周期图谱估计——频谱泄露及改进

1、周期图法功率谱估计周期图法功率谱估计频谱泄漏及改进频谱泄漏及改进2简介n功率谱估计一般分成两大类：功率谱估计一般分成两大类：n经典谱估计，也称为非参数谱估计。经典谱估计，也称为非参数谱估计。n现代谱估计，也称为参数谱估计。现代谱估计，也称为参数谱估计。n经典谱估计是建立在传统的傅立叶变换基础之经典谱估计是建立在传统的傅立叶变换基础之上的。经典谱估计又可以分为两种方法：上的。经典谱估计又可以分为两种方法：n相关图法。相关图法。n1958年，年，Blackman和和Tukey首先提出相关图法。首先提出相关图法。n周期图法。周期图法。n1898年，年，Schuster在寻找太阳黑子数据中隐藏的周期性

2、的在寻找太阳黑子数据中隐藏的周期性的研究工作中，提出了周期图法，但直到研究工作中，提出了周期图法，但直到1965年提出年提出FFT以以后，周期图法才受到人们的重视。后，周期图法才受到人们的重视。 3简介n相关图法中，先由有限个观测数据估计相关图法中，先由有限个观测数据估计自相关函数，然后计算自相关序列的傅自相关函数，然后计算自相关序列的傅里叶变换得到功率谱。里叶变换得到功率谱。n周期图法直接对观测数据进行傅里叶变周期图法直接对观测数据进行傅里叶变换，取模的平方，再除以换，取模的平方，再除以N得到功率谱。得到功率谱。周期图法比相关图法简单，可用周期图法比相关图法简单，可用FFT进行进行计算，得到

3、了广泛的应用。计算，得到了广泛的应用。4简介n在周期图谱估计中，我们取一段有限长在周期图谱估计中，我们取一段有限长的数据进行傅里叶变换，相当于对原始的数据进行傅里叶变换，相当于对原始信号作了矩形窗运算。输入数据通过一信号作了矩形窗运算。输入数据通过一个窗函数相当于原始数据的频谱与窗函个窗函数相当于原始数据的频谱与窗函数频谱的卷积。窗函数的频谱由一个主数频谱的卷积。窗函数的频谱由一个主瓣和几个旁瓣组成，主瓣以时域信号的瓣和几个旁瓣组成，主瓣以时域信号的每个频率成份为中心。旁瓣在主瓣的两每个频率成份为中心。旁瓣在主瓣的两侧以一定的间隔衰减至零。侧以一定的间隔衰减至零。5简介nFFT 产生离散的频谱

4、，出现在产生离散的频谱，出现在FFT 每个每个谱线的是在每个谱线上的连续卷积频谱。谱线的是在每个谱线上的连续卷积频谱。如果原始信号的频谱成份与如果原始信号的频谱成份与FFT 中的谱中的谱线完全一致，这种情况下采样数据的长线完全一致，这种情况下采样数据的长度为信号周期的整数倍，频谱中只有主度为信号周期的整数倍，频谱中只有主瓣。没有出现旁瓣的原因是旁瓣正处在瓣。没有出现旁瓣的原因是旁瓣正处在窗函数主瓣两侧采样频率间隔处的零分窗函数主瓣两侧采样频率间隔处的零分量点。量点。第4章 非参数谱估计6简介n如果时间序列的长度不是周期的整数倍，如果时间序列的长度不是周期的整数倍，窗函数的连续频谱将偏离主瓣的中

5、心，窗函数的连续频谱将偏离主瓣的中心，频率偏移量对应着信号频率和频率偏移量对应着信号频率和FFT 频率频率分辨率的差异，这个偏移导致了频谱中分辨率的差异，这个偏移导致了频谱中出现旁瓣，所以，窗函数的旁瓣特性直出现旁瓣，所以，窗函数的旁瓣特性直接影响着各频谱分量向相邻频谱的泄漏接影响着各频谱分量向相邻频谱的泄漏宽度。宽度。7简介n因此，周期图法功率谱估计中频谱泄露因此，周期图法功率谱估计中频谱泄露的改进办法既是选择合适的窗函数，尽的改进办法既是选择合适的窗函数，尽量减少频谱泄露，改善功率谱估计的性量减少频谱泄露，改善功率谱估计的性能。能。8常用窗函数特性020406000.20.40.60.81

6、nRectangle窗 函 数00.51-300-200-1000w/pi幅度(dB)Rectangle窗 函 数 的 频 谱020406000.20.40.60.81nTriangular窗 函 数00.51-300-200-1000w/pi幅度(dB)Triangular窗 函 数 的 频 谱020406000.20.40.60.81nHanning窗 函 数00.51-300-200-1000w/pi幅度(dB)Hanning窗 函 数 的 频 谱020406000.20.40.60.81nHanming窗 函 数00.51-300-200-1000w/pi幅度(dB)Hanming窗

7、函 数 的 频 谱020406000.20.40.60.81nblackman窗 函 数00.51-300-200-1000w/pi幅度(dB)blackman窗 函 数 的 频 谱020406000.20.40.60.81nKaiser窗 函 数00.51-300-200-1000w/pi幅度(dB)Kaiser窗 函 数 的 频 谱第4章 非参数谱估计9周期图法n定义定义n在实际应用中，周期图谱估计的计算式为：在实际应用中，周期图谱估计的计算式为：n其中，其中，w(n)为窗函数。为窗函数。212()011( )()( )NPerjj nxnSX ex n eNN221()021( )( )

8、 ( )1 ( ) ( ) , 0,1,.,1NjknPWNxnSkx n w n eNDFT x n w nkNN10周期图法n估计性能估计性能n渐近无偏性渐近无偏性n周期图的方差周期图的方差(当当N较大时较大时)n周期图谱估计的方差不随数据记录长度周期图谱估计的方差不随数据记录长度 N 的增大而减小，的增大而减小，而是近似于功率谱理论值的平方。而是近似于功率谱理论值的平方。n周期图谱估计不是一致，这是一个令人失望的结果。周期图谱估计不是一致，这是一个令人失望的结果。 ()lim( )( )PerxxNE SS2()2( ) 0( )2( ) 0,PerxxxSVar SS;第4章 非参数谱

9、估计11周期图法改进多个周期图求平均n把数据记录切分为把数据记录切分为K个分段，分别求周期个分段，分别求周期图，然后求平均。图，然后求平均。nBartlett方法：方法：D=L。Welch方法：方法： D=L/2( )() ( )01,01ix nx iDn w nnLiK 212,011( )()( )Ljj nx iiinSX ex n eLL112(),0011( )( )()KKPAjxx iiiiSSX eKKL12多个周期图求平均n设设K 个数据分段之间互不相关，则个数据分段之间互不相关，则n为一个渐近无偏估计和一致性估计。为一个渐近无偏估计和一致性估计。n如果如果N 固定，且固定

10、，且 N = KL，为了降低方差而增，为了降低方差而增加加K，会导致，会导致L的减少，也就是分辨率的下降。的减少，也就是分辨率的下降。n在实际应用中，用在实际应用中，用DFT/FFT计算计算DTFT，则，则()()211( )( )()PAPerjxxxVar SVar SSeKK112()(),0011( )()()( )2/, ( ) ( ), 0,1,.,KKPAPAxxkx ikiiikFFTiiFFTSkSSX kKKLk NX kDFT x nkN第4章 非参数谱估计13多个周期图求平均14多个周期图求平均n用用Welch方法估计随机过程的功率谱及演示方法估计随机过程的功率谱及演示

11、穿函数对估计性能的影响穿函数对估计性能的影响123( )cos(0.35)2cos(0.4)0.5cos(0.8)( )x nnnnv n1500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Rectangle Welch Estimate,N=512,K=4,D=102,L=20400.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Triangular Welch Estimate,N=512,K=4,D=1

12、02,L=20400.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Hanning Welch Estimate,N=512,K=4,D=102,L=20400.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Hamming Welch Estimate,N=512,K=4,D=102,L=20400.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency

13、 (radian/pi)Blackman Welch Estimate,N=512,K=4,D=102,L=20400.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Kaiser Welch Estimate,N=512,K=4,D=102,L=204,Beta=201600.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Rectangle Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=16

14、3800.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Triangular Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=163800.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Hanning Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=163800.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Hamming Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=163800.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Blackman Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=163800.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1001020Magnitude (dB)Frequency (radian/pi)Kaiser Welch