电磁力计算教材

1、1. 1. 载流长直导线的磁场载流长直导线的磁场 设有长为设有长为L的的载流直载流直导线，通有电流导线，通有电流I。计算。计算与导线垂直距离为与导线垂直距离为d的的p点的磁感强度。取点的磁感强度。取Z Z轴沿轴沿载流导线，如图所示。载流导线，如图所示。 8-3 毕奥毕奥萨伐尔定律的应用萨伐尔定律的应用OPBd12ILldrld30d4drrlIB 所有所有d dB B的方向相同，的方向相同，所以所以P P点的点的 的大小为的大小为：BLLrlIBB20sind4d按毕奥按毕奥萨伐尔定律有：萨伐尔定律有：OPBd12ILldrld载流长直导线的磁场载流长直导线的磁场LLrlIBB20sind4d

2、由几何关系有：由几何关系有：secdr cossindsecd2dl tandl OPBd12ILldrlddcos4210dILrlIB20sind4120sinsin4dI载流长直导线的磁场载流长直导线的磁场考虑三种情况：考虑三种情况： dIB20(1)(1)导线无限长导线无限长，即即(2)(2)导线半无限长导线半无限长，场点与一端场点与一端的连线垂直于导线的连线垂直于导线 dIB40(3)(3)P点位于导线延长线上，点位于导线延长线上，B=0=0120sinsin4dIBOPBd12ILldrld2122载流长直导线的磁场载流长直导线的磁场2. 2. 载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线

3、上的磁场在场点在场点P P的磁感强度大小为的磁感强度大小为30d4drrlIB设有圆形线圈设有圆形线圈L，半径为，半径为R，通以电流，通以电流I。PORlI dr/dBBdBdxIsind420LrlI/dBBLsindBLRlrI2020d4sinRrI24sin20PORlI dr/dBBdBdxI载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场 各电流元的磁场方向不相同，可各电流元的磁场方向不相同，可分解为分解为 和和 ，由于圆电流具有对称性，其电流元的，由于圆电流具有对称性，其电流元的 逐对抵消，所以逐对抵消，所以P P点点 的大小为：的大小为：BdBBd/d BRrIB24sin2021

4、)(sin,22222xRRrRxRr2323)(2)(22202220 xRISxRIRB2RSPORlI dr/dBBdBdxI载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场RIB20（1 1）在圆心处）在圆心处2323)(2)(22202220 xRISxRIRB讨论：讨论：rxRx,（2 2）在远离线圈处）在远离线圈处0 x303022rISxISB302rpBm载流线圈载流线圈的磁矩的磁矩nmeISp引入引入载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场3. 3. 载流直螺线管内部的磁场载流直螺线管内部的磁场 设螺线管的半径为设螺线管的半径为R，电流为，电流为I，每单位长度，每单位长度有

5、线圈有线圈n匝。匝。R1All d2A2r1pBd 由于每匝可作平面线圈处理，由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作匝线圈可作Indl的一个圆电流，在的一个圆电流，在P点产生的点产生的磁感应强度磁感应强度：2/32220)(2ddlRlnIRBR1Alld2A2r1pBdLLlRlnIRBB2/32220)(2dd载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场cotRl R1Alld2A2r1pBd2222cscRlR又LlRlnIRB2/32220)(2ddcscd2Rldsin2210nI)cos(cos2120nI载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场讨论：讨论：nIB02/0

6、nIB 实际上，实际上，LR时，螺线管内部的时，螺线管内部的磁场近似均匀，大磁场近似均匀，大小为小为nI0)cos(cos2120nIB（1 1）螺线管无限长螺线管无限长（2 2）半无限长螺线管的端点圆心处半无限长螺线管的端点圆心处0,21nI0BO1A2A20nI载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场例题例题8-48-4亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的距对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时，试

7、计算两线圈中心处和轴线离等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。RO1RQ1PO2Q2R 解解 设两个线圈的半径为设两个线圈的半径为R R，各有各有N N匝，每匝中的电流均匝，每匝中的电流均为为I I，且流向相同（如图）。，且流向相同（如图）。两线圈在轴线上各点的场强两线圈在轴线上各点的场强方向均沿轴线向右，在圆心方向均沿轴线向右，在圆心O O1 1、O O2 2处磁感应强度相等，处磁感应强度相等，大小都是大小都是载流圆线

8、圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场两线圈间轴线上中点两线圈间轴线上中点P P处，磁感应强度大小为处，磁感应强度大小为 RNIRNIRRNIRRNIB002/3222000677.02211222 RNIRNIRRNIRBP002/32220716.02211558222 载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场此外，在此外，在P P点两侧各点两侧各R/4R/4处的处的O O1 1、O O2 2 两点处磁感应强度都两点处磁感应强度都等于等于RNIRNIRRNIRRRNIRBQ0332/3302/322202/32220712.054174243242 载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上

9、的磁场在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介乎乎B B0 0、B BP P 之间。由此可见，在之间。由此可见，在P P点附近轴线上的场点附近轴线上的场强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲线。线。O1Q1PQ2O2载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场例题例题8-5在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子

10、核运动相当于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁动相当于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁矩。试求轨道磁矩矩。试求轨道磁矩与轨道角动量与轨道角动量L之间的关系，并之间的关系，并计算氢原子在基态时电子的轨道磁矩。计算氢原子在基态时电子的轨道磁矩。Lmee2 2rneIS 222rnmrnrmvrmLeee 解解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆的半径为的半径为r r，转速为，转速为n n。电子的运动相当于一个圆电。电子的运动相当于一个圆电流，电流的量值为流，电流的量值为I=neI=ne，圆电流的面积为，圆电流的面积为S=rS=r2 2，所以相

11、应的磁矩为所以相应的磁矩为载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场角动量和磁矩的方向可分角动量和磁矩的方向可分别按右手螺旋规则确定。别按右手螺旋规则确定。因为电子运动方向与电流因为电子运动方向与电流方向相反，所以方向相反，所以L L和和的的方向恰好相反，如图所示。方向恰好相反，如图所示。上式关系写成矢量式为上式关系写成矢量式为Lmee2 这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由于这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由于电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔理论中，其量值等于（理论中，其量值等于（h/2h/2）d d的整数倍。所以的整数倍。所以

12、氢原子在基态时，其轨道磁矩为氢原子在基态时，其轨道磁矩为L 载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场eeBmehhme 422 22410273.9mAB 它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。将将e=1.602e=1.602 1010-19-19 C C，m me e= 9.11= 9.11 1010-31-31kgkg ，普朗，普朗克常量克常量h= 6.626h= 6.626 1010-34-34J Js s代入，可算得代入，可算得原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量，自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量，电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场eeBmehhme 422 22410273.9mAB 它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。将将e=1.602e=1.602 1010-19-19 C C，m me e= 9.11= 9.11 1010-31-31kgkg