数字电路第一章

1、（1-1）数字电子技术教师: : 苏玉娜计算机学院通信工程系电话箱 （1-2） 本书按照数字电子技术的体系结构，本书按照数字电子技术的体系结构， 包括包括下列内容：下列内容： 数字逻辑基础、基本门电路、组合逻辑电数字逻辑基础、基本门电路、组合逻辑电路、触发器、时序逻辑电路、脉冲波形的产生路、触发器、时序逻辑电路、脉冲波形的产生和整形、数和整形、数/模与模模与模/数转换电路、数字显示技数转换电路、数字显示技术、典型电路应用、半导体存储器及可编程逻术、典型电路应用、半导体存储器及可编程逻辑器件。辑器件。 数字电子技术是自动化类、电子类、电气数字电子技术是自动化类、电子类、

2、电气类、通信类、计算机类等专业的专业基础课类、通信类、计算机类等专业的专业基础课程。程。（1-3） 数字逻辑基础部分强调了逻辑函数的表示方法，运算，化简与数字逻辑基础部分强调了逻辑函数的表示方法，运算，化简与应用。因为在其他课程里已经介绍了数制和码制，因此将此内容应用。因为在其他课程里已经介绍了数制和码制，因此将此内容简略介绍。简略介绍。 门电路中按分立元件的门电路与集成门电路的分类进行介绍，门电路中按分立元件的门电路与集成门电路的分类进行介绍，突出知识的体系结构，强化应用。突出知识的体系结构，强化应用。 组合逻辑电路重点强调常用的组合逻辑电路的原理与应用，组组合逻辑电路重点强调常用的组合逻辑

3、电路的原理与应用，组合逻辑电路的基本分析设计方法。合逻辑电路的基本分析设计方法。 触发器中主要了解几种基本触发器的特性，为学习时序逻辑电触发器中主要了解几种基本触发器的特性，为学习时序逻辑电路打下基础。路打下基础。 数字电子技术的两大类电路即组合逻辑电路和时序逻辑电路也数字电子技术的两大类电路即组合逻辑电路和时序逻辑电路也是本书中的重点。因此，在时序逻辑电路中重点介绍常用的时序是本书中的重点。因此，在时序逻辑电路中重点介绍常用的时序逻辑电路，时序逻辑电路的分析设计方法，典型应用。逻辑电路，时序逻辑电路的分析设计方法，典型应用。 脉冲波形的产生与整形中按照施密特触发器、单稳态触发器、脉冲波形的产

4、生与整形中按照施密特触发器、单稳态触发器、多谐振荡器、多谐振荡器、555 定时器及其应用的顺序进行介绍定时器及其应用的顺序进行介绍 数数/模、模模、模/数转换电路在专业课程中将大量接触到，因此本书数转换电路在专业课程中将大量接触到，因此本书只选基本的、重点的内容进行讲解。只选基本的、重点的内容进行讲解。（1-4）第一章第一章 数字逻辑基础数字逻辑基础1.1 概述概述 1.2 逻辑运算逻辑运算1.3 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律1.4 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1.5 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.6具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简（1-5

5、） 学习要求学习要求 理解理解数字信号与数字电路的基本概念；数字信号与数字电路的基本概念； 熟悉熟悉常用的数制与码制，掌握二进制、常用的数制与码制，掌握二进制、十进制、八进制及十六进制的表示方法及十进制、八进制及十六进制的表示方法及它们之间的相互转换。它们之间的相互转换。 理解理解逻辑代数、逻辑变量、逻辑函数、逻辑代数、逻辑变量、逻辑函数、逻辑函数表达式及真值表的基本概念，逻辑函数表达式及真值表的基本概念，掌掌握握逻辑代数基本定理和运算规则，逻辑代数基本定理和运算规则，熟悉熟悉逻逻辑函数表达式及真值表的转换。辑函数表达式及真值表的转换。 能够运用能够运用代数法化简函数，代数法化简函数，熟练掌握

6、熟练掌握卡卡诺图化简法。诺图化简法。 （1-6）1.1.1 数字电路的基本概念（数字电路的基本概念（理解理解）电子电路中的信号电子电路中的信号模拟信号模拟信号数字信号数字信号随时间连续变化的信号随时间连续变化的信号时间和幅度都是离散的时间和幅度都是离散的 1.1 概述概述1.数字信号和模拟信号数字信号和模拟信号（1-7）模拟信号：模拟信号：tu正弦波信号正弦波信号t锯齿波信号锯齿波信号u无论在时间和幅值无论在时间和幅值上均为连续的物理上均为连续的物理量量（1-8） 研究模拟信号时，我们注重电路研究模拟信号时，我们注重电路输入、输出信号间的大小、相位关系。输入、输出信号间的大小、相位关系。相应的

7、电子电路就是模拟电路，包括相应的电子电路就是模拟电路，包括交直流放大器、滤波器、信号发生器交直流放大器、滤波器、信号发生器等。等。 在模拟电路中，晶体管一般工作在模拟电路中，晶体管一般工作在放大状态；在数字电路中，一般工在放大状态；在数字电路中，一般工作在饱和或截止状态。作在饱和或截止状态。（1-9）数字信号数字信号产品数量的统计。产品数量的统计。数字表盘的读数。数字表盘的读数。数字电路信号：数字电路信号：变化在时间上是不连续的，总是发变化在时间上是不连续的，总是发生在一系列离散的瞬间；其数值大小和每次的增减变化生在一系列离散的瞬间；其数值大小和每次的增减变化都是某一个最小数量单位的整数倍。都

8、是某一个最小数量单位的整数倍。tu物理量在时间和幅值上均为离散的信号只有两个电 压值 、电压跳变（1-10）研究数字电路时注重电路输出、输研究数字电路时注重电路输出、输入间的逻辑关系，因此不能采用模入间的逻辑关系，因此不能采用模拟电路的分析方法。主要的分析工拟电路的分析方法。主要的分析工具是逻辑代数，电路的功能用真值具是逻辑代数，电路的功能用真值表、逻辑表达式或波形图表示。表、逻辑表达式或波形图表示。在数字电路中，三极管工作在开关在数字电路中，三极管工作在开关状态下，即工作在饱和状态或截止状态下，即工作在饱和状态或截止状态。状态。（1-11）2正逻辑与负逻辑 正逻辑体制规定： 高电平为逻辑1，

9、 低电平为逻辑0 负逻辑体制规定： 低电平为逻辑1， 高电平为逻辑0 逻辑0逻辑1逻辑0逻辑1逻辑0图1-2 逻辑信号（1-12）3数字信号的主要参数V0t (ms)VmtwT图1-3 理想的周期性数字信号信号幅度信号幅度信号的重复周期信号的重复周期脉冲宽脉冲宽度度占空比占空比W(%)100%tqT（1-13）5(ms)V (V)t1002030504040010V (V)t30(ms)50205040(ms)0Vt10(V)30203.610(a)(b)(c)（a） Vm=5V q50% （b） Vm=3.6V q50% （c） Vm=10V q50%图1-4 周期相同的三个数字信号。（1-

10、14）4数字电路优点：（1）精度高。主要取决于表示信息的二进制的位数即字长。（2） 数字系统工作可靠，抗干扰能力强。（3）数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻辑判断和运算。（4）数字信息便于长期保存 （5）数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。（1-15）1.1.2 数制数制（掌握各种数制转换）（掌握各种数制转换）（1）十进制十进制：以十为基数的记数体制以十为基数的记数体制表示数的十个数码：表示数的十个数码：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0遵循遵循逢十进一逢十进一的规律的规律157 =012107105101 所谓数制就是计数的体制，表示数码中所谓数制就是计数的

11、体制，表示数码中每一位的构成及进位的规则称为进位计每一位的构成及进位的规则称为进位计数制，简称数制。数制，简称数制。121 012112120101()nnm RninninnimmmDa aaaa aaaRaRaRaRaRaR1数制数制（1-16）一个十进制数一个十进制数 N可以表示成：可以表示成：iiiDKN10)( 若在数字电路中采用十进制，必须若在数字电路中采用十进制，必须要有十个电路状态与十个记数码相对应。要有十个电路状态与十个记数码相对应。这样将在技术上带来许多困难，而且很这样将在技术上带来许多困难，而且很不经济。不经济。（1-17）（2）二进制二进制： 以二为基数的记数体制以二为

12、基数的记数体制表示数的两个数码：表示数的两个数码：0, 1遵循遵循逢二进一逢二进一的规律的规律iiiBKN2）（1001) B =012321202021 = ( 9 ) D（1-18）用电路的两个状态用电路的两个状态-开关来表示开关来表示二进制数，数码的存储和传输简二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。单、可靠。位数较多，使用不便；不合人们位数较多，使用不便；不合人们的习惯，输入时将十进制转换成的习惯，输入时将十进制转换成二进制，运算结果输出时再转换二进制，运算结果输出时再转换成十进制数。成十进制数。（1-19）（3）十六进制和八进制：十六进制和八进制：十六进制记数码：十六进制记数码：1,

13、2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)(4E6)H =4 162+14 161+6 160= ( 1254 ) D（1-20）1) 十六进制与其他进制之间的转换：十六进制与其他进制之间的转换：(0101 1001)B=0 27+1 26+0 25+1 24+1 23+0 22+0 21+1 20B=(0 23+1 22+0 21+1 20) 161+(1 23+0 22+0 21+1 20) 160B= ( 59 ) H每四位每四位2进进制数对应一制数对应一位位16进制数进制数2不同数制之间的相互转换不同

14、数制之间的相互转换 二进制与十六进制之间的转换：二进制与十六进制之间的转换：（1-21）二二进制与进制与十六十六进制之间的转换：进制之间的转换：(10011100101101001000)B=从末位开始从末位开始 四位一组四位一组(1001 1100 1011 0100 1000)B =()H84BC9=( 9CB48 ) H（1-22）十六进制转换成十进制 “按权相加”法10-1-2H(7A.58) =7 16 +10 16 +5 16 +8 16D=112+10+0.3125+0.03125=(122.34375)（1-23）2) 八进制与二进制之间的转换：八进制与二进制之间的转换：(10

15、011100101101001000)B=从末位开从末位开始三位一始三位一组组(10 011 100 101 101 001 000)B =()O01554=(2345510)O32（1-24）十进制与二进制十进制与二进制之间的转换，可以用之间的转换，可以用二除十进制数，余数二除十进制数，余数是二进制数的第是二进制数的第0位，位，然后依次用二除所得然后依次用二除所得的商，余数依次是的商，余数依次是K1、K2、。3）十进制与二进制之间的转换：十进制与二进制之间的转换：（1-25）225 余余 1 K0122 余余 0 K162 余余 0 K232 余余 1 K312 余余 1 K40转换过程：转

16、换过程：(25)D=(11001)B整数部分“除2取余”（1-26）例例1.1.3 将十进制数（将十进制数（0.562）D转换成误差转换成误差不大于不大于的的 二进制数。二进制数。 62 0.56221.124 1 b-1 0.12420.248 0 b-2 0.24820.496 0 b-3 0.49620.992 0 b-4 0.99221.984 1 b-5解：解： 转换步骤如下转换步骤如下小数部分 ：“乘2取整”小数小数0.9840.5，根据，根据“四舍五入四舍五入”的原则，的原则， 应应为为1。因此。因此 (0.562)D(0.100011)B 6b（1-27） 用四位二进制数表示用

17、四位二进制数表示09十个数码，十个数码，即为即为BCD码码 。四位二进制数最多可以有。四位二进制数最多可以有16种不同组合，不同的组合便形成了一种不同组合，不同的组合便形成了一种编码。主要有：种编码。主要有： 8421码、码、 5421码、码、2421码、余码、余3码等。码等。数字电路中编码的方式很多，常用的主数字电路中编码的方式很多，常用的主要是二要是二 十进制码（十进制码（BCD码）。码）。BCD-Binary-Coded-Decimal1.1.3 码制码制1. BCD码码（1-28）在在BCD码中，十进制数码中，十进制数 (N)D 与二进制编码与二进制编码 (K3K2K1K0)B 的关的

18、关系可以表示为：系可以表示为：(N)D= W3K3 +W2K2+W1K1+W0K0W3W0为二进制各位的权重为二进制各位的权重所谓的所谓的8421码，就是指各位的权码，就是指各位的权重是重是8, 4, 2, 1。（1-29）000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数二进制数自然码自然码 8421码码 2421码码 5421码码 余三码余三码（1-30）例例1.1.7 将十进制数8

19、3分别用8421码、2421码和余3码表示。解：由表解：由表1.1.1可得可得(83)D（1000 0011)8421(83)D（1110 0011)2421(83)D（1011 0110）余余3（1-31）2. 格雷码 进制数G3 G2 G1 G001234567891011121314150 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 000000101111110102G3GG G100123456789101112

20、131415图1 .3.1（1-32）1.2.1 逻辑代数与基本逻辑关系（逻辑代数与基本逻辑关系（了解了解） 逻辑代数：逻辑代数：在数字电路中，我们要研在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称所以数字电路又称逻辑电路逻辑电路，相应的研究，相应的研究工具是工具是逻辑代数（布尔代数）逻辑代数（布尔代数）。逻辑变量：逻辑变量：在逻辑代数中，逻辑函数在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（的变量只能取两个值（二值变量二值变量），即），即0和和1，中间值没有意义，这里的，中间值没有意义，这里的0和和1只表示两只表示两个对立的逻辑状态

21、，如电位的低高（个对立的逻辑状态，如电位的低高（0表示表示低电位，低电位，1表示高电位）、开关的开合等。表示高电位）、开关的开合等。 1.2 逻辑运算逻辑运算（1-33） 基本逻辑关系基本逻辑关系：逻辑与、逻辑或和逻辑非。：逻辑与、逻辑或和逻辑非。逻辑门：逻辑门：实现逻辑运算的电路，称为逻辑门实现逻辑运算的电路，称为逻辑门是组成数字电路的最小单元。是组成数字电路的最小单元。 数字逻辑电路可划分为数字逻辑电路可划分为组合逻辑电路组合逻辑电路和和时序逻辑电路时序逻辑电路。组合逻辑电路完全是由。组合逻辑电路完全是由逻辑逻辑门门构成的。时序逻辑电路是包含构成的。时序逻辑电路是包含存储存储器件的器件的电

22、路。在数字逻辑电路实际应用中，通常既电路。在数字逻辑电路实际应用中，通常既包括组合逻辑电路，也包括时序逻辑电路。包括组合逻辑电路，也包括时序逻辑电路。 （1-34）1 .“与与”逻辑逻辑A、B、C条件都具备时，事件条件都具备时，事件F才发生。才发生。EFABC&ABCF逻辑符号逻辑符号1.2.2 基本逻辑运算：（基本逻辑运算：（掌握掌握）（1-35）F=ABC逻辑式逻辑式逻辑乘法逻辑乘法逻辑与逻辑与AFBC00001000010011000010101001101111真值表真值表与运算规则与运算规则：“输入有输入有0，输出为输出为0；输入全；输入全1，输出，输出为为1”（1-36）2 .“或

23、或”运算运算A、B、C只有一个条件具备时，事件只有一个条件具备时，事件F就发生。就发生。 1ABCF逻辑符号逻辑符号AEFBC（1-37）F=A+B+C逻辑式逻辑式逻辑加法逻辑加法逻辑或逻辑或AFBC00001001010111010011101101111111真值表真值表“输入有1，输出为1； 输入全0，输出为0” （1-38）（3）“非非”逻辑逻辑A条件具备时条件具备时 ，事件，事件F不发生；不发生；A不具备不具备时，事件时，事件F发生。发生。逻辑符号逻辑符号AEFRAF1（1-39）逻辑式逻辑式逻辑非逻辑非逻辑反逻辑反真值表真值表AF AF0110（1-40）1.2.3 其他常用的逻辑

24、关系逻辑（其他常用的逻辑关系逻辑（掌握掌握）“与与”、“或或”、“非非”是三种基本的是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。以它们为基础表示。CBAF与非：与非：条件条件A、B、C都具都具备，则备，则F 不发不发生。生。&ABCF（1-41）CBAF或非：或非：条件条件A、B、C任一任一具备，则具备，则F不不 发生。发生。 1ABCFBABABAF异或：异或：条件条件A、B有一个具有一个具备，另一个不备，另一个不具备则具备则F 发生。发生。（1-42）（1-43）几种基本的逻辑运算结果几种基本的逻辑运算结果 从三种基本的逻辑关系出发，我

25、们可从三种基本的逻辑关系出发，我们可以得到以下逻辑运算结果：以得到以下逻辑运算结果：0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=11001 （1-44）1.2.4 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1、逻辑函数。、逻辑函数。 例例1.2.1 三个人表决一件事情，结果按三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数少数服从多数”的的原则决定，试建立该逻辑函数。原则决定，试建立该逻辑函数。 解：解：1）设自变量和因变量。）设自变量和因变量。 将三人的意见设置为自变量将三人的意见设置为自变量A、B、 C，并规定只能有同意或，并规定只能有同意或不同意两种意见。将表决结果设置为

26、因变量不同意两种意见。将表决结果设置为因变量L，显然也只有通过，显然也只有通过与没通过两种情况。与没通过两种情况。 2）状态赋值。）状态赋值。 对于自变量对于自变量A、B、C设：同意为设：同意为“1”，不同意为，不同意为“0”。对于。对于因变量因变量L设：事情通过为设：事情通过为“1”，没通过为，没通过为“0”。 （1-45）第三步：根据题意及上述规定列出函数的真第三步：根据题意及上述规定列出函数的真值表。值表。A B CL0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111（1-46） 2逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 逻辑函数有四种表示方法

27、，即真值表、函数表逻辑函数有四种表示方法，即真值表、函数表达式、逻辑图和卡诺图达式、逻辑图和卡诺图 1）真值表）真值表 真值表是将输入逻辑变量的各种可能取值和真值表是将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。相应的函数值排列在一起而组成的表格。 特点：特点：（1）直观明了）直观明了（2）在设计逻辑电路时，总是先根据设计要求列出真值表。）在设计逻辑电路时，总是先根据设计要求列出真值表。（3）当变量比较多时，表比较大，过于繁琐。）当变量比较多时，表比较大，过于繁琐。 （1-47）2）函数表达式 例例1.2.2 列出下列真值表对应的逻辑函数 由逻辑变量和由逻辑变量和“与与”、

28、“或或”、“非非”三种运算符所构成的表达三种运算符所构成的表达式式A B CL0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111LABCABCABCABC在真值表中依次找出函数值等于在真值表中依次找出函数值等于1的的变量组合，变量值为变量组合，变量值为1的写成原量，的写成原量，变量值为变量值为0的写成反变量，把组合中的写成反变量，把组合中各个变量相与。对应于函数值为各个变量相与。对应于函数值为1的的每一个变量组合就可以写成一个与每一个变量组合就可以写成一个与项。把这些与项相或，得到函数表达项。把这些与项相或，得到函数表达式式 。（1-48）3）逻辑

29、图 由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。例例1.2.3 画出逻辑函数 LA BA BLABBCAC 及及 的逻辑图。（1-49） 的逻辑图 的逻辑图11&1ABL&C&BAL1LA BA BLABBCACLA BA BLABBCAC（1-50）1.3 逻辑代数的基本定律（逻辑代数的基本定律（掌握掌握）1.3.1 基本运算公式基本运算公式A 1=A A+0=A A 0 =0 A=0 A+1=1 1 AAAAA0 AAAAA AA1.常见的公式常见的公式（1-51）交换律交换律结合律结合律分配律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A

30、 B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代普通代数不适数不适用用!（1-52）证： (A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC=A+BC因此有 A+BC=(A+B)(A+C) （1-53）2、吸收律、吸收律1）原变量的吸收：）原变量的吸收：A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A 该公式说明，在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子(如AB项中的A)则该乘积项(AB)是多余的。 （1-54）CDABFEDABCDAB)(利用运算规则可以对逻辑式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。

31、例如：例如：被吸收被吸收（1-55）2）反变量的吸收：）反变量的吸收：BABAA 该公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘该公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项积项(如如A)取反后是另一个乘积项取反后是另一个乘积项(如如 ）的因子，）的因子，则此因子则此因子 是多余的。是多余的。 ABA证明：证明：BAABABAABAAABA)(（1-56）例如：例如：DCBCADCBCAA 被吸收被吸收（1-57）3）混合变量的吸收：）混合变量的吸收：CAABBCCAAB证明：证明：BCAACAABBCCAAB)(CAABBCAABCCAAB例如：例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCD

32、CAAB1吸收吸收吸收吸收（1-58）CAABBCCAAB 该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果两个乘积项中的部分因子互补(如AB项和 项中的A和 )，而这两个乘积项中的其余因子(如B和C)都是第三个乘积项中的因子，则这个第三项是多余的。 CAA（1-59）4）反演定理：）反演定理：BABABABAABAB0001111010110110010111110000BAABBA可以用列真值表的方法证明：可以用列真值表的方法证明：（1-60）1.3.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 1. 代入规则代入规则 任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑

33、函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立立ABAB用用BC去代替等式中的去代替等式中的B则则ABCABCABC（1-61）2. 对偶规则： 将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换进行下列变换： ， 0 1，1 0 所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的对偶式，用的对偶式，用L表示表示。 任何逻辑函数式都存在着对偶式。任何逻辑函数式都存在着对偶式。 若原等式成立，若原等式成立， 则对偶式也一定成立。即，如果则对偶式也一定成立。即，如果F=G,则则F=G。这种逻辑推理叫做对偶原理，或这种逻辑推理叫做对偶原理，或对偶对偶 规则。规则

34、。 观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都是成对出现的，它们都是成对出现的， 而且都是互为对偶的而且都是互为对偶的对偶对偶式。式。（1-62）(0),FABAC若 F 与 F互为对偶式() (1);FABAC则,FA B C若;FABC则,FA若FA则 由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改变，且式中的非号也保持不变特别注意对偶规则特别注意对偶规则与反演规则的不同与反演规则的不同（1-63）3. 反演规则反演规则 ： 将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换：进行下列变换：， ； 0 1，1 0 ；原变量原变量 反变量，反变量， 反变量反变量

35、原变量。原变量。所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的反函数，用的反函数，用 表示表示或称为补函数。或称为补函数。L（1-64）例例1.3.3 求函数 的反函数。 LACBD() ()LACBD解：保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明；应用反演规则求反函数时要注意， ；原变量 反变量， 0 1，1 0 ；反变量 原变量。LACBD（1-65）DCBALDCBAL例例1.3.4 求函数的反函数。 在应用反演规则求反函 数时要注意：解： 变换中，几个变量（一个以上）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变的公共非号保持不变（1-66）,ACD

36、CABF);()(CADCBAF若则 ,EDCBAF。EDCBAF若 则（1-67） 1.4 逻辑函数的代数化简逻辑函数的代数化简1.4.1 逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式LACAB()()A B A CAC ABABACCAAB与或表达式或与表达式与非与非表达式与或非表达式或非或非表达式（1-68）最简与最简与或表达式的标准或表达式的标准表达式中：表达式中：“+”号最少“ ”号最少（1-69）1.4.3 用代数法化简逻辑函数用代数法化简逻辑函数 （1）并项法 ()()()()LA BC BCA BC BCABCABCABCABCAB C CAB C C()()()()LA BCBC

37、A BCBCABCABCABCABCAB CCAB CC()ABABA BBA运用公式 1AA()()()()LA BCBCA BCBCABCABCABCABCAB CCAB CC（1-70）（2）吸收法()LABACBCABAB CABABCABC()LABAB CDEAB运用吸收律AABA()LABACBCABAB CABABCABC运用吸收律AABAB()LABACBCABAB CABABCABC（1-71）运用吸收律CAABBCCAAB()FABCADCDBDABCAC DBDABCACDBDABCADCDFABACADECDABACCDADEABACCD（1-72）（3）配项法 利用

38、重叠律A+A=A、互补律A+A=1和吸收律 先配项或添加多余项，然后再逐步化简。 ABACBCDABAC（1-73）()ACBCAB D(添多余项AB) (去掉多余项AB) FACADBDBCACBCABDACBCDACBCABABD（1-74）例：例：CBBCBAABF)(CBBCBAAB）（反演反演()()ABAB CCBC AABC配项配项CBBCAABCCBACBAAB被吸收被吸收被吸收被吸收CBBBCAAB)(CBCAAB（1-75）例：例：ABACBCABCBAABCBACCABCBAABCCABCBAF)()()(反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1提出提出A（1-76）FABC

39、 ABC ABC ABC()()()ABCABCABCABCABCABCACABBC（1-77）AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！请注意与普通代数的区别！（1-78）代数化简法 优点：优点：不受变量数目限制不受变量数目限制 缺点：缺点：没有固定步骤可循；没有固定步骤可循； 需要熟练掌握运用各种公式和定理；需要熟练掌握运用各种公式和定理； 需要一定的技巧；需要一定的技巧； 有时很难判断结果是否为最简有时很难判断结果是否为最简（1-79）1.5 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.5.1 最小项的定义与性质最小项的定义与性质1最小项的定义： 在n个变量的逻

40、辑函数中，若m为乘积项，而所有输入变量以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则乘积项称为该组变量的最小项。n变量逻辑函数的全部最小项共有 个2n（1-80）最小项变量取值编号A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1m0m1m2m3m4m5m6m7CBACBACBABCACBACBACABABC1,2,4,7单单元取元取1，其，其它取它取0F( A , B , C )= ( 1 , 2 , 4 , 7 )二进制对应二进制对应的十进制表的十进制表示单元编号示单元编号（1-81）三变量逻辑函数的最小项（1-82）2最小项的基本性质 （1）对于任意一个

41、最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 （1-83） 如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项，则称这种表达式为最小项表达式，或称为标准与或式、标准积之和式。 1.5.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式： 只要将真值表中使函数值为1的各个最小项相或，便可得出该函数的最小项表达式。 由于任何一个函数的真值表是惟一惟一的，因此其最小项表达式也是

42、惟一惟一的。 （1-84）例1.5.2 将逻辑函数 转换成最小项表达式 ( , ,)F A B CABABABC解：( , , )()()()F A B CABABAB CABAB AB CABA B A B CABABCABCAB CCABCABCABCABCABCABC=m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7） 可以用最小项下标编号来表示最小项（1-85） n变量的每一个最小项有变量的每一个最小项有n个相邻项。例如，个相邻项。例如， 三变量的某一最小项三变量的某一最小项 有三个相邻项：有三个相邻项： 这种相邻关系对于逻辑函数化简这种相邻关系对于逻辑函数化简十分重要。十分重要。 CBAC

43、BABCACBA、1.5.3 卡诺图卡诺图 1相邻最小项 若两个最小项中只有一个变量以原、反状态若两个最小项中只有一个变量以原、反状态相区别，则称它们为相区别，则称它们为逻辑相邻逻辑相邻。 （1-86）ABCCBACBACBACBAF逻辑相邻逻辑相邻CBCBACBA逻辑相邻的项可以逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子合并，消去一个因子（1-87）将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相临的最小项放在相临的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。2卡诺图的结构 所谓几何相邻，一是相接，即紧挨着； 二是相对，即任意一行或一列的两头；三是相重， 即对折起来位置重合。 （1-88

44、）两变量卡诺图两变量卡诺图（2）三变量卡诺图 卡诺图的每一个方块（最卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方在阵列图的上方和左方（1-89）0mABCmABC1m3mABCABC265mABC74ABCmmmABCABC0(a)(b)132457610011100BCA01BCA三变量卡诺图三变量卡诺图（1-90）m0ABCD ABCDm1ABCDm3mABCD2m567mmABCDABCDmABCD4ABCDABCDmm13ABCD ABCD1412m15mABCDABCD ABCDmABCD8

45、m1011m9mABCDABCD0132765413141512981110ABCD0000010111111010(a)(b)四四变量卡诺图变量卡诺图（1-91）1.5.4 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 1.从真值表到卡诺图A B CL0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000101111011010A00BC010001111L（1-92） 只要将构成逻辑函数的最小项在卡诺只要将构成逻辑函数的最小项在卡诺 图上相应的方格中填图上相应的方格中填1，其余的方格填，其余的方格填0(或不填或不填)，则可以得到该函数的卡诺图。，则可以得到该函数

46、的卡诺图。也就是说，任何一个逻辑函数都等于其也就是说，任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填卡诺图上填1的那些最小项之和。的那些最小项之和。 2.从逻辑表达式到卡诺图从逻辑表达式到卡诺图1） 逻辑函数是最小项表达式逻辑函数是最小项表达式（1-93）ABCD0001111000011110四变量卡诺图四变量卡诺图FABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD（1-94）例：用卡诺图表示逻辑函数0367Fmmmm000100A111110F01BC0110图1-11 例1.5.4的卡诺图（1-95）2）. 逻辑函数是一般与或式逻辑函数是一般与或式 将一般与或式先化成

47、最小项表达式或者将一般与或式中每个与项在卡诺图上所覆盖的最小项处都填1，其余的填0(或不填)，就可以得到该函数的卡诺图。 （1-96）例：用卡诺图表示逻辑函数GABBCDCDAB111111G0000000000图1-12 例1.5.5的卡诺图先化成最小项表达式（1-97）例：用卡诺图表示函数 时，先确定使每个与项为1的输入变量取值， 然后在该输入变量取值所对应的方格内填1。 FABCABCDAD：当ABCD=101(表示可以为0，也可以为1)时该与项为1，在卡诺图上对应两个方格(m10、m11)处填1。 CBA（1-98） ：当ABCD=001时该与项为1，对应两个方格 (m2、m3)处填1

48、。 D：当ABCD=1时该与项为1，对应八个方格(m1、m3、m5、m7、m9、m11、m13、m15)处填1。 AD：当ABCD=11时该与项为1，对应四个方格(m9、 m11、m13、m15)处填1。 某些最小项重复，只需填一次即可。某些最小项重复，只需填一次即可。CBA（1-99）ABCD00011110111111111100011110（1-100）3. 逻辑函数的卡诺图化简法：ABC00011110010010001 11ABCBCABCBCAABC例：例：化简卡诺图中所表示的逻辑函数式化简卡诺图中所表示的逻辑函数式（1-101）ABC00011110010010001 11AB?

49、（1-102）ABC00011110010010001 11ABBCF=AB+BC（1-103）（1）卡诺图化简逻辑函数的原理 2个相邻的最小项合并ABCD1111111ABDABCABDBCD可以消去1个取值不同的变量而合并为l项， （1-104）4个相邻的最小项合并ABCD11111111BCCDBD（四角）注意四角相邻性可以消去2个取值不同的变量而合并为l项， （1-105）8个相邻的最小项合并个相邻的最小项合并DABC111111111111BC可以消去3个取值不同的变量而合并为l项， （1-106）遵循原则：（1）圈要尽可能大，这样消去的变量就多。但每）圈要尽可能大，这样消去的变量就

50、多。但每个圈内只能含有个圈内只能含有2的的n次方个相邻项。要特别注意次方个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。对边相邻性和四角相邻性。 （2）圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的）圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的与项就少与项就少 。（3）卡诺图中所有取值为）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即的方格均要被圈过，即不能漏下取值为不能漏下取值为1的最小项的最小项 （1-107）（5）各最小项可以重复使用。）各最小项可以重复使用。（6）所有的）所有的1都被圈过后，化简结束。都被圈过后，化简结束。（4）新画的包围圈中至少要含有）新画的包围圈中至少要含有1个末被个末被圈过的圈过的1方格方格（1-108）ABCD0001 11 1000010000010 0011 10 00100 001110不是矩形不是矩形（1-109）用卡诺图化简逻辑函数的步骤画出逻辑函数的卡诺图。 合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。 写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与或表达式。 （1-110）例：化简例：化简 F(A