第三章 常用概率分布之正态分布

1、第三章第三章 常用概率分布常用概率分布第一节第一节 事件与概率事件与概率第二节第二节 概率分布概率分布第三节第三节 二项式分布二项式分布第四节第四节 正态分布正态分布第五节第五节 样本平均数抽样分布与标准误样本平均数抽样分布与标准误第六节第六节 t t分布，分布，x x2 2分布和分布和F F分布分布第三章第三章 常用概率分布常用概率分布第一节第一节 事件与概率事件与概率第二节第二节 概率分布概率分布第三节第三节 二项式分布二项式分布第四节第四节 正态分布正态分布第五节第五节 样本平均数抽样分布与标准误样本平均数抽样分布与标准误第六节第六节 t t分布，分布，x x2 2分布和分布和F F分布

2、分布第四节第四节 正态分布正态分布一、正态分布曲线的特性一、正态分布曲线的特性二、标准正态分布及其累积函数二、标准正态分布及其累积函数（曲线区间面积或概率）（曲线区间面积或概率）三、实际次数资料的理论配合三、实际次数资料的理论配合四、二项分布的正态近似四、二项分布的正态近似 正态分布正态分布(Normal distribution)是应用最广泛的是应用最广泛的一种连续型分布一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯分布(Gaussian distribution).德莫佛德莫佛de Moivre 德莫佛最早

3、发现了二项概率德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认的一个近似公式，这一公式被认为是为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.高斯高斯Gauss高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验球的数目足够大，它们在底板将堆成球的数目足够大，它们在底板将堆成近似于正态近似于正态的密度函数图形这是英国的密度函数图形这是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型。随机现象的模型。研究正态分布的研究正态分布的意义意义：1. 客观世界的许多现象的数据是服从正态分布规律的。客观世界的许多现象的数据是服从正态分布规律的。2. 在适当条件下，正态分布可以用来作二项分布及其在适

4、当条件下，正态分布可以用来作二项分布及其它间断性变数或连续性变数分布的近似分布。它间断性变数或连续性变数分布的近似分布。3. 虽然某些总体不作正态分布，但从总体中随机抽出虽然某些总体不作正态分布，但从总体中随机抽出的样本平均数及其它一些统计数的分布，在样本容的样本平均数及其它一些统计数的分布，在样本容量适当大时仍然趋于正态分布。量适当大时仍然趋于正态分布。正态分正态分布布正态分布的定义正态分布的定义 若随机变量若随机变量X的的概率分布密度函数为概率分布密度函数为),(2NX记作记作 f (x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态分布密度曲线正态分布密度曲线.xexfx,)()(22221 其中

5、其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， 0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. 222正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N（1 1）正态分布的密度曲线是一条关于）正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .（2 2）故）故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达处达到最大值到最大值: :xexfx,)()(22221 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分别代入分别代入f (x), 可得可得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +

6、c) f (), f (- -c)f ()21)(f 能不能根据密度函数的表达式，能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？得出正态分布的图形特点呢？xexfx,)()(22221 （3）容易看到，）容易看到，f(x)0 （非负函数）（非负函数）即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲线都在x轴的上方轴的上方; ;这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴轴( (不相交不相交) )。即。即f (x)以以x轴为渐近轴为渐近线。线。 xexfx,)()(22221 当当x 时，时，f(x) 0, ,（4）分布密度曲线在）分布密度曲线在x=处各有一处

7、各有一个拐点（求导）个拐点（求导）-+生长始盛期生长始盛期盛末期盛末期 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的变异中峰的变异( (陡峭陡峭) )程度程度. . （5）正态分布）正态分布 的图形特点的图形特点),(2N（6）分布密度曲线与横轴构成的曲）分布密度曲线与横轴构成的曲边三角形的面积为边三角形的面积为1小结：正态分布曲线的特点小结：正态分布曲线的特点：1. 服从正态分布的变量的频数分布由服从正态分布的变量的频数分布由、完全决定。完全决定。2. 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置，算术平均数、中

8、数、众数三位合一。位置，算术平均数、中数、众数三位合一。3. 对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。端永远不与横轴相交。4. 均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。正态分布曲线是以平均数和标右两侧逐渐均匀下降。正态分布曲线是以平均数和标准差的不同而表现为一系列曲线；准差的不同而表现为一系列曲线；5. 正态分布曲线在离开平均数一个标准差处有拐点，且正态分布曲线在离开平均数一个标准差处有拐点，且曲线是以曲线是以x轴为渐进线；轴为渐进线；6. 正态分布曲

9、线与正态分布曲线与x轴间的面积为轴间的面积为1，任何两个，任何两个x定值间的定值间的面积或概率由平均数和标准差确定面积或概率由平均数和标准差确定。正态分正态分布布请同学们想一想，实际生活中哪些随请同学们想一想，实际生活中哪些随机变量具有正态分布的特点？机变量具有正态分布的特点？ 用上海用上海99年年降雨量的数据画出了年年降雨量的数据画出了频率直方图。频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。雨量近似服从正态分布。用某大学男大学生的身高的数据画出用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。的频率直方图。红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度

10、曲线密度曲线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。应服从正态分布。学生的考试成绩高低不等，但中等成绩的学生的考试成绩高低不等，但中等成绩的占大多数，高分和不及格的一般只是少数，占大多数，高分和不及格的一般只是少数，并且较高分和较低分的人数大致相近，这并且较高分和较低分的人数大致相近，这从一个方面反映了从一个方面反映了服从正态分布的随机变服从正态分布的随机变量的特点量的特点。 除了年降雨量、身高、男女出生率比除了年降雨量、身高、男女出生率比例、成绩分布之外例、成绩分布之外, ,在正常条件下各种产品在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度的质量指标，如

11、零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布态分布. .xexfx,)()(22221 服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X的的概率密度是概率密度是),(2NX的分布函数的分布函数F(X)是怎样的呢？是怎样的呢？ 设设X ,X的分布函数是的分布函数是),(2NF(X)=PXXi又称为累积函数，含义是又称为累积函数，含义是X值小值小于等于某个指定值的概率于等于某个指定值的概率F(X)本质

12、上是概率，可用曲线下区间的本质上是概率，可用曲线下区间的面积面积来表示来表示（几何意义），或者说，用其定积分的值表示（数学）（几何意义），或者说，用其定积分的值表示（数学）0 xx)()x(dXfiFNN计算曲线下从计算曲线下从到到x的面积，其公式如下：的面积，其公式如下：计算正态分布曲线区间计算正态分布曲线区间a x b面积或概率的方法面积或概率的方法baxdxbaPe22121)x( 现如给予变数任何一定值，例如现如给予变数任何一定值，例如a，那么，可以计算，那么，可以计算ya的的概率为概率为FN(a)，即，即)()(aFaXPN如果如果a与与b(ab)是是X的两个定值，则其区间概率可从下

13、式计算：的两个定值，则其区间概率可从下式计算： )()()(aFbFbXaPNNA=P(ayb)fN(X)正态分布密度函数的积分说明图面积正态分布密度函数的积分说明图面积A=P(ay0时时, (x)的值的值.当当-x0时时xx),(2NX若若XYN(0,1) 若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abUU 例例 假定假定y是一随机变数具有正态分布，平均数是一随机变数具有正态分布，平均数 =30，标准差，标准差 =5，试计算小于，试计算小于26，小于，小于40的概率，的概率，介乎介乎26和和40区间的概率以及大于区间的概率以及大于40的概率。的概率。 所有

14、正态分布都可以转换为标准化正态分布方程式所有正态分布都可以转换为标准化正态分布方程式首先计算：首先计算：)26()26(NFyP先将先将y转换为转换为u值值 euu22121)(然后查表计算概率。然后查表计算概率。 8053026.yuyu同理可得：同理可得： FN(40)=0.9773 所以：所以：P(26y40)=FN(40)FN(26)=0.97730.2119 = 0.7654 P(y40)=1P(y40)=10.9773 =0.0227 查附表查附表2，当，当u=0.8时，时，FN(26)=0.2119，说明这，说明这一分布从一分布从到到26范围内的变量数占全部变量数的范围内的变量数

15、占全部变量数的21.19%，或者说，或者说，y26概率为概率为0.2119.10152025303540450.0000.0040.0080.0120.0160.02010152025303540450.0000.0040.0080.0120.0160.02010152025303540450.0000.0040.0080.0120.0160.02010152025303540450.0000.0040.0080.0120.0160.020)x(Nf)x(Nf)x(Nf)x(Nf2119. 0)26(yP9773. 0)40(yP7654. 0)4026( yP0227. 0)40(yP概率计

16、算图示 例例 假定棉花纤维长度的系列观测值是一组随机变数且假定棉花纤维长度的系列观测值是一组随机变数且具有正态分布，平均数具有正态分布，平均数 =29.83mm， 标准差标准差 =1.045，试计算需要试计算需要50株纤维长度株纤维长度x32mm的棉花，需要至少种植的棉花，需要至少种植 多少株棉花？多少株棉花？F(X 32mm)=1-F(X32mm)U=(32-29.83)/1.045=2.081-F(u=2.08)=0.018850/0.0188=2660株株对于服从正态分布对于服从正态分布N(，2)的随机变量的随机变量x,以下以下几个概率几个概率即随机变量即随机变量x在区间在区间( k,

17、+ k )内取值的概率，内取值的概率，k=1,2,3,1.96,2.58 应用较多应用较多P( x + )=0.6826P( 2 x + 2)=0.9545P( 3 x + 3)=0.9973P( 1.96 x + 1.96)=0.95P( 2.58 x + 2.58)=0.99 X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在 3 , + 3区区间内，超出这个范围的可能性不到间内，超出这个范围的可能性不到0.3%,这这在统计学上称作在统计学上称作“3准则准则”对于服从正态分布对于服从正态分布N(，2)的随机变量的随机变量x,以以下几个概率下几个概率即随机变量即随机变量x在区间在区间( k, + k

18、 )内取值的概率，内取值的概率，k=1,2,3,1.96,2.58 应用应用较多较多P( x + )=0.6826P( 2 x + 2)=0.9545P( 3 x + 3)=0.9973P( 1.96 x + 1.96)=0.95P( 2.58 x + 2.58)=0.99 -3-2-101230.00.10.20.30.40.5-3-2-101230.00.10.20.30.40.5图图4.13 离均差的绝对值离均差的绝对值1 , 2 和和3 的概率值的概率值6827. 0) 11(uP9545. 0)22(uP -3-2-101230.00.10.20.30.40.59739.0)33(u

19、P随机变量随机变量x在区间在区间( k, + k )外取值的概率外取值的概率P ( x + k )为两尾概率，记为为两尾概率，记为P ( x + k )=P ( x + k )=/2两尾分位数两尾分位数U-3-2-101230.00.10.20.30.40.595. 0)96. 196. 1(uP-3-2-101230.00.10.20.30.40.5-3-2-101230.00.10.20.30.40.595. 0)96. 196. 1(uP99.0)58.258.2(uP 两尾之和0.025+0.025=0.05=0.05两尾分位数U=1.96（临界值）表示标准正态离差U=1.96时所对应

20、的两尾概率 为0.05 两尾之和0.005+0.005=0.01=0.01U=2.58（临界值）表示标准正态离差U=2.58时所对应的两尾概率 为0.01实际次数资料的理论配合实际次数资料的理论配合正态分布是实际次正态分布是实际次数分布的一种理论数分布的一种理论或总体模型，而实或总体模型，而实际的次数分布是样际的次数分布是样本的分布本的分布由于样本容量有限由于样本容量有限和抽样误差，样本和抽样误差，样本的分布总是有参差的分布总是有参差分布密度曲分布密度曲线与横轴构线与横轴构成的曲边三成的曲边三角形的面积角形的面积为为1次数分布表的次数分布表的直方图方柱的直方图方柱的面积面积S=nin: 次数之

21、和次数之和i: 组距组距f(x)=ni f(x)，即，即f(x)扩大扩大ni倍倍配合的好不好，有一个拟合度（配合的好不好，有一个拟合度（fitness)来衡量来衡量每一个观察的点都在曲线上面，就是最好的拟合，每一个观察的点都在曲线上面，就是最好的拟合，但是实际不可能，这就表明实际观察结果和用正但是实际不可能，这就表明实际观察结果和用正态分布曲线拟合的不完全一致，后面有专门的假态分布曲线拟合的不完全一致，后面有专门的假设测验来检验配出来的曲线是否有统计意义设测验来检验配出来的曲线是否有统计意义二项分布的正态近似二项分布的正态近似当当n很大，很大，p接近接近0或或1时，二项分布近似泊松时，二项分布

22、近似泊松分布分布; 如果如果n很大，而很大，而p不接近于不接近于0或或1，那么，那么可以证明，二项分布近似于正态分布可以证明，二项分布近似于正态分布.有关有关二项分布近似于正态分布二项分布近似于正态分布的一个定理，的一个定理，称为称为棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理. . 中心极限定理中心极限定理的一个最重要的特殊情况的一个最重要的特殊情况. .正态分布可以用来近似的计算二项分布正态分布可以用来近似的计算二项分布利用正态分布近似计算二项分布的必要性利用正态分布近似计算二项分布的必要性knkknqpCP)kx(n=20, x 2P(x 2)=?P(x 2)=1-p(x=0)-p(x=1)n=

23、20, x 10P(x 10)=?P(x 10)=p(x=10)+p(x=11)+.+p(x=20)利用正态分布近似计算二项分布的可能性利用正态分布近似计算二项分布的可能性P=0.1P=0.1但但n n值不同时的二项分布值不同时的二项分布参数：参数：n,pn,pp p值较小且值较小且n n值不大时，分值不大时，分布是偏倚的，布是偏倚的，随着随着n n的增大，分布逐渐对的增大，分布逐渐对称称（1）当）当p=q=0.5时，二项时，二项分布近似于正态分布的对分布近似于正态分布的对称分布称分布（2）p q时，时，n足够大到足够大到使使np5(在在p 0.5时）或时）或nq5(在在p0.5时），并且时）

24、，并且p和和q都不过大或者过小都不过大或者过小（比如：（比如：0.1, 0.9），则），则二项分布趋于对称，并且二项分布趋于对称，并且近似于正态分布。近似于正态分布。在具备上述条件时，可用在具备上述条件时，可用正态近似计算二项分布正态近似计算二项分布利用正态分布近似计算二项分布的方法利用正态分布近似计算二项分布的方法正态分布是连续性分布，二项分布正态分布是连续性分布，二项分布是间断性分布，表示概率的方式不是间断性分布，表示概率的方式不一样一样比如：比如：x=6时，对应的正态曲线应时，对应的正态曲线应为一个区间，或者为一个区间，或者030正态总体的抽样分布正态总体的抽样分布 (一一) 样本平均数

25、的分布样本平均数的分布 从正态总体抽取的样本平均数的分布一般为从正态总体抽取的样本平均数的分布一般为N( ， )。n2 图中给出样本容量图中给出样本容量n=1，4与与9时的分布，从时的分布，从图中可以看出随着样本容图中可以看出随着样本容量的增加，分布的集中程量的增加，分布的集中程度增加了，说明标准差减度增加了，说明标准差减少了。少了。-3-2-101230.00.20.40.60.81.01.2n=4n=1n=9)(yfNy不同样本容量的抽样分布 由中心极限定理知，只要样本容量适当大，不论总由中心极限定理知，只要样本容量适当大，不论总体分布形状如何，其体分布形状如何，其 的分布都可看作为正态分

26、布，且的分布都可看作为正态分布，且具平均数具平均数 和方差和方差 。在实际应用上，如。在实际应用上，如n30就可就可以应用这一定理。以应用这一定理。 xn2平均数的标准化分布是将上述平均数平均数的标准化分布是将上述平均数 转换为转换为u变数。变数。xnxux)()x( 例例 在江苏沛县调查在江苏沛县调查336个个m2小地老虎虫危害情况的结果，小地老虎虫危害情况的结果， =4.73头，头， =2.63，试问样本容量，试问样本容量n=30时，由于随机抽样得到样时，由于随机抽样得到样本平均数本平均数 等于或小于等于或小于4.37的概率为多少？的概率为多少？x 查附表查附表2，P(u0.75)=0.2

27、266，即概率为，即概率为22.66% (属一尾属一尾概率概率)。(头)480. 03063. 2ny75.048.036.0480.0)73.437.4(xxu 例题：已知一个正态总体的例题：已知一个正态总体的=3， =0.707，试求，若样本容量试求，若样本容量n=4，P 2.625=? = =0.707/4=0.3535 U=(2.625-3)/0.3535=-1.06 P 20625=F(U)=F(-1.06)=0.14460.1446n=4时，时，2.625的平均数共有的平均数共有1+8+28=37个个37/256=0.1445 例：例：田间田间106株株”岱字棉岱字棉” 纤维长度呈

28、正态分布纤维长度呈正态分布, 设设=29.83mm， =1.045mm，试求，试求: (1)若若n=4株抽取随机样本株抽取随机样本时，时， 与与 相差相差0.5mm的概率。的概率。=1.045/4=0.5225U1=-0.5/0.5225=-0.96U2= 0.5/0.5225=0.96F(-0.96)=0.1685由于正态分布左右对称，由于正态分布左右对称，pu0.96所以所以P | -u|0.5= Pu0.96=0.1685+0.1685=0.3370 (属一尾概率属一尾概率)。 例：例：田间田间106株株”岱字棉岱字棉” 纤维长度呈正态分布纤维长度呈正态分布, 设设=29.83mm， =

29、1.045mm，试求，试求: (2)若若n=25株，株，则则P | -|0.5=？ =1.045/25=0.2090U1=-0.5/0.2090=-2.39F(-2.39)=0.0084P | -|0.5=2x0.0084=0.0168 n=4，样本平均数与，样本平均数与的相差超过的相差超过0.5mm的概率为的概率为0.3370；n=25，样本平均数与样本平均数与的相差超过的相差超过0.5mm的的概率只有概率只有0.0168说明，说明，n增大，平均数的离散程度减小，准确性提高增大，平均数的离散程度减小，准确性提高三三 两个独立样本平均数差数的分布两个独立样本平均数差数的分布 假定有两个正态总体

30、各具有平均数和标准差为假定有两个正态总体各具有平均数和标准差为 ， 和和 ， ，从第一个总体随机抽取，从第一个总体随机抽取n1个观察值，同时独立个观察值，同时独立地从第二个总体随时机抽取地从第二个总体随时机抽取n2个观察值。这样计算出样本个观察值。这样计算出样本平均数和标准差平均数和标准差 ，s1和和 ，s2。11221x2x 从统计理论可以推导出其样本平均数的差数从统计理论可以推导出其样本平均数的差数( )的的抽样分布，具有以下特性：抽样分布，具有以下特性： 21xx (1) 如果两个总体各作正态分布，则其样本平均数差数如果两个总体各作正态分布，则其样本平均数差数( )准确地遵循正态分布律，

31、无论样本容量大或小，准确地遵循正态分布律，无论样本容量大或小，都有都有N( ， )。 21xx21xx2x21x (2) 两个样本平均数差数分布的平均数必等于两个总体两个样本平均数差数分布的平均数必等于两个总体平均数的差数，即平均数的差数，即21x21x (3) 两个独立的样本平均数差数分布的方差等于两个两个独立的样本平均数差数分布的方差等于两个总体的样本平均数的方差总和，即总体的样本平均数的方差总和，即 222121222x2121nnxxxnnx222121x21这个分布也可标准化，获得这个分布也可标准化，获得u值。值。nnxxu2221212121)()(其差数标准差为：其差数标准差为：

32、 小结：小结：l若两个样本抽自于同一正态总体，则其平均数差数的抽若两个样本抽自于同一正态总体，则其平均数差数的抽样分布不论容量大小亦作正态分布具：样分布不论容量大小亦作正态分布具：l若两个样本抽自于同一总体，但并非正态总体，则其平均若两个样本抽自于同一总体，但并非正态总体，则其平均数差数的抽样分布按中心极限定理在数差数的抽样分布按中心极限定理在n1和和n2相当大时相当大时(大于大于30)才逐渐接近于正态分布。才逐渐接近于正态分布。l若两个样本抽自于两个非正态总体，当若两个样本抽自于两个非正态总体，当n1和和n2相当大、而相当大、而 与与 相差不太远时，也可近似地应用正态接近方法估计相差不太远时

33、，也可近似地应用正态接近方法估计平均数差数出现的概率，当然这种估计的可靠性得依两总体平均数差数出现的概率，当然这种估计的可靠性得依两总体偏离正态的程度和相差大小而转移。偏离正态的程度和相差大小而转移。2122nnxx21xx11，02121 (二二) 样本总和数的抽样样本总和数的抽样及其分布参数及其分布参数 样本总和数样本总和数(用用 代表代表)的抽样分布参数与母总体间存在的抽样分布参数与母总体间存在如下关系：如下关系： (1) 该抽样分布的平均数该抽样分布的平均数 与母总体的平均数间的关系为：与母总体的平均数间的关系为： yyny(419) (2) 该抽样分布的方差该抽样分布的方差 与母总体方差间存在如下关系：与母总体方差间存在如下关系： 2y22ny(420) 二项总体的抽样分布二项总体的抽样分布(一一) 二项总体的分布参数二项总体的分布参数ppqpp)(12pqpp)(1 其中其中p为二项总体中要研究的属性事件发生的概率，为二项总体中要研究的属性事件发生的概率，q=1p 。标准差标准差:方差方差:平均数平均数: 样本平均数样本平均数(成数成数)的抽样分布的抽样分布 从二项总体进行抽样得到样本，样本平均数抽样分从二项总体进行抽样得到样本，样本平均数抽样分布的参数为：布的参数为：平均数平均数:方差方差:标准误标准误: