶的的平平均均寿寿命命则则即即若若厂厂商商的的说说法法正正确确，50)57(XP个个电电瓶瓶的的平平均均寿寿命命观观察察到到根根据据小小概概率率事事件件原原理理，50)85

36、. 0 ,60() 1 (2NX的的结结果果：)85. 0605785. 060(XP)529. 3(ZP)529. 3(10002. 09998. 01如如果果真真的的观观察察个个月月是是不不可可能能的的；反反之之小小于于或或等等于于57个个月月，则则有有理理由由怀怀疑疑个个电电瓶瓶的的平平均均寿寿命命低低于于到到5750。认认为为厂厂商商的的说说法法不不正正确确厂厂商商说说法法的的正正确确性性，即即第52页/共68页大样本大样本小样本小样本任何样本任何样本第53页/共68页6.5 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布1.总体总体(或样本或样本)中具有某种特征的个体个数与全部个中具有某种特征

37、的个体个数与全部个数之比，称为比例。数之比，称为比例。例如：例如：不同性别的人与全部人数之比。不同性别的人与全部人数之比。2.总体比例：总体比例：NN0样本比例：样本比例：nnp0 3.由二项分布的原理和渐近分布的理论可知，由二项分布的原理和渐近分布的理论可知，逼逼近近。的的分分布布可可用用正正态态分分布布去去充充分分大大时时，当当pn)1 (nNp，所以样本比例的分布所以样本比例的分布：第54页/共68页6.5 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布0)()()2(aDaaEa，是是常常数数，则则如如果果期望与方差的线性运算与性质期望与方差的线性运算与性质：同同分分布布。与与是是常常数数，则则

38、是是一一随随机机变变量量，如如果果XCXCX) 1 (是是常常数数，、是是随随机机变变量量，、如如果果baYX)3()()()(YbEXaEbYaXE则则是是常常数数，、，是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量、如如果果baYX)4()()()(22YDbXDabYaXD则则第55页/共68页样本比例的例题样本比例的例题的的抽抽样样分分布布。，试试描描述述，设设XNX10)29(2【 例例 6 . 6】解解：，由由)29(2NX也也服服从从正正态态分分布布。所所以以X10)10(XE)(10XE90)10(XD)(102XD400所所以以又又因因为为)2090(102，NX第56页/共68页

39、样本比例的例题样本比例的例题至至少少的的报报表表中中有有假假定定某某统统计计人人员员在在填填写写%2【 例例 6 . 7】解解：份份报报表表组组成成们们检检查查了了一一个个由由会会有有一一处处错错误误，如如果果我我600之之间间的的概概率率有有多多大大？在在070. 0025. 0误误的的报报表表所所占占的的比比例例份份报报表表中中至至少少有有一一处处错错设设600，02. 0p的的比比例例有有一一处处错错误误的的报报表表所所占占的的随随机机样样本本，其其中中至至少少，由由题题意意可可知知：为为p 0057. 0)1 (np)0057. 002. 0(2，根根据据中中心心极极限限定定理理，有有

40、Np)070. 0025. 0( pP)0057. 002. 0070. 00057. 002. 00057. 002. 0025. 0(pP)77. 8877. 0(ZP1902. 0)877. 0()77. 8(第57页/共68页两个样本平均值之差的分布两个样本平均值之差的分布1.的的一一个个容容量量，是是独独立立地地抽抽自自总总体体设设)(21111NXX是是独独立立地地抽抽自自总总体体的的样样本本的的均均值值。为为21Xn的的样样本本的的均均值值，的的一一个个容容量量为为，22222)(nNX)(21XXE则则)()(21XEXE21)(21XXD)()(21XDXD222121nn服

41、服从从正正态态分分布布。若若总总体体为为正正态态分分布布，则则)() 1 (21XX 近近似似时时，则则，一一般般，若若)(3030)2(2121XXnn服服从从正正态态分分布布。第58页/共68页两个样本均值之差的例题两个样本均值之差的例题校校在在某某年年录录取取新新生生时时，设设有有甲甲、乙乙两两所所著著名名高高【 例例 6 . 8】解解：分分，且且服服从从正正态态分分布布；分分，标标准准差差为为甲甲校校平平均均分分为为20655由由前前面面讨讨论论知知，分分，也也服服从从正正态态分分布布。分分，标标准准差差为为乙乙校校平平均均分分为为25625名名新新生生计计算算平平均均分分数数，机机抽

42、抽取取现现从从甲甲、乙乙两两校校中中各各随随8分分低低的的可可能能性性有有多多大大？出出现现甲甲校校比比乙乙校校的的平平均均，)()(2221212121nnNXX)0(21 XXP故故)825820)625655(0)()(222221212121nnXXP004. 0)65. 2(ZP第59页/共68页两个样本比例之差的分布两个样本比例之差的分布的的二二项项总总体体中中抽抽取取包包含含和和设设分分别别从从具具有有参参数数为为21则则两两个个个个观观测测值值的的独独立立样样本本，个个观观测测值值和和21nn)() 1 (21ppE近近似似服服从从正正态态分分布布。很很大大时时，和和当当)()

43、2(2121ppnn样样本本比比例例差差的的分分布布：)()(21pEpE21)(21ppD)()(21pDpD222111)1 ()1 (nn第60页/共68页两个样本比例之差的例题两个样本比例之差的例题市市的的消消费费者者中中有有一一项项抽抽样样调调查查表表明明甲甲城城15【 例例 6 . 9】解解：者者中中泉泉水水，而而乙乙城城市市的的消消费费的的人人喝喝过过“圣圣洁洁”牌牌矿矿00159. 007. 008. 000159. 007. 0)(21ppP)251. 0(ZP4009. 0的的，。如如果果这这些些数数据据是是真真实实的的人人喝喝过过该该种种矿矿泉泉水水只只有有8人人人人，乙乙城城市市抽抽取取市市抽抽取取那那么么当当我我们们分分别别从从甲甲城城140120不不低低于于时时，样样本本比比例例差差组组成成两两个个独独立立随随机机样样本本21pp 的的概概率率有有多多大大？08. 0由由前前面面讨讨论论知知，)1 ()1 (2221112121nnNpp，)00159. 007. 0(21，即即：Npp 08. 021 ppP则则：第