数学建模——对房地产调控问题的研究

1、 对房地产调控的研究（B题) 以杭州市为例 摘 要房地产业是整个国民经济的重要产业，是一个产业链长、经济关联度高的行业，其运行质量直接影响到国民经济的健康发展。近十年来，中国的经济快速发展，房地产开发投资不断扩大，引起了购房热潮，从而使我国各大城市的房价持续上涨、居高不下。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此国家出台了一系列的相关政策及措施对房价进行调控。本文以杭州市为载体，在此背景下建立与商品住宅价格相关联因素的模型，以此进行相关的分析预测。问题一：收集整理杭州市近十年商品住宅价格、人均可支配收入、GDP和CPI等各项数据，先分别通过线性回归分析挖掘它们之间的关系来

2、建立模型，再通过偏相关分析得到偏相关系数，按照偏相关系数的大小用逐步回归分析法保留效应显著的变量，再由保留变量作回归分析得出相关方程和数据，并利用回归分析法作出对杭州市未来三年商品住宅价格的预测。问题二：在房地产调控的想法上从商品住宅的提供一方考虑调控，添加商品住宅销售面积和商品住宅开发投资两个变量再次利用回归分析来构建数学模型，联系问题一中的人均收入支出得出更具体的量化调控政策，利用回归分析法作出预测。关键字：房地产调控；商品住宅价格；线性回归分析；偏相关分析；偏相关系数；逐步回归；回归分析法；预测一、问题重述1.1 引言 随着我国房地产市场的不断扩展和壮大，房地产交易的急剧增加，房地产业已

3、经成为了国民经济新的增长点，然而当前各大城市商品住宅房价持续升高、居高不下，使得人们对于房地产的泡沫现象产生了疑虑。房地产行业作为国民经济的支柱产业，对改善人们的生活发挥着积极的作用。科学地把握市场规律，客观清醒地认识房地产市场现状，对于推动房地产市场健康发展，促进国民经济稳步增长具有重要意义。1.2 相关情况 住房问题是关系着民生的大问题。从2002年8月26日六部委颁发217号文件起，我国房地产调控历史走过了十余年。细心盘点房地产调控的十年，大致可以划分为四个阶段：第一阶段，调控起步期(2002年至2004年)：主要以收紧土地供给和房地产信贷为主要手段，以抑制房地产市场投资过热为目的。第二

4、阶段，调控加码期(2005年至2008年上半年)：加码的手段以结构性调整为主，在抑制房地产投资过热的同时，提出稳房价的新目标。国八条、新国八条、国六条相继出台，重点打击囤地行为、改善商品房和保障房供应结构、提高首付比例、推出税收调控手段，改善供给结构的同时开始调节商品房投资性需求。第三阶段，紧急救市期(2008年下半年至2009年上半年)：为应对全球性金融危机对中国经济的冲击，政府政策全面转向，以楼市稳定来支持经济稳定，从中央到地方全面放松各项房地产调控措施，甚至出台利率打折等购房刺激政策。第四阶段，调控全面加码期(2010年至今)：遏制房价过快上涨或促进房价合理回归成为突出调控目标。国十一条

5、、新国十条、限购令等号称史上最严厉调控措施相继出炉，涵盖土地供给、信贷、税收、保障房等各方面的住房差别化调控体系逐渐形成。近十年，从单一供给管理转向供给与需求综合管理，从防止房地产市场投资过热转向重点遏制房价过快上涨，我国房地产调控目标逐渐清晰，政策体系逐渐建立。然而，虽然调控取得一定成绩，但调控多为定性的行政手段，量化调控方案很少。并且调控政策一般只是短暂实用某一特定时期。近期杭州市出台调控目标：全市新建商品住房价格增幅低于本市城镇居民家庭人均可支配收入的实际增幅。所以，对房地产的调控刻不容缓，必须对当前商品房价作出影响因素的分析，以有效地控制房价的稳定。1.3 问题的提出根据杭州市近十年经

6、济数据解决以下问题：问题一：收集整理杭州市近十年商品住宅价格、人均可支配收入、GDP和CPI等数据，挖掘它们之间的关系；考虑实际调控政策，建立数学模型预测杭州市未来三年商品住宅价格的变化趋势。问题二：为更好地稳定房价，请提出你觉得更有效的房地产调控政策，并在你提出的调控政策下，建立数学模型预测杭州市未来三年商品住宅价格的变化趋势。2、 模型假设1、 问题中模型得出的相关结论是建立在杭州市所提供的各项数据基础上的，在全国范围内并不一定具有参考性。2、 假设题中所给出信息及所有数据具有一定的准确性，对模型的建立以及分析计算没有影响。3、 假定在所研究的杭州市不发生任何特大的自然灾害，如地震、洪涝灾

7、害等。排除这些对政府进行房地产宏观调控的影响。4、 在着重讨论主要因素时，其他已经明确判定为次要因素的变量可以忽略。5、 一般假设检验的显著性水平规定为0.05。3、 符号说明和约定：每年杭州市商品住宅价格（因变量）：每年人均可支配收入（自变量）：GDP（自变量）：CPI（自变量）：偏相关系数：商品住宅销售面积（自变量）：商品住宅开发投资（自变量）：预计在个人收入水平下所累积达到能够买房的年数4、 对问题一的解答4.1问题分析本问题主要探讨杭州市近十年商品住宅价格与人均可支配收入、GDP和CPI等三个相关数据间的关系，分别通过线性回归建立数学模型得出相关方程及数据，并进行一定的分析。再通过偏相

8、关分析法，得出关联性，以排除与商品住宅价格关系较小的变量，再假令剩余自变量与因变量为线性关系，作多元回归分析，建立数学模型，以此来对杭州市未来三年商品住宅价格作出预测。4.2模型建立表格 1 2004年到2012年各数据汇总年份商品住宅价格（元/m2）人均可支配收入（元）GDP（亿元）CPI20045743.9145652515.0089.320056167.4166012918.6191.020067759.2192073440.9992.2200710088216894103.8995.7200811297241044781.16 100.6200914507261765098.6699.

9、2201018479300355945.82103.9201120764340657011.80104.8201219269375117803.98102.5 利用线性回归分析商品住宅价格和另外三个自变量、的关系，得出相应的数据，并进行总结和分析：商品住宅价格和人均支配收入：图表 1 可由线性回归图得出一元线性表达式： 其余各参考数据如下两表：模型汇总模型RR 方调整 R 方标准 估计的误差1.971a.943.9351483.45189a. 预测变量: (常量), 人均可支配收入。Anovab模型平方和df均方FSig.1 回归2.537E812.537E8115.284.000a 残差1.

10、540E772200629.508 总计2.691E88a. 预测变量: (常量), 人均可支配收入。b. 因变量: 商品住宅价格 商品住宅价格和GDP：图表 2 可由线性回归图得出一元线性表达式： 其余各参考数据如下两表：模型汇总 模型RR 方调整 R 方标准 估计的误差1.967a.935.9261581.44899a. 预测变量: (常量), GDP。Anovab模型平方和df均方FSig.1 回归2.516E812.516E8100.598.000a 残差1.751E772500980.917 总计2.691E88a. 预测变量: (常量), GDP。b. 因变量: 商品住宅价格 商品

11、住宅价格和CPI： 图表 3 可由线性回归图得出一元线性表达式： 其余各参考数据如下两表：模型汇总 模型 RR 方调整 R 方标准 估计的误差1.953a.908.8941885.39793a. 预测变量: (常量), CPI。 Anovab模型平方和df均方FSig.1 回归2.442E812.442E868.702.000a 残差2.488E773554725.349 总计2.691E88 a. 预测变量: (常量), CPI。 b. 因变量: 商品住宅价格 由上面各图可以比较的大小，已知，可知在线性相关中CPI与商品住宅价格线性关系最小，所以控制CPI不变，通过偏相关分析分别研究GDP、

12、人均可支配收入和商品住宅价格的线性关系。下表为商品住宅价格和人均可支配收入的偏相关分析：相关性控制变量商品住宅价格人均可支配收入 CPI 商品住宅价格 相关性1.000.780 显著性（双侧）.023 df06 人均可支配收入 相关性.7801.000 显著性（双侧）.023. df60可得偏相关系数： ，所以可知商品住宅价格和人均可支配收入有线性关系。下表为商品住宅价格和GDP的偏相关分析：相关性 控制变量商品住宅价格GDP CPI 商品住宅价格 相关性1.000.747 显著性（双侧）.033 df06 GDP 相关性.7471.000 显著性（双侧）.033. df60 可得偏相关系数：

13、 ，所以可知商品住宅价格和GDP有线性关系。 在得知商品住宅价格分别和人均可支配收入、GDP有线性关系后，控制人均可支配收入和GDP不变，通过偏相关分析研究商品住宅价格和CPI的线性关系。 下表为商品住宅价格和CPI偏相关分析：相关性 控制变量商品住宅价格CPI 人均可支配收入 & GDP 商品住宅价格 相关性1.000.674 显著性（双侧）.097 df05 CPI 相关性.6741.000 显著性（双侧）.097. df50 可得偏相关系数： ，所以可知商品住宅价格和CPI无线性关系。 因此排除CPI作为考虑的自变量。 因为，所以按照偏相关系数的大小依次加入做逐步回归分析再排除变

14、量。逐步回归分析结果如下表：已排除的变量b模型Beta IntSig.偏相关共线性统计量容差1 GDP-2.008a-.824.441-.319.001 a. 模型中的预测变量: (常量), 人均可支配收入。 b. 因变量: 商品住宅价格 根据分析结果排除GDP该自变量，所以剩余变量为人均可支配收入。由前文可知商品住宅价格和人均可支配收入呈线性关系： 得到： 4.3预测 通过软件对数据的分析，可看出人均可支配收入呈较微弱的指数增长，在图表中也可看出商品住宅价格虽在2012年时有小幅下跌，但由前文可知商品住宅价格和人均可支配收入在大体上呈线性关系，则综合来看，商品住宅价格在未来三年内会稳步上涨。

15、 5、 对问题二的解答5.1问题分析近十年，从单一供给管理转向供给与需求综合管理，从防止房地产市场投资过热转向重点遏制房价过快上涨，我国房地产调控目标逐渐清晰，政策体系逐渐建立。然而，虽然调控取得一定成绩，但调控多为定性的行政手段，量化调控方案很少。并且调控政策一般只是短暂实用某一特定时期。本问题着重于对另外几个因素进行分析，在此基础上建立数学模型，从而提出量化且更有效的房地产调控政策。根据第一题的数据模型分析，我们合理排除了自变量GDP与CPI的增幅对因变量商品住宅价格产生较大影响的情况。鉴于我们对房地产调控的分析和理解，我们在原先建立模型的基础上又添加了商品住宅销售面积，商品住宅开发投资两

16、个自变量，来对商品住宅价格产生的影响进行研究。5.2 模型建立根据查阅得到以下数据：年份商品住宅价格（元/m2）商品住宅销售面积（万平方米）商品住宅开发投资（亿元）20045743.9509.49328.5420056167.4620.66410.5720067759.2679.27442.452007100881042.82518.79200811297627.48596.632009145071300.99704.68201018479797.59596.2201120764682.431302.27201219269920.261597.36 根据偏相关分析得到偏相关系数，通过逐步回归分

17、析保留具有明显影响的因素，根据模型分析如下：商品住宅销售面积与商品住宅价格：图表 4 由拟合曲线可知，商品住宅价格与商品销售面积成正相关性，随着商品销售面积的增加，商品价格也随之增加。 输入移去的变量b模型输入的变量移去的变量方法1商品住宅销售面积a.输入a. 已输入所有请求的变量。b. 因变量: 商品住宅价格模型汇总模型RR 方调整 R 方标准 估计的误差1.356a.127.0025793.19003a. 预测变量: (常量), 商品住宅销售面积。Anovab模型平方和df均方FSig.1回归3.417E713.417E71.018.347a残差2.349E873.356E7总计2.691

18、E88a. 预测变量: (常量), 商品住宅销售面积。b. 因变量: 商品住宅价格系数a模型非标准化系数标准系数tSig.B标准 误差试用版1(常量)6073.0876821.459.890.403商品住宅销售面积8.2748.200.3561.009.347a. 因变量: 商品住宅价格由数据分析得出： 由此我们可以得出，商品销售面积对商品住宅价格具有一定影响。商品住宅开发投资与商品住宅价格：图表 5 由曲线可知，商品住宅价格与商品住宅开发投资成正相关性，随着商品住宅开发投资的增加，商品住宅价格也随之增加。模型输入的变量移去的变量方法1商品住宅开发投资a.输入a. 已输入所有请求的变量。b.

19、因变量: 商品住宅价格模型汇总模型RR 方调整 R 方标准 估计的误差1.821a.674.6283538.78880a. 预测变量: (常量), 商品住宅开发投资。Anovab模型平方和df均方FSig.1回归1.814E811.814E814.488.007a残差8.766E771.252E7总计2.691E88a. 预测变量: (常量), 商品住宅开发投资。b. 因变量: 商品住宅价格系数a模型非标准化系数标准系数tSig.B标准 误差试用版1(常量)4750.9512392.7411.986.087商品住宅开发投资10.9762.884.8213.806.007a. 因变量: 商品住宅

20、价格由数据分析得出： 由此我们可以得出,商品住宅开发投资对商品住宅价格具有极大影响，所以我们应该控制商品住宅开发投资的力度来抑制房价。对此我们提出的建议是政府应该加大限购政策实施的力度，由此根据需求关系以及开发商对群众购买商品住宅房的预期来看，开发商会减少对商品住宅房的投资，从而抑制房价。商品住宅价格与人均可支配收入、商品住宅销售面积、商品住宅开发投资的关系： 输入移去的变量b模型输入的变量移去的变量方法1人均可支配收入, 商品住宅销售面积, 商品住宅开发投资a.输入a. 已输入所有请求的变量。b. 因变量: 商品住宅价格模型汇总模型RR 方调整 R 方标准 估计的误差1.982a.964.9

21、421396.85926a. 预测变量: (常量), 人均可支配收入, 商品住宅销售面积, 商品住宅开发投资。Anovab模型平方和df均方FSig.1回归2.593E838.645E744.305.001a残差9756079.01851951215.804总计2.691E88a. 预测变量: (常量), 人均可支配收入, 商品住宅销售面积, 商品住宅开发投资。b. 因变量: 商品住宅价格系数a模型非标准化系数标准系数tSig.B标准 误差试用版1(常量)-7470.0612320.118-3.220.023商品住宅销售面积-.6272.175-.027-.288.785商品住宅开发投资-4.

22、8372.799-.362-1.728.145人均可支配收入.970.1611.3096.007.002a. 因变量: 商品住宅价格因此，可以看出不仅从购房者的角度会对房价产生影响，从房地产所投资数额及供应的住房面积也会造成影响，从模型中也可看出人均可支配收入和商品住宅销售面积呈相互抑制关系，且人均可支配收入和商品住宅开发投资也呈相互抑制关系，所以我们应该适当增加商品住宅销售面积，减少商品住宅开发投资金额，从开发商的角度使每平米的成本降低再趋于稳定，所以应使每年应支出的房价尽量偏低且小于收入支出的一半，才能保障生活水平及房价稳定，由于假设的，因此给出以下公式： 5.3预测 由于前文所分析的人均可支配收入与商品住宅销售面积、商品住宅开发投资间的相互抑制的关系，问题一中分析得出人均可支配收入呈微弱的指数增长，但此时可看出商品住宅销售面积变化不大，而商品住宅开发投资呈微弱上升趋势，由于双方刺激，杭州市未来三年商品住宅价格开始应该会由于人均支出增加，而投资趋于平稳而稳定，可能仍会有持续的小幅下跌，但到后期人均支出增涨较大，刺激房价的增长趋势，投资也开始加大，房价会以较快速度上涨。六、模型的评价和推广6.1 模型的优点 问题一中的模型首先分别用简单的一元线性关系对商品住宅价格