第7章 二阶动态电路分析

1、第七章作业：第七章作业：7- 7-1 7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 7-2 7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应二阶电路的零状态响应和阶跃响应 7-3 7-3 二阶电路的冲激响应二阶电路的冲激响应 7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应二、二阶电路的零输入响应二、二阶电路的零输入响应一、二阶电路一、二阶电路用二阶微分方程描述的动态电路称为用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路二阶电路。 当二阶电路无外施激励时，由储能元件的初始状当二阶电路无外施激励时，由储能元件的初始状态引起的响应，称为态引起的响应，称为二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应。0(0 ),

2、(0 )0CLUUi( )CUt22d, , dCCCLRLUdUd UdiiCuRiRCuLLCtdtdtdt22d0CCCd UULCRCUdtdt例例:k kRC CLUci电路方程电路方程(KVL) :以以 为变量为变量,得得: 齐次方程的特征根齐次方程的特征根:210LCsRCs 21221()221()22RRSLLLCRRSLLLC 电路方程为二阶齐次方程电路方程为二阶齐次方程, 电路包含二个动态元件电路包含二个动态元件,故称故称为为二阶电路二阶电路.齐次方程根：齐次方程根：210LCsRCs 21,2()42RCRCLCsLC 2LRC21()02RLLC12,S S1212(

3、 ),Cs ts tUtAeA e0(0 )CUU0d(0 )0dCLtUiCt00CtdUdt01211220UAAASA S2102112021SAUSSSAUSS 二阶电路根据电路参数不同二阶电路根据电路参数不同,其电容电压过渡其电容电压过渡过程过程(输出响应输出响应)也不同也不同.1) 当当, 即即,特征根为二个不等负实根特征根为二个不等负实根初始条件初始条件, 即即,代入上式代入上式 得得 过阻尼过阻尼12120212112021( )(ee)d(ee)dS tS tCS tS tCUUtSSSSUS SiCCUtSS有有1201221d(ee)dS tS tcLiUuLSStSS过

4、渡过程单调衰减过渡过程单调衰减, 电路无电路无振荡振荡. t U0 uC uL iL U0 t1 t2 可见CLR2 时，电路出现“过阻尼”情况，响应的波形为：ucictm2tmtU00uL 在“过阻尼”状态下，电容电压单调衰减最终趋于零，始终处于放电状态，放电电流由零增大；对应tm时刻达到最大，之后衰减到零。显然，这种情况下uC和i是非振荡的，没有正、负交替状况。电路中的原始能量全部消耗在电阻上。10 ,1,4,SUV CF RK12( )CUt(0 )(0 )10CCUUV0(0 )0CLtdUiCdt 21,2122RRSLLLC 12268, 3732SS 12122121(0 )(0

5、 ) 10.77,0.77CCSUSAUASSSS 例例1:K从从, 求求.RLC CK KiLUsUc1 12 2解解:2683732( )(10.77e0.77e)ttCUtV1,LH式中式中 为待定系数，由初始条件而定为待定系数，由初始条件而定.2LRC212RLLC20CCCd UdULCRCUdtdt21,2d1()22RRSjLLLC 2RL22201()2dRLCL0( )sin()tCdUtAet,A2), 即即(振荡放电过程振荡放电过程) RLC CiUc方程方程齐次方程特征根齐次方程特征根:式中式中:衰减系数，衰减系数，振荡角频率振荡角频率谐振角频率谐振角频率过渡过程一般形

6、式过渡过程一般形式:欠阻尼欠阻尼1000sin0sincosdddtgUAAU 0(0 ),CUU由由 得得00CtdUdtdote波形图波形图电容电压衰减振荡，衰减由电容电压衰减振荡，衰减由决定。决定。100( )sin()tdCddUtUettg电流最大值出现时间电流最大值出现时间:10sin()cos()01ddddddittdtttg电容电感元件之间有周期性的能量交换。电容电感元件之间有周期性的能量交换。00esin()esin()ttCdddddUUUCttdtLLit t( ) timaxi可见CLR2 时，电路出现“欠阻尼”情况，响应的波形为：2tm 在“欠阻尼”状态下，电容电压

7、和电路中的充、放电电流均为减幅振荡。显然，这种情况下电场和磁场交替建立和释放，能量随着在电阻上的消耗越来越少直至消耗完毕。tU00ucictm415,1700,6 10SUKV CF R96 10LH( )i tmaxi94366 106 10223.75 101700 10LRC2513 10dLC 65045 10sin8.3 10sin(3 10 )ddttUetet ALi 例例2：脉冲磁场电流产生。：脉冲磁场电流产生。RLC CK KiLUsUc,求求及及.解：二阶电路，解：二阶电路，振荡过程：振荡过程：45 10 .2RL 11651164.6 103 10ddttgtg656ma

8、x465 104.6 108.3 10sin(3 104.6 10 )ei 6max6.3 10iA当当秒秒0R 00,d00( )sin(90 )cu tUt讨论讨论 : 当当时时, 无衰减振荡无衰减振荡,t tte( )CUt( )CUtt t0R 0R 2LRC2102RLLC122RSSL 12( )()eCtUtAA t1 ,1,1 ,1SRLH CF UV Li( )CUt3., 即即方程为重根方程为重根 (单调衰减单调衰减)例例3:K闭合已久闭合已久,求求K打开后打开后和和.UCC CRRLiLK KUs22LRRC 12RL解解: 判别电路状态判别电路状态临界阻尼临界阻尼临界阻

9、尼临界阻尼12, ( )()etCUtAA tUCC CRRLiL (0 )(0 )1CCUU方程解方程解:初始条件初始条件:代入得代入得: 0(0 )(0 )1,CLLtdUiiCdt (0 )1CdUdt 1121210 10AAAAA ( )e. e CCttLdUUtVCAdti 即即讨论：讨论：RLC 串联时串联时,增大增大R可抑制振荡可抑制振荡.RLC并联时并联时, 减小减小R可抑制振荡可抑制振荡.22ddd dddCCLLUUCULLCttRti0LCUU220.CCCd UdUCLCUdtRdt221,24111222bbacSaRLRLLC 1 2LRC12LRC例例: 判别

10、电路响应形式判别电路响应形式.UCC CRLiL建立电路方程建立电路方程d. dCCLUUCRti回路方程回路方程:特征根特征根判别式判别式:,当当时时, 二个负实根二个负实根, 无振荡无振荡.RLC CK KiLUsUc1 12 2例例: 建立电感电流为变量的二阶建立电感电流为变量的二阶电路方程。电路方程。1( )( )CLuti t dtC( )0LLCdiLR iutdt求导：求导：220LLLd idiLCRCidtdt初始条件：初始条件：(0 )0Li(0 )1(0 )LCdiudtL 7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应二阶电路的零状态响应和阶跃响应( )1( )SSUtUtUs

11、(t)RLC CUc数学模型：数学模型： 电容电压阶跃响应电容电压阶跃响应一、二阶电路的零状态响应一、二阶电路的零状态响应二、二阶电路的阶跃响应二、二阶电路的阶跃响应二阶电路的二阶电路的初始储能为零初始储能为零（电容电压为零，电感电流为（电容电压为零，电感电流为零），仅由外施激励引起的响应。零），仅由外施激励引起的响应。二阶电路在二阶电路在阶跃激励阶跃激励下的下的零状态零状态响应。响应。(0 )0, (0 )0.CLUi( )CUt22ddddCCCSUULCRCUUttCSUU 例例 :Us(t)RLC CUc求求.解解: 电路方程电路方程(二阶非齐次方程二阶非齐次方程).方程解方程解=特解

12、特解+通解通解方程特解方程特解 (稳态解稳态解):( )1( )SSUtUt通解通解: 1. 当当3 ,22LRRC 221,21()1.5(1.5)122RRSLLLC (过阻尼过阻尼)1 ,CF1 ,2 ,3 .设设:1,LH分别为分别为R10.38, S 0.382.6212( )ttCSUtUK eK e0(0 )0, 0CCtdUUdt000.382.62( )1.170.17CttUtUUeU e2 ,22LRRC 1212RSSL 012( )()tCUtUAA t e0d(0)0, 0dCCtUUt初始条件初始条件:代入解出得代入解出得:2.当当临界阻尼临界阻尼, 由初始条件由

13、初始条件: 得得:00( )(1)CtUtUUt e2 2.62S 1 22LRRC 212003( )sin113,222 (0)0, ().0 2 CCCdtRLLCUtUAdUUdett1000sin360 2130sincos322UAtgAU 00223( )sin(60 )23CtUtUU et3.当当,欠阻尼振荡欠阻尼振荡323t42.413 3ts0(2.41)CUU当当即即时时,波形图波形图 随着随着R减小减小, 系统出现振荡系统出现振荡, R越小越小, 超调量越大超调量越大. 响应速度与超调量是互相关联的响应速度与超调量是互相关联的,在系统设计时应考虑在系统设计时应考虑二者

14、之间的关。二者之间的关。(参见自动控制于理论参见自动控制于理论).02.41ts1 ,;CSRUU 2 ,R 0.69;CSUU3 ,0.53CSRUU 讨论讨论: 减小减小R可使系统响应加快可使系统响应加快, 在在时时,.t tUCt tO OR1R3例例:如图电路如图电路,1210 ,2 ,RR R1R2C CLUciLUs1 1Us2 2k k1 12 2C=0.25F, L=2H, 126 ,12 ,SSUV UV开关开关K在在1已久已久,求求K打至打至2后电后电感电流和电容电压感电流和电容电压.解解: 初始值初始值(0 )t112(0 )0.5SLUiARR2(0 )(0 )1CLU

15、RiV开关切换后开关切换后, 取电容电压为求解变量取电容电压为求解变量:CCLduuiCdtR三、二阶电路的全响应三、二阶电路的全响应如果把如果把R2去掉，去掉，那么初始值又那么初始值又是多少？是多少？12LLCSdiLRiuUdtCCLduuiCdtR2112222()(1)CCCSd uduRLLCRCuUdtRdtRR1R2C CLUciLUs2 2代入数字代入数字2271224CCCd uduudtdt方程特解方程特解( )2CPutVR1R2C CLUciLUs2 2227120CCCd uduudtdt齐次方程根齐次方程根27120ss123,4ss 齐次方程通解齐次方程通解341

16、2( )ttchutK eK e方程全解方程全解:3412( )( )( )2ttCchcputututK eK e初始条件初始条件:(0 )0.5LiA(0 )(0 )1CCUUV02(0 )(0 )0CCLtduuidtCR CR1R2C CLUciLUs2 21212KK12034KK 解得解得:1243KK 34( )243ttCutee 7-3 二阶电路的冲激响应二阶电路的冲激响应220( )(0 )0, (0 )0 0CCCCCLtd UdULCRCUtdtdtdUUidt即00(0 )CU(0 )Li00000000( )( )CCCdUtLCdRCdUU dtt dtdt000

17、0(0 )(0 )1CCCCCttdUdULCRC UUU dtdtdt例：例： 零初始条件下冲击电压响应零初始条件下冲击电压响应RLC CUciL( ) t冲击响应只在冲击响应只在到到作用，应先求出作用，应先求出和和的值。的值。CUCdUdt(0 )(0 )CCUU01CtdULCdt0000(0 )(0 )1CCCCCttdUdULCRC UUU dtdtdt由式二边比较由式二边比较应为连续函数，应为连续函数，否则否则为冲激函数。为冲激函数。即即，0(0 )(0 )01CCCtUUdUdtLC0t 初始条件为初始条件为:当当时，电路等于在上述初始条件下的零输入响应。时，电路等于在上述初始条

18、件下的零输入响应。RLC串联时，冲击电压能量全部降落在电感上！串联时，冲击电压能量全部降落在电感上！* 高阶电路过渡过程的经典法求解介绍高阶电路过渡过程的经典法求解介绍例：例： 如图电路，如图电路，12312 ,2 ,1 ,1 ,SUV RRRCF 121,LLH开关打开已久，求开关闭合后开关打开已久，求开关闭合后12( ), ( ),( ).Ci t i tut和i1i2R1L1L2R3R2C Cu uc c( (t t) )Usk k解：解： 建立电路方程建立电路方程11 11312()SdiRiLR iiUdt2222 231201( )()0tdiLidR iR iidtC. 1. 2由由1式得式得:1131123()SdiRR iLUdtiR. 3对对2式求导式求导22212323221()0d ididiLRRRidtdtdtC. 43式代入式代入4式式3223113212113233()()L RRL RRL L d id iRdtRdt31321311313333()()SRRRRRRULdiRiRR CdtR CR C