高等数学第六版高阶线性微分方程

1、目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程 第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为(二阶线性微分方程)( )( )( )yP x yQ x yf x)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xxQxxPxxPde)(ed)(d)(xxPCyd)(e非齐次方程特解齐次方程通

2、解Yy0)(xf一、二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程 目录 上页 下页 返回 结束 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕二、二阶线性齐次方程解的结构二、二阶线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,

3、)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得1122( )( )( )0,nnxIk y xk yxk yx当，则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间

4、 I 上都线性相关;又如，,12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 则)(),(21xyxy必线性相关相关0)(

5、)()()(2121xyxyxyxy(证明略)21, yy可微函数线性无关目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, )()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证) 推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关解, 则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC则目录 上页 下页 返回 结束

6、 三、二阶线性非齐次方程解的结构三、二阶线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解 .证证: 将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ目录 上页 下页 返回 结束 )(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解

7、因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解 .目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4.1( )yx是方程有特解其中，12( )( )( ),yxyxyx 12( )( )( )yP x yQ x yf xfx的特解. 方程1( )( )( )yP x yQ x yf x2( )( )( )yP x yQ x yfx2( )yx是方程的特解. (非齐次方程特解的叠加原理非齐次方程特解的叠加原理) 定理定理 5. yP x yQ x yf x分别是二阶线性非齐次方程的两个特解, 设 12,yxyx 12( )y xyx是对应的齐次方程的一个特解.则目录 上页 下页 返回

8、结束 常数, 则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例1.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x个解,e,e,2321xxy

9、yxy求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解, 且xxyyyyxx21312ee常数因而线性无关, 故原方程通解为)(e)(e221xCxCyxxx代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解为有三 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结( )( )( )yP x yQ x yf x二阶线性微分方程时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.0)(xf定理定理 1.若二阶线性齐次方程)()(2211xyCxyCy12(,C C 为数）任意常则该方程的通解为)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数( )( )0yP x yQ x y有两个线性无关特解 12( ),( ),y xyx目录 上页 下页 返回 结束 *( ),yx设二阶非齐次方程有一个特解 )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 2.)()()(xfyxQy