第3章--守恒定律及其在力学中的应用

1、1 本章主要研究力在持续地本章主要研究力在持续地对物体作用的过程中，在空间对物体作用的过程中，在空间和时间上所产生的累积效应。和时间上所产生的累积效应。第第3 3章章 守恒定律及其在守恒定律及其在力学中的应用力学中的应用守恒守恒定律是包括近代物理学在内的定律是包括近代物理学在内的整个物理学中的重要概念和基本规律整个物理学中的重要概念和基本规律动量、角动量、能量的不守恒动量、角动量、能量的不守恒 都必然会导致新的发现都必然会导致新的发现 23.1功功 动能定理动能定理1、恒力做功、恒力做功Frcos |AFr2、变力做功、变力做功元功：元功：dcos|d |AFrddAFr总功：总功：( )dB

2、ALAA( )dBALFrcosFs|d | drs( )cos dBALAFs( )cos |d |BALFrABFdr3.1.1 功功 功率功率 质点在力质点在力 的作用下的作用下, 沿沿某一路径某一路径从一处移到另一处从一处移到另一处 , 力与位力与位移的标积移的标积 沿运动轨迹的线积分沿运动轨迹的线积分, 定义为力对该质点所作的定义为力对该质点所作的功功 。 直角坐标系下的功直角坐标系下的功:xyzFF iF jF kkzj yi xrddAFrdddxyzF xF yF zddddrxiyjzk() (ddd)xyzF iF jF kxiyjzkdddBBBAAAxyzxyzxyzA

3、F xF yF zABFdroyxz讨论讨论: :1)1) 功是功是标量标量，但有正负，但有正负2)2) 功是功是过程量过程量，某一时刻的功没有意义，某一时刻的功没有意义3)3) 功是功是相对量相对量. . 与参考点的选择有关与参考点的选择有关( )( )dcos dBBAALLAFrFs412()nFFFFdBAAFr12() dBnAFFFr12dddBBBnAAAFrFrFr12ABABnABAAA3、合力的功、合力的功1niiA功的单位：功的单位：J（焦耳）（焦耳） 合外力对合外力对质点质点所做的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和所做的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和AB1Fdr

4、2FnF3FFvddAtddFst4、功率、功率 功率的单位：功率的单位：W（瓦）（瓦） 1 W = 1 Js- -1 APt平均功率平均功率瞬时功率瞬时功率0limtAPt dBAAFr221122BAmmvv质点质点动能动能212kEmv或或22kpEmdBAmvvv v3.1.2 质点的动能定理质点的动能定理ABFdrcos|d |BAFrddkFrE质点的动能定理质点的动能定理21kkAEE微分式微分式合外力对物体所做的功等于物体动能的增量合外力对物体所做的功等于物体动能的增量|d |BtAFrd|d |dBAmrtv注意：注意：动能是反应物体运动状态的物理量，是动能是反应物体运动状态

5、的物理量，是状态量状态量3.1.3 质点系动能质点系动能对对n个质点组成的质点系：个质点组成的质点系：m1:对每个质点分别使用动能定理对每个质点分别使用动能定理1111kBkAAAAEE外1合内m2:22kBkAAAAEE2外2合2内mn:nkBnkAAAAEEn外n合n内11=nniiiiAA外内注意：注意：内力内力能能改变系统的改变系统的总动能总动能。质点系的动能定理质点系的动能定理11nnikBikAiiEE1niiAAkAAE 外内 一切外力对系统所作的功与系统内各物体间相互作用的一一切外力对系统所作的功与系统内各物体间相互作用的一切内力所作的切内力所作的功之代数和功之代数和， 在数值

6、上等于该系统在数值上等于该系统动能的增量动能的增量。3.2 保守力保守力 系统的势能系统的势能 3.2.1 保守力做功的特点保守力做功的特点1. 重力做功重力做功dbaAmgr 重力做功与路径无关重力做功与路径无关21dyymg y21mgymgy rdxyoabgm().(dd)bamgjxiyjy1y2re为单位矢量为单位矢量122rGm mfer dLAfr123()dBArrLGm mrrrd|d |cosrrrrdr r122()dBArrLGm mrr1212()()BAGm mGm mrr 1m2mdrrdrdrBrArrreBALL2.2. 万有引力做功万有引力做功123Gm

7、mfrr rrre或或其中其中 万有引力做功也与路径无关万有引力做功也与路径无关1. 任意两点间做功与路径无关任意两点间做功与路径无关, 即即1dBALfrL1ABL22. 沿任意闭合回路做功为沿任意闭合回路做功为 0. 即即 12()dddBALABLLfrfrfr2dBALfr沿任意回路做功为零的沿任意回路做功为零的力力或做功与具体路径无或做功与具体路径无 关的关的力力都称为都称为保守力保守力03. 弹簧的弹性力做功弹簧的弹性力做功222111()22kxkx O x1x2xk21dxxAfr21() dxxkxixi保守力保守力f 与路径无关与路径无关10保守力作功等于保守力作功等于势能

8、增量势能增量的负值的负值. A B 点点PApBEEdBABAAfrpE(沿任意路径）沿任意路径）势能定义势能定义3.2.2 势能势能保守力做功的特点：保守力做功的特点：21Amgymgy 重力1212()()BAGm mGm mArr 万有引力222111()22Akxkx 弹性力 把相互作用物把相互作用物体间相对位置决定体间相对位置决定的函数定义为该物的函数定义为该物体系的体系的势能函数势能函数，简称简称势能势能。若选若选 B 为计算势能参考点为计算势能参考点, 取取EpB = 0pAABEA0dBAfr（势能 点）(沿任意路径）沿任意路径）则则A 点的势能定义：点的势能定义：11势能势能

9、相对量相对量: :相对于势能零点的相对于势能零点的系统量系统量: :是属于相互作用的质点共有的是属于相互作用的质点共有的pAABEA0dBAfr（势能 点）(沿任意路径）沿任意路径） 系统在任一位形时的势能等于它从此位形系统在任一位形时的势能等于它从此位形沿任意沿任意路径路径改变至势能零点时保守力所做的功。改变至势能零点时保守力所做的功。势能与参考系无关势能与参考系无关(相对位移相对位移)势能定义：势能定义： 引力势能引力势能: rmmGrEp21选选 处为零势点处为零势点弹性势能弹性势能: 221xkxEp重力势能重力势能: pEymgy选选 弹簧自然伸长位置为零弹簧自然伸长位置为零势点势点

10、选选 y=0处处为零势点为零势点12 引力势能引力势能: rmmGrEp21弹性势能弹性势能: 221xkxEp重力势能重力势能: pEymgy122dd pEm mfGrrdd pEfkxxddpEfmgy 引力引力弹性力弹性力重力重力保守力与势能的关系保守力与势能的关系dddpABEAFl势能定义势能定义cosd FldlFldd plEFllmlFFld13在直角作标系中在直角作标系中ddplEFlpFE ijkxyz()ppEE xyzpxEFx pyEFy pzEFz xyzFF iF jF k()pijk Exyz 保守力等于保守力等于势能的负梯度势能的负梯度3.3 系统的功能定理

11、系统的功能定理 机械能守恒定律机械能守恒定律 能量守恒定律能量守恒定律kAAE 外内由质点系动能定理由质点系动能定理因为因为pEA保内所以所以)(pkEEAA非保内外机械能机械能pkEEE 质点系的功能原理质点系的功能原理EAA非保内外kAAAE 外非保内保内3.3.1 系统的功能定理系统的功能定理质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和和 .14150AA外非保内时BAEE恒量机械能守恒定律机械能守恒定律EAA非保内外一个质点系在运动中，当只有保守内力做功一个质点系在运动中，当只有保守内力做功 时，系统的机械能保持不变时，系统的机械能保持不变

12、00AA外非保内（而且） 一个保守系一个保守系, 总的机械能的增加总的机械能的增加, 等于外力对它所作的功等于外力对它所作的功; 从某一惯性参考系看从某一惯性参考系看, 外力作功为零外力作功为零, 则该系统的机械能不变则该系统的机械能不变.3.3.2 机械能守恒定律机械能守恒定律守恒定律的意义守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点各个守恒定律的特点和优点 .16内力的功的作用：内力的功的作用：保守内力作功：相应势能和保守内力作功：相应势能和间转换；间转换；机械能守恒定律是机械能守恒定律是 普遍能量守恒定律在机械运

13、动中的体现。普遍能量守恒定律在机械运动中的体现。pk0AEE保内即pk0AEE保内0E 当时，所以所以A保内保内是是Ep与与Ek之间转化的手段和量度。之间转化的手段和量度。kpEEA 保内17非保守内力作功：系统机械能与非保守内力作功：系统机械能与 能量间转换。能量间转换。 若若A内非内非 0, 它的机械能就不守恒。它的机械能就不守恒。 A内非内非 0 ， E2 E1-其他形式能量转化为机械能其他形式能量转化为机械能 (地雷）地雷） A内非内非 0 ，E2 E1-机械能转化为其他形式能量机械能转化为其他形式能量 （摩擦）（摩擦）0A外21AEE内非外力的功：系统机械能与外力的功：系统机械能与能

14、量的交换或转换能量的交换或转换从普遍能量守恒观点：从普遍能量守恒观点： 即：能量只能传递或转换，而不能创生。即：能量只能传递或转换，而不能创生。18机械能守恒机械能守恒3.3.3 能量守恒定律能量守恒定律一个孤立系统经历任何变化时，该系统所有一个孤立系统经历任何变化时，该系统所有能量的总和保持不变能量的总和保持不变普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律功功和和能量的变化能量的变化相联系相联系，能量的变化能量的变化反映了系统反映了系统作功的本领。作功的本领。能量是运动状态的单值函数：和状态的一一对应性。能量是运动状态的单值函数：和状态的一一对应性。203.4 冲量与动量冲量与动量 质点的动量定理质

15、点的动量定理dd()Ftm外v2121dttFtpp外冲量冲量质点的动量定理质点的动量定理动量定理只适动量定理只适用于惯性系。用于惯性系。 矢量矢量过程量过程量由由21dttIFt外2121dttFtmm外vv21Ipp质点受合外力的质点受合外力的冲量冲量等于同一时间内该质点等于同一时间内该质点动量动量的增量的增量若在若在F外的作用下，的作用下，在在21tt 时间内，时间内， 质点速度从质点速度从12vv则则pmv动量动量或或ddmtvFma外d()dmtvddFtp外21冲击力下冲击力下21dttIF tF tF0tt1t2Ft称为称为时间内的平均力时间内的平均力Ft2121ppIFttt2

16、121dtxxxxtIFtpp2121dtyyyytIFtpp2121dtzzzztIFtpp分量式分量式大小大小:2121dttIFtpp外221v2vV1p2ppf/fff21ftppp 船对风ff 风对船船对风f/f与水的阻力相平衡与水的阻力相平衡为船的动力为船的动力“好船家会使八面风好船家会使八面风”请分析请分析逆风行船逆风行船的道理！的道理！龙骨龙骨23质点系质点系1m2m12F21F1F2F或或00111()dnnntiiiiitiiiFtmm外vv0121 1221 10220()d()()ttFFtmmmmvvvv022122220()dttFFtmmvv011211110()

17、dttFFtmmvv因为内力因为内力 ，故，故02112FF0ppI3.5.1 质点系的动量定理质点系的动量定理3.5 系统的动量定理系统的动量定理 动量守恒定律动量守恒定律2:m1:m22()mm系统：系统：m1、m2系统，系统，t0 时刻速度：时刻速度：1020、vvt 时刻速度：时刻速度：12、vv质点系动量定理质点系动量定理 24当系统所受的合外力为当系统所受的合外力为 0, 即即d0dPt或或iipP恒矢量恒矢量系统系统 动量守恒动量守恒分量式分量式:当当0 xF 则则xp恒量恒量则则zp恒量恒量则则yp恒量恒量讨论讨论 1. 当某一方向外力为零时该方向动量守恒当某一方向外力为零时该

18、方向动量守恒2. 当内力当内力 外力时，动量守恒外力时，动量守恒0yF 当当0zF 当当3.5.2 系统的动量守恒定律系统的动量守恒定律10niiFF外外1 122xxiixmmmvvv恒量恒量1 122yyiiymmmvvv恒量恒量1 1223zzizmmmvvv恒量恒量3.3.定理中各速度必须是相对于同一参考系。定理中各速度必须是相对于同一参考系。 4.4.动量守恒定律更普遍、更基本动量守恒定律更普遍、更基本, ,宏观、微观均适用。宏观、微观均适用。25求：求： 当小物体当小物体 m 滑到底时，滑到底时， 大物体大物体 M 在水平面上在水平面上 移动的距离。移动的距离。例例 如图，一个有四

19、分子一圆弧滑槽的大物体质量为如图，一个有四分子一圆弧滑槽的大物体质量为M，置于光，置于光滑的水平面上。另一质量为滑的水平面上。另一质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑。的小物体自圆弧顶点由静止下滑。RmxvvVyxSs0()xmMVv解解:xmMVv00ddttxmtMV tvsSMSms SRsRMmmSM26mdm火箭原理火箭原理 (选地面作参照系选地面作参照系)dddmmmumvvvt 时刻时刻: 火箭火箭 + 燃料燃料 = m它们对地的速度为它们对地的速度为v(1)经经 dt 时间后时间后 , 质量为质量为 dm 的燃料喷出的燃料喷出d ,mm 剩下质量为剩下质量为dvv对地速度为对地

20、速度为(2)d dm v略去二阶小量略去二阶小量u对地速度为ddd ddmmmmmumvvvvv动量守恒动量守恒ddd0mmmuvv选选正正向向27ddmum v0v火箭初始质量为火箭初始质量为 m0, 初速度初速度v末速度末速度末质量为末质量为 m ，00ddmmmum vvv则有则有 00lnmumvvdd0mu mv式中式中uuv称为称为喷气速度喷气速度ddd0mmmuvvdd()ddpmuttvvddmut dm:ddmFut火箭推力火箭推力对对282. 0ln,mmv这对燃料的携带来说不合适这对燃料的携带来说不合适, 用多级火箭避免可这一困难用多级火箭避免可这一困难0mm大， 大，v

21、15000 m suv1. 化学燃料最大化学燃料最大 u 值为值为实际上只是这个理论值的实际上只是这个理论值的50% . 这个这个 u 值比带电粒子在电场作用下获得的速度值比带电粒子在电场作用下获得的速度 3 108 m s-1 小得多小得多 , 由此引起人们对离子火箭由此引起人们对离子火箭 , 光子火箭的遐想光子火箭的遐想. 可惜它们喷出的物质太少可惜它们喷出的物质太少, 从而推动力太小从而推动力太小 即所需加速过程即所需加速过程太长太长 .初速为初速为v0=0时时0lnmumv00lnmumvv293.6 质心质心 质心运动定理质心运动定理 质心定义质心定义1iiicm rrm()iimm

22、质质心心的的坐坐标标iiicm xxmiiicm yymiiicm zzm12cxab ()2cmam abxm0 xyzm1m2micrc2r1riroabmmcxx质量连续分布的质量连续分布的物体物体dcr mrmdcx mxmdcy mymdcz mzm3.6.1 质心质心分量式分量式例：例：30质心质心质心速度质心速度ddiiccmrtmvv22ddiicicmaratm质心加速度质心加速度ddcmmvvddca mam 说明说明: : 1 1）不太大物体不太大物体, ,质心与重心重合质心与重心重合 2 2）均匀分布的物体均匀分布的物体, ,质心在几何中心质心在几何中心 3 3）质心是

23、位置的加权平均值质心是位置的加权平均值, ,质心处不一定有质量质心处不一定有质量 4 4）具有可加性具有可加性, ,计算时可分解计算时可分解1iiicm rrmdcr mrm31质点系的动量是质点系内各质点的动量的矢量和质点系的动量是质点系内各质点的动量的矢量和iiipmv质心运动定理质心运动定理: : ddddccpFmmatt外vcFma 外外当物体只作平动时，当物体只作平动时， 质心运动可以代表整个物体的运动。质心运动可以代表整个物体的运动。动量守恒定律的另一表述：动量守恒定律的另一表述：当系统所受当系统所受合外力为零时合外力为零时，质心速度质心速度保持不变保持不变iiicmmmmvv3

24、.6.2 质心运动定理质心运动定理320外Fcv讨论讨论1）质点系动量定理微分形式）质点系动量定理微分形式积分形式积分形式3）若）若不变不变质心速度不变就是动量守恒质心速度不变就是动量守恒cFma外PFt外dd210ttFtPP外d2）只要外力确定，不管作用点怎样，质心的加速度就确只要外力确定，不管作用点怎样，质心的加速度就确定，质心的运动轨迹就确定，即质点系的平动就确定。定，质心的运动轨迹就确定，即质点系的平动就确定。（如抛掷的物体、跳水的运动员、爆炸的焰火等，（如抛掷的物体、跳水的运动员、爆炸的焰火等，其质心的运动都是抛物线）。其质心的运动都是抛物线）。 系统系统内力内力不会影响质心的运动

25、不会影响质心的运动33完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 两物体碰撞后两物体碰撞后,以同一速度运动以同一速度运动 .碰撞碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大的相互两物体互相接触时间极短而互作用力较大的相互作用作用 .CEEE2k1kk完全弹性碰撞完全弹性碰撞 两物体碰撞之后，两物体碰撞之后， 它们的动能之和不变它们的动能之和不变 非弹性碰撞非弹性碰撞 由于非保守力的作用由于非保守力的作用 ，两物体碰撞后，使，两物体碰撞后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式的能量机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式的能量 .3.7 碰撞碰撞 iiFFpC外内343.7.1 弹性碰撞弹性碰撞1 102

26、1202122mmmmmvvv12102201122mmmmmvvv1 102201 122mmmmvvvv22221 102 201 12 211112222mmmmvvvv（1）若）若21mm 则则120210 , vvvv（2）若）若且且20 0v12mm 则则1102 , 0vvv20 0v12mm （3）若）若且且110210 , 2vvvv则则动能：动能：动量：动量：35完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：12vvv11022012()mmmmvvv1 1022012mmmmvvv=碰撞后速度：碰撞后速度：碰撞中机械能的损失：碰撞中机械能的损失：2221 1022012111()()2

27、22Emmmm vvv212102012)2()m mmm(vv=3.7.2 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞动量守恒：动量守恒：36例题：例题： 质量相等粒子的非对心弹性碰撞质量相等粒子的非对心弹性碰撞mmmmyxxy20imv1fmv2 fmv1imv1 fmv2 fmv1imv碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后解解:222111112222iffmmmvvv112iffmmmvvv(*)222112iffvvv112iffvvv(*)式两边平方得式两边平方得222112122iffffvvvvv120ffvv 证明碰撞后两个质子证明碰撞后两个质子将互成直角地离开将互成直角地离开 在液氢泡沫室中在液氢泡

28、沫室中, 入入射质子自左方进入射质子自左方进入, 并与并与室内的静止质子相互作室内的静止质子相互作用用.37对心碰撞对心碰撞38非对心碰撞非对心碰撞393.8 角动量角动量 力矩力矩 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律3.8.1 质点的角动量质点的角动量定义定义:Lrmrp v - 质点对质点对参考点参考点O的的质点角动量质点角动量 或或 质点动量矩质点动量矩LrOsinsinLrpmrv大小：大小：mp方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面, r p 质点以角速度质点以角速度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量r2Lmr4041例：自由下落质点的

29、角动量例：自由下落质点的角动量mvroRrA任意时刻任意时刻 t， 有有 212rgt pmmgtv（1） 对对 A 点的角动量点的角动量3102ALrpmt gg rrR（2） 对对 O 点的角动量点的角动量prRprLO)(t gmRpRgRRmgtLOm42Mf r : 力臂力臂r 设力设力 的作用点的作用点 P相对于惯相对于惯性系中给定参考点性系中给定参考点O的位矢为的位矢为 , 则定义这个力相对于参考点则定义这个力相对于参考点O 的的力矩力矩frMrf Msinf rfrrMO/FFFFMP3.8.2 力矩力矩对空间力对空间力 对对O点的力矩点的力矩FrMFFrFr/F/MMM/M0

30、 ,0iiFM0 ,0iiFMFFFF定义：定义：大小：大小：43dddd()ddddLrprpprttttmrF vv质点的质点的角动量定理角动量定理ddLMtrF质点对某固定点所受的合外力矩质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率等于它对该点角动量的时间变化率FrrMOA3.8.3 质点的角动量定理质点的角动量定理ddpFtprLd?dLtddM tL或或dM t冲量矩冲量矩2121dttM tLL对同一参考点对同一参考点O, ,质点所受的冲量质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。矩等于质点角动量的增量。441 1）角动量和力矩均与）角动量和力矩均与参考点有关，参考点有关

31、， 角动量也称角动量也称动量矩动量矩，力矩也叫，力矩也叫角力角力；2 2） 对轴的角动量和对轴的力矩对轴的角动量和对轴的力矩 在具体的坐标系中，在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐标角动量（或力矩）在各坐标轴的分量轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。，就叫对轴的角动量（或力矩）。讨论讨论xyzLrPL iL jL k xyzMrFM iM jM k xL：质点对：质点对x 轴的角动量轴的角动量xM：质点对：质点对x 轴的力矩轴的力矩453.8.4 质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律0M 则则d0dLt或或L 常矢量若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。若若p mvrOALoLrmvsinr mvrmv质点做匀速直线运动中，对质点做匀速直线运动中，对O点角动量是否守恒？点角动量是否守恒？r例：例：质点的角动量定理质点的角动量定理ddLMt463.9 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律ddiiLMt力矩的迭加原理力矩的迭加原理jjiijijj ijMM系统系统ddiiiiLMt0M外ijj iM第第 i 个质点个质点ijijij i