第5章 地下水运动基本规律详述

1、4.4 地下水渗透的连续性方程地下水渗透的连续性方程水均衡的基本思想：水均衡的基本思想： 对某一研究对象，对某一研究对象， 流入流入 流出流出 V V 研究对象可以是研究对象可以是大区域大区域的，也可以是的，也可以是微分单元体微分单元体 大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价 现在基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。现在基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在

2、各向异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。水文循环水文循环n收入项（收入项（I）：）：n大气降水量（大气降水量（X）n地表水流入量（地表水流入量（Y1）n地下水流入量（地下水流入量（W1）n水汽凝结量（水汽凝结量（Z1）n支出项（支出项（O）：）：n地表水流出量（地表水流出量（Y2）n地下水流出量（地下水流出量（W2）n蒸发量（蒸发量（Z2）陆地上某一地区天然状态下的水均衡分析陆地上某一地区天然状态下的水均衡分析：I = O + (W1 - W2) = O + W W X + （ Y1 - Y2 ）+ （W1 - W2 ） + （ Z1

3、- Z2 ） 三维流运动三维流运动：地下水的渗透流速沿空间三个坐标轴的分量均不为：地下水的渗透流速沿空间三个坐标轴的分量均不为0 0。三维流三维流（three-dimensional flowthree-dimensional flow），也称空间运动，地下水的），也称空间运动，地下水的渗透流速沿空间三个坐标轴的分量均不等于零的渗流；水头、流渗透流速沿空间三个坐标轴的分量均不等于零的渗流；水头、流速等渗流要素随空间三个坐标而变化的水流。速等渗流要素随空间三个坐标而变化的水流。河弯处潜水的三维流动河弯处潜水的三维流动（a）平面图）平面图 (b)剖面图剖面图河流(b)(a)xyzx三维流的运动方程

4、：zHKvyHKvxHKvzzzyyyxxx 均质各向同性含水层中潜水井抽水时的地下水运动均质各向同性含水层中潜水井抽水时的地下水运动(a)平面图平面图 (b)剖面图剖面图tzyvtzyvtzyxxxtzyxx),(),(| )(| )(X方向流入方向流入X方向流出方向流出X方向流入流出差方向流入流出差tzyvtzyvtzyxxxtzyxx),(),(| )(| )(多孔介质单元水均衡要素图多孔介质单元水均衡要素图假设：水是可压缩的，多孔介质骨假设：水是可压缩的，多孔介质骨架在垂直方向可压缩，但在水平方架在垂直方向可压缩，但在水平方向不可变形。向不可变形。 均衡的含义：在均衡的含义：在 t t

5、时段内从时段内从x,y,zx,y,z三个方向共三个方向共6 6个单元界面上流入流个单元界面上流入流出水的净总质量等于单元体内储存出水的净总质量等于单元体内储存量的变化。量的变化。),(| )(tzyxxv),(| )(tzyxxxv渗流连续性方程推导渗流连续性方程推导tvVmtvtQVXyX方向流入流出差tzyvtzyvtzyxxxtzyxx),(),(| )(| )(y方向流入流出差z方向流入流出差tzxvtzxvtzyyxytzyxy),(),(| )(| )(tyxvtyxvtzzyxztzyxz),(),(| )(| )(单元体内地下水单元体内地下水质量变化量质量变化量yxznznmt

6、zyxttzyx| )(| )(),(),(zyxnVm),(| )(tzyxxv),(| )(tzyxxxvXyX方向流入流出差0 )(| )(| )(),(),(xtzyxxvtzyxxvvxtzyxxxtzyxxy方向流入流出差z方向流入流出差0 )(| )(| )(),(),(ytzyxyvtzyxyvvytzyyxytzyxy单元体内地下水单元体内地下水质量变化量质量变化量0 )(| )(| )(),(),(tttzyxntyxtznzntzyxttzyx0 )(ztzyxzvz地下水运动的连续地下水运动的连续性方程：性方程：tzyxnzyxzvyvxvzyx)()()()(（4-1

7、3）上式即为上式即为非稳定流的渗流连续方程非稳定流的渗流连续方程，表明渗流场，表明渗流场中任意体积含水层流入、流出该体积含水层中水中任意体积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于该体积中水质量的变化量。质量之差永远恒等于该体积中水质量的变化量。它表达了渗流区内任何一个它表达了渗流区内任何一个“局部局部”所必须满足所必须满足的质量守恒定律。的质量守恒定律。 若把含水层看作刚体，若把含水层看作刚体， =constant=constant，n n不变，不变，即水和介质没有弹性变形或渗流为稳定流，则得即水和介质没有弹性变形或渗流为稳定流，则得到地下水在稳定运动下的到地下水在稳定运动下的连续

8、性方程连续性方程：0)(zvyvxvdivzyx上式表明，在同一时间内流入单元体的水体上式表明，在同一时间内流入单元体的水体积等于流出的水体积，即积等于流出的水体积，即体积守恒体积守恒。连续性方程连续性方程是研究地下水运动的基本方程，是研究地下水运动的基本方程，各种研究地下水运动的微分方程都是根据连各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续性方程和反映质量守恒定律的方程建立起续性方程和反映质量守恒定律的方程建立起来的。来的。测压水头图2-2-1 饱和含水介质中受力情况4.5.1 4.5.1 含水层的弹性释水含水层的弹性释水sphp地下水弹性储存概念地下水弹性储存概念p取一典型处于平衡状态的饱和地

9、层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密，取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密，忽略侧面上粒间力忽略侧面上粒间力( (包括内聚力和摩擦力包括内聚力和摩擦力) )的作用。的作用。 含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力总压应力 由粒由粒间应力的间应力的垂向分量垂向分量 s s和和孔隙水应力孔隙水应力p p两者来平衡两者来平衡. . pmms)1 ( m m为单位水平面积中颗粒间接触面积的为单位水平面积中颗粒间接触面积的水平投影水平投影. . 由于由于m1m1，令（，令（K.Terzaghi) K.Ter

10、zaghi) ppmms)1 (4.5 含水层的状态方程含水层的状态方程测压水头图2-2-1 饱和含水介质中受力情况TerzaghiTerzaghi有效应力公式有效应力公式phpp多孔介质总应力有效应力孔隙水应力ppmms)1 (饱和含水介质中的受力情况饱和含水介质中的受力情况pp有效应力公式分析有效应力公式分析p p减少减少地下水地下水体积膨胀体积膨胀，从而释放出部分地下水；，从而释放出部分地下水； p p减少减少地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持平衡，这部分地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持平衡，这部分力将转嫁到多孔介质固体骨架上，力将转嫁到多孔介质固体骨架上，增大有效应力增大有效应力，压

11、缩多孔介，压缩多孔介质，结果使含水层介质厚度变薄和空隙率质，结果使含水层介质厚度变薄和空隙率n n变小，同时从孔隙变小，同时从孔隙中释放地下水；中释放地下水； p p减少减少多孔介质固体颗粒也会膨胀多孔介质固体颗粒也会膨胀, ,而而有效应力增大有效应力增大又会影响又会影响固体颗粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体固体颗粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体颗粒的压缩性比多孔介质要小得多，因此通常颗粒的压缩性比多孔介质要小得多，因此通常忽略多孔介质固忽略多孔介质固体颗粒的压缩性体颗粒的压缩性。 水压水压p p减少，将引起以下作用减少，将引起以下作用: :地下水弹性储存地下水

12、弹性储存物理意义：物理意义： 弹性储存与重力储存不同；弹性储存与重力储存不同； n给水机制不同给水机制不同 弹性储存更宜理解为弹性储存更宜理解为“变形储存变形储存”； 弹性储存这种性质不仅承压含水层具备，层间弱弹性储存这种性质不仅承压含水层具备，层间弱透水层也有弹性储存透水层也有弹性储存 弹性储存：当地下水水头（水压）降低弹性储存：当地下水水头（水压）降低( (或升高）时，含水层、或升高）时，含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质弱透水层释放（或储存）地下水的性质（1）水的状态（压缩）方程）水的状态（压缩）方程dpdVVVdVdp11假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有 p p 为水压

13、；为水压； V V 为水的体积；为水的体积；为水的体积弹性压缩为水的体积弹性压缩( (或或膨胀膨胀) )系数系数; ;E E 为体积弹性模量为体积弹性模量 。1E4.5.2 4.5.2 含水层的状态方程含水层的状态方程wwwdpVdV由于VV0变化不大，故 ddmmdVdVmV)1()(水密度的变化量与水原水密度的变化量与水原来的压力和压力的变化来的压力和压力的变化量成正比的关系量成正比的关系由于VdVdp1pVVdHdpdddp1（2）多孔介质的压缩方程（颗粒骨架的状态方程）多孔介质的压缩方程（颗粒骨架的状态方程）vbvsbbbdVdVVVVVdVdpdpd1 bbVdVd1假定多孔介质近似

14、地符合弹性变形，依虎克定律，假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有有 为岩土的体积弹性压缩系数。为岩土的体积弹性压缩系数。 如果上部荷载不变，则如果上部荷载不变，则 V Vb b 多孔介质中所取单元体的总体积；多孔介质中所取单元体的总体积；Vs Vs 单元体中固体骨架体积；单元体中固体骨架体积；Vv Vv 为其中的孔隙体积。为其中的孔隙体积。多孔介质的压缩方程多孔介质的压缩方程含水岩层在外力作用下孔隙度（或体积）的变化量与含水岩层在外力作用下孔隙度（或体积）的变化量与压力的增量成正比压力的增量成正比bbVdVd1e)(1pe e1de1VV)VVd(1VdV1dpsbsvbb由于骨架部

15、分体积不变由于骨架部分体积不变本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水层本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水层释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。水的压缩方程水的压缩方程多孔介质的压缩方程多孔介质的压缩方程dHdpdddp1e)(1pe e1de1VV)VVd(1VdV1dpsbsvbbbbVdVd1e)(1pe e1de1VV)VVd(1VdV1dpsbsvbb4.6 地下水运动的微分方程地下水运动的微分方程达西定律达西定律+ +连续性方程连续性方程+ +状态方程状态方程渗流连续性方程渗流连续性方程yxt

16、znzyxzvyvxvzyx)()()()(水和多孔介质的水和多孔介质的压缩方程压缩方程dHdp总水头和孔隙水总水头和孔隙水压力关系压力关系本节综合上述各式，将渗流连续性方程转化为以水本节综合上述各式，将渗流连续性方程转化为以水头头H H 为因变量的地下水流基本微分方程。为因变量的地下水流基本微分方程。dHdpdddp1)1(11111epeedeVdVVdVdpVdVdbvbbbb（1） 地下水非稳定运动的基本微分方程地下水非稳定运动的基本微分方程yxtznzyxzvyvxvzyx)()()()(（一）化简方程左端项（一）化简方程左端项 当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有

17、当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有zHKvyHKvxHKvzzzyyyxxx xHKxxHKxxHKxxHKxxHKxxvxxxxxxxxxxx)()()(由于在一般情况下，水的密度变化很小，可视由于在一般情况下，水的密度变化很小，可视 近似不变，故近似不变，故)()(xHKxxvxxx)()( )()(zHKzzvyHKyyvzzzyyy同理（二）化简右端：yxtznzyxzvyvxvzyx)()()()()(1)(1)1()(teteezetezzeettzntzn)(VVzVVzVVzezeensssv111可视为多孔介质均衡体可视为多孔介质均衡体中固体部分的厚度，且

18、中固体部分的厚度，且由于固体颗粒部分视为由于固体颗粒部分视为不可压缩，因此此比值不可压缩，因此此比值不随时间不随时间t t变化。变化。yxtznzyxzvyvxvzyx)()()()(tHnztHetHeeztzn)()1(1)(tHtpptdHdpdpdtHetppetedHdpepe得,和根据)1(得,和)1(根据两边代入水均衡方程，有() () ()()xxyyzzHHHKKKx y zxxyyzzHznx yt 两边同除以两边同除以)(nstHzHKzyHKyxHKxszzyyxx)()()(物理意义：物理意义： 表示在达西流动条件下，单位体积、单位时间的水均衡关系。表示在达西流动条件

19、下，单位体积、单位时间的水均衡关系。zyx() () ()()xxyyzzHHHKKKx y zxxyyzzHznx yt 且令且令得到得到各向异性含水层地下水三维流的基本微分方程各向异性含水层地下水三维流的基本微分方程基本微分方程基本微分方程是研究承压含水层中地下水运动的基础。它是研究承压含水层中地下水运动的基础。它反映了反映了承压含水层中地下水运动的质量守恒关系承压含水层中地下水运动的质量守恒关系表明单位时间内流入、流出单位体积含水层的水量差（左表明单位时间内流入、流出单位体积含水层的水量差（左端）等于同一时间内单位体积含水层弹件释放端）等于同一时间内单位体积含水层弹件释放( (或弹性贮存

20、或弹性贮存) )的水量（右端）的水量（右端）它还通过应用它还通过应用DarcyDarcy定律，反映了地下水运动中的能量守恒定律，反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。与转化关系。基本微分方程表达了渗流区中任何一个基本微分方程表达了渗流区中任何一个“局部局部”都必须满都必须满足质量守恒和能量守恒定律。足质量守恒和能量守恒定律。数学意义数学意义：表示渗流空间内任一点任一时刻的渗流规律。：表示渗流空间内任一点任一时刻的渗流规律。单位弹性给水度或单位储水系数单位弹性给水度或单位储水系数 的物理意义的物理意义 nns)(sHnV因此，因此， n n 表示单位空隙介质体积中，当水头下降一个单位表示单位空

21、隙介质体积中，当水头下降一个单位时时( ( H H=1)=1)，由于水的膨胀而释放出来的水量（体积）。，由于水的膨胀而释放出来的水量（体积）。n )1(由由(P56(P56胡克定律胡克定律) )有有pVV当取当取V V为为1 1个单位孔隙介质中水的体积时，个单位孔隙介质中水的体积时，V=1V=1 n npH 令HnV1单位弹性给水度或单位储水系数单位弹性给水度或单位储水系数 的物理意义的物理意义nns)(sHVs表示：当水头下降一个单位时，表示：当水头下降一个单位时，由于空隙介质受压缩（厚由于空隙介质受压缩（厚度变薄，空隙率变小），度变薄，空隙率变小），从单位体积空隙介质中释放的水从单位体积空

22、隙介质中释放的水量（体积）量（体积） )2(mmV0又由于又由于pmmpmm0001HHmpmpmmV0000)1(水头降低时含水层释出水的特征水头降低时含水层释出水的特征，取面积为，取面积为1m1m2 2、厚度为、厚度为l m l m ( (即体积为即体积为l ml m3 3) )的含水层，考察当水头下降的含水层，考察当水头下降1m1m时释放的水量。时释放的水量。此时，有效应力增加了此时，有效应力增加了H H g g1=1= g g。介质压缩体积减少所释放出的水量（介质压缩体积减少所释放出的水量（dVdVb b）为）为与水体积膨胀所释放出的水量（与水体积膨胀所释放出的水量（dVdV）之和）之

23、和1bbdVV dpgg ()dVV dpngng上述二者之和所释放出的水量为或式中 s 贮水率释水率，量纲 L-1，为弹性释水贮水 ； M含水层厚度(m)； e弹性贮水系数，P61。 e =sM贮水系数e和贮水率s都是表示含水层弹性释水能力的参数，在地下水动力学计算中具有重要的意义。sbdVdVgng )(ngs弹性释水与重力给水弹性释水与重力给水: : 对于含水层而言，由于受埋藏条件的对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给出存在着不同。限制，抽水时，水的给出存在着不同。潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作

24、用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，由于包气干作用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，由于包气带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后现象。带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后现象。当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降部位引起部位引起重力排水重力排水，用给水度，用给水度 表示重力排水的能力；在下表示重力排水的能力；在下部饱水部分则引起部饱水部分则引起弹性释水弹性释水，用贮水系数，用贮水系数 e e表示这一部分的表示这一部分的释水能力。释水能力。必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在必须区分两者之间的不同，潜

25、水含水层还存在滞后疏干滞后疏干现象。现象。承压含水层抽水时，水的释放是由于压力减少造成的，这一承压含水层抽水时，水的释放是由于压力减少造成的，这一过程是瞬时完成的。只要水头下降不低到隔水顶板以下，水过程是瞬时完成的。只要水头下降不低到隔水顶板以下，水头降低只引起含水层的弹性释水，可用贮水系数头降低只引起含水层的弹性释水，可用贮水系数 e e 表示这表示这种释水的能力。种释水的能力。4.5.2 4.5.2 微分方程的各种形式微分方程的各种形式对于等厚承压含水层，且属于平面二维流对于等厚承压含水层，且属于平面二维流 T Txxxx和和T Tyyyy为主方向的含水层导水系数为主方向的含水层导水系数(

26、L(L2 2/T)/T)；M M为承压含水层为承压含水层厚度厚度(L)(L)； e为承压含水层的为承压含水层的储水系数或弹性给水度储水系数或弹性给水度, ,其物理意义是：单其物理意义是：单位水平面积承压含水层柱体，当水头下降一个单位时所释放位水平面积承压含水层柱体，当水头下降一个单位时所释放的水量的水量(无量纲无量纲)。 tHyHTxHTeyyxx2222?,MMKTMKTseyyyyxxxx1. 承压水运动的基本微分方程 v稳定流条件0tH010)()()(22rHrrHzHKzyHKyxHKxzzyyxx 极坐标下均质、等厚、各向同性极坐标下均质、等厚、各向同性承压含水层轴对称流承压含水层

27、轴对称流( (径向流径向流) 当存在源、汇项时当存在源、汇项时tHWyHTxHTtHyHKxHKeyyxxsyyxx22222222? 和和W分别为三维流和平面二维流的分别为三维流和平面二维流的源汇。分别定义为单位体积含水层源汇。分别定义为单位体积含水层和单位水平面积含水层柱体中，单和单位水平面积含水层柱体中，单位时间内产生（为正值）或消耗位时间内产生（为正值）或消耗（为负值）的水量。（为负值）的水量。稳定运动方程的右端都等于零，意味着同稳定运动方程的右端都等于零，意味着同一时间内流入单元体的水量等于流出的水一时间内流入单元体的水量等于流出的水量。这个结论不仅适用于承压含水层，也量。这个结论不

28、仅适用于承压含水层，也适用于潜水含水层和越流含水层。适用于潜水含水层和越流含水层。总结各种形式，当存在源汇项时左端加上总结各种形式，当存在源汇项时左端加上 原形 均质 二度各向异性 轴对称问题 各向同性介质 稳定流条件 tHzHKzyHKyxHKxszzyyxx)()()(tHzHKyHKxHKszzyyxx222222tHzHKyHxHKszzrr222222)(tHzHKrHrrHKszzrr2222)1(tHzHyHxHKs)(2222220)()()(zHKzyHKyxHKxzzyyxx2 2 潜水运动的基本微分方程潜水运动的基本微分方程潜水稳定运动的微分方程潜水稳定运动的微分方程没有

29、入渗和蒸发时，潜水稳定运动的方程式为：没有入渗和蒸发时，潜水稳定运动的方程式为：非均质非均质或均质或均质 有入渗和蒸发时，潜水稳定运动的方程式为？有入渗和蒸发时，潜水稳定运动的方程式为？0)()(yHKhyxHKhx0)()(yHhyxHhx式中式中Z Z含水层底板标高。含水层底板标高。潜水含水层区在承压含水层区)(ZHKKhKMTFtHEWyHFyxHFx)()(地下水运动基本微分方程的统一形式地下水运动基本微分方程的统一形式：潜水含水层区在承压含水层区*Ee4.7 数学模型的建立及求解1 1 数学模型的有关概念数学模型的有关概念同一形式的偏微分方程代表了整个一大类的地下水流的运动规同一形式

30、的偏微分方程代表了整个一大类的地下水流的运动规律，而对于不同边界性质、不同边界形状的含水层，水头的分律，而对于不同边界性质、不同边界形状的含水层，水头的分布是不同的。而且对于偏微分方程而言，方程本身并不包含反布是不同的。而且对于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定渗流区条件的全部信息，方程可能存在无数个解，如需映特定渗流区条件的全部信息，方程可能存在无数个解，如需要从大量的可能解中求得与特定区域条件相对应的唯一特解，要从大量的可能解中求得与特定区域条件相对应的唯一特解，就必须提供反映特定区域特征的信息。就必须提供反映特定区域特征的信息。这些信息包括：这些信息包括：（1 1）微分方程中的）微

31、分方程中的有关参数有关参数， ，当这些参数确定后，当这些参数确定后，微分方程才能被确定下来。微分方程才能被确定下来。WTe,（2 2）渗流区范围和形状渗流区范围和形状，当微分方程所对应的区域被确，当微分方程所对应的区域被确定之后才能对方程求解。定之后才能对方程求解。（3 3）边界条件边界条件：表示渗流区边界所处的条件，用以表示：表示渗流区边界所处的条件，用以表示水头水头H H（或渗流量（或渗流量q q）在渗流区边界上所应满足的条件，）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。（4 4）初始条件初始条件：表示渗流区的

32、初始状态，某一选定的初：表示渗流区的初始状态，某一选定的初始时刻始时刻(t=0)(t=0)渗流区内水头渗流区内水头H H的分布情况。的分布情况。将边界条件和初始条件并称为将边界条件和初始条件并称为定解条件定解条件，微分方程和，微分方程和定解条件一起构成渗流场的数学模型。定解条件一起构成渗流场的数学模型。 地下水流动控制微分方程地下水流动控制微分方程 n潜水二维不稳定流动控制方程潜水二维不稳定流动控制方程 n承压水二维不稳定流动控制方程承压水二维不稳定流动控制方程 定解条件定解条件 n边界条件边界条件 n初始条件初始条件tHyHZHKyxHZHKxyyxx)()(tHyHMKyxHMKxeyyx

33、x)()(一、定解条件一、定解条件第一类边界第一类边界 第二类边界第二类边界 初始条件初始条件边界条件边界条件DyxyxHHnHTrQnHTByxtyxqnHTByxtyxHtBwBBBw),( ),(|02),( ),(),( ),(|0021221一、定解条件潜水面边界潜水面边界 tHWzHKxHKztzyxHpzzxx2)(),(0tHWzHKyHKxHKzzyyxx22)()(三维条件下解析方法 数值方法 物理模拟方法 n渗流槽试验 n水电比拟法 n电网络模拟法二、数学模型及其解法二、数学模型及其解法n数学模型数学模型：描述某一研究区地下水流运动的数学方程与其：描述某一研究区地下水流运

34、动的数学方程与其定解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。定解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。n亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研究地系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研究地质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特征，达质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的的一种数到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的的一种数学结构。学结构。n其中微分方程表示地下水的流动规律，定解条件表明研究其中微分方程表示地下水

35、的流动规律，定解条件表明研究对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真实状对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真实状态。态。n定解问题定解问题是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的数是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的数学物理问题。学物理问题。n建立模型建立模型是指建立数学模型的过程。是指建立数学模型的过程。2 2 定解条件定解条件 1 1 ）定解条件定解条件定解条件指水头、流量等渗流运动要素在流场边界定解条件指水头、流量等渗流运动要素在流场边界上的已知变化规律，这种变化规律是由流场外部条上的已知变化规律，这种变化规律是由流场外部条件引起的，但它不断地影响流场内部的渗流过程并

36、件引起的，但它不断地影响流场内部的渗流过程并在整个期间一直起作用。在整个期间一直起作用。定解条件包括边界条件和初始条件。定解条件包括边界条件和初始条件。 2 2）边界条件边界条件边界条件是渗流区边界所处的条件，用以表示水头边界条件是渗流区边界所处的条件，用以表示水头H H（或渗流量（或渗流量q q）在渗流区边界上所应满足的条件，也）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。(1) (1) 第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet(Dirichlet条件条件) )：如果在某一部分边界：如果在某一部分边界( (设

37、为设为S Sl l或或1 1) )上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界，表示为部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界，表示为: :或或 给定水头边界给定水头边界不一定就是定水头边界。不一定就是定水头边界。可以作为可以作为第一类边界条件第一类边界条件来处理的情况：来处理的情况： 河流或湖泊切割含水层，两者有直接水力联系时，这部分边界就河流或湖泊切割含水层，两者有直接水力联系时，这部分边界就可以作为第一类边界处理。此时，水头可以作为第一类边界处理。此时，水头是一个由河湖水位的统是一个由河湖水位的统计资料得到的关于

38、计资料得到的关于t t的函数。但要注意，某些河、湖底部及两侧的函数。但要注意，某些河、湖底部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界条件来处理。联系受阻，就不能作为第一类边界条件来处理。1),(),(| ),(1szyxtzyxtzyxHs1),(),(| ),(1yxtyxtzyxH 在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖泊，也不一定能处理为定水头边界，还要视河流、湖泊泊，也不一定能处理为定水头边界，还要视河流、湖泊与地下水水力联系的情

39、况，以及这些地表水体本身的径与地下水水力联系的情况，以及这些地表水体本身的径流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随意把某流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随意把某段边界确定为定水头边界，以免造成很大误差。段边界确定为定水头边界，以免造成很大误差。 区域内部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作为给区域内部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作为给定水头的内边界来处理。此时，水头通常是按某种要求定水头的内边界来处理。此时，水头通常是按某种要求事先给定，例如给定抽水井的允许降深等。上面介绍的事先给定，例如给定抽水井的允许降深等。上面介绍的都只是给定水头的边界。注意，给定水头边界不一定是都只是给定

40、水头的边界。注意，给定水头边界不一定是定水头边界。定水头边界。 排泄地下水的溢出带、冲沟或排水渠的边界也可近排泄地下水的溢出带、冲沟或排水渠的边界也可近似看作给定水头边界。似看作给定水头边界。(2)(2)第二类边界条件第二类边界条件(Neumam(Neumam条件条件) )：当知道某一部分边界：当知道某一部分边界( (设为设为S S2 2或或2 2) )单位面积单位面积( (二维空间为单位宽度二维空间为单位宽度) )上流入上流入( (流出时用负值流出时用负值) )的流量的流量q q时，称为第二类边界或时，称为第二类边界或给定流量的边界给定流量的边界。相应的边界条件。相应的边界条件表示为表示为:

41、 :或或式中，式中，n n为边界为边界S S2 2或或2 2的外法线方向。的外法线方向。q q1 1和和q q2 2则为已知函数，分别表示则为已知函数，分别表示S S2 2上单位面积和上单位面积和2 2上单位宽度的侧向补给量。上单位宽度的侧向补给量。21),(),(2StzyxtzyxqnHKS22),(),(2yxtyxqnHT常见的这类常见的这类边界条件边界条件： 隔水边界（流线、分水岭）：隔水边界（流线、分水岭）： 抽水井或注水井：抽水井或注水井： 补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。（3 3）第三类边界条件第三类边界条件：某边界上：某

42、边界上H H和和 的线性组合是已知的，的线性组合是已知的，即有：即有： 又称又称混合边界条件混合边界条件， ， 为已知函数。为已知函数。边界为弱透水层（渗透系数为边界为弱透水层（渗透系数为K K1 1，厚度或宽度为，厚度或宽度为m m1 1），），wwrQnHT2HnHnH0nH在在S S3 3 上上, ,在在 S S2 2 上上, ,浸润曲线的边界条件浸润曲线的边界条件： 当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积，当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积，流量流量q q为：为：式中，式中， 为给水度，为给水度， 为浸润曲线外法线与铅垂线间的夹角。为浸润曲线外法线与铅垂

43、线间的夹角。03HHnHKnS03HHMnHTnqnHKc2cos*tHq 3) 3) 初始条件初始条件初始条件初始条件: :某一选定的初始时刻某一选定的初始时刻(t=0)(t=0)渗流区内水头渗流区内水头H H的分布情况。的分布情况。或或 其中，其中，H H0 0为为D D上的已知函数。上的已知函数。3 3 渗流数学模型的分类渗流数学模型的分类(1)(1)线性、非线性模型线性、非线性模型模型由线性方程所组成，称为模型由线性方程所组成，称为线性模型线性模型，如均质各向同性承，如均质各向同性承压二维流方程。模型由非线性方程所组成，称为压二维流方程。模型由非线性方程所组成，称为非线性模型非线性模型

44、，如潜水模型方程。如潜水模型方程。DzyxzyxHtzyxHt),(),(| ),(00DzyxyxHtyxHt),(),(| ),(00 (2) (2)静态、动态模型静态、动态模型 根据模型中未知变量与时间的关系进行划分，若未知变量与根据模型中未知变量与时间的关系进行划分，若未知变量与时间无关，如稳定流模型，称为静态模型，反之，则为动态模时间无关，如稳定流模型，称为静态模型，反之，则为动态模型。型。 (3)(3)集中、分布参数模型集中、分布参数模型模型中不含有空间坐标变量的模型，称为集中参数模型，如抽模型中不含有空间坐标变量的模型，称为集中参数模型，如抽水井流量与降深之间的经验公式。模型中含

45、有空间坐标变量的水井流量与降深之间的经验公式。模型中含有空间坐标变量的模型，称为分布参数模型。模型，称为分布参数模型。(4)(4)确定性与随机性模型确定性与随机性模型 确定性模型确定性模型：数学模型中各变量之间有严格的数学关系的模：数学模型中各变量之间有严格的数学关系的模型。型。 随机性模型随机性模型：数学关系式中含有一个或多个随机变量的模型。：数学关系式中含有一个或多个随机变量的模型。 用用确定性模型确定性模型来描述实际地下水流时，如前述，必须具备来描述实际地下水流时，如前述，必须具备下列条件：下列条件： 有一个有一个( (或一组或一组) )能描述这类地下水运动规律的能描述这类地下水运动规律

46、的偏微分方程偏微分方程；同时，确定了相应渗流区的范围、形状和方程中出现的各种同时，确定了相应渗流区的范围、形状和方程中出现的各种参数值。参数值。 给出相应的给出相应的定解条件定解条件。对所建立的模型进行检验，即把模型。对所建立的模型进行检验，即把模型预测的结果与通过抽水试验或其它试验对含水层施加某种影预测的结果与通过抽水试验或其它试验对含水层施加某种影响后所得到的实际观测结果或一个地区地下水动态长期观测响后所得到的实际观测结果或一个地区地下水动态长期观测资料进行比较，看两者是否一致。若不一致，就要对模型进资料进行比较，看两者是否一致。若不一致，就要对模型进行校正，即修正条件行校正，即修正条件(

47、1)(1)和和(2)(2)直至满意拟合为止。这一步骤直至满意拟合为止。这一步骤称为称为识别模型或校正模型识别模型或校正模型。 经过校正后的模型，能代表所研究的地质体，或者说是实经过校正后的模型，能代表所研究的地质体，或者说是实际水流系统的复制品了，因而可以根据需要，用这个模型进际水流系统的复制品了，因而可以根据需要，用这个模型进行计算或预测，例如预测矿床疏干时的涌水量及地下水污染行计算或预测，例如预测矿床疏干时的涌水量及地下水污染情况预测等。情况预测等。 解解( (即满足条件和的解即满足条件和的解) )是存在的是存在的( (存在性存在性) )； 解是唯一的解是唯一的( (唯一性唯一性) )；要求所提问题的解存在和唯；要求所提问题的解存在和唯一是不言而喻的。一是不言而喻的。 解对原始数据是连续依赖的解对原始数据是连续依赖的( (稳定性稳定性) )。即稳定性的要。即稳定性的要求，意味着当参数或定解条件发生微小变化时，所引起求，意味着当参数或定解条件发生微小变化时，所引起的解的变化也是很微小的。只有有了这条保证，当参数的解的变化也是很微小的。只有有了这条保证，当参数和定解条件的数据有某些误差时，所求得的解才能仍然和定解条件的数据有某些误差时，所求得的解才能仍然接近于真解；否则，解是不可信的，并