正弦定理、余弦定理 - 解析版

1、第四章三角函数、解三角形4.7正弦定理、余弦定理内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析审题路线图系列思想方法 感悟提高练出高分基础知识自主学习1.正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容 2Ra2 ；b2 ；c2 b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C知识梳理1 1答案变形(1)a2Rsin A，b ，c ；(2)sin A ，sin B ，sin C ；(3)abc ；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A cos A ； cos

2、B cos C 2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin C答案3.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.( )(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，三角形为直角三角形；当b2c2a20时，三角形为钝角三角形.()(5)在三角形中，已知两边和一角就能

3、求三角形的面积.()思考辨析答案C考点自测2 2解析答案2.在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为 ，则BC的长为()B解析答案1解析答案4.(教材改编)ABC中，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为 .解析解析由已知得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，sin(BC)sin2A，sin Asin2A，又sin A0，sin A1，A ，ABC为直角三角形.直角三角形解析答案5.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C bsin Cac0，则角B .sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，解析答案返回题

4、型分类深度剖析bsin Aab.满足条件的三角形有2个.B利用正弦定理、余弦定理解三角形题型一解析答案即2b2b2c22bccos A，45，30，105解析答案解得b1.1解析答案思维升华思维升华(1)判断三角形解的个数的两种方法代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.解析解析若三角形有两解，则必有ab，x2，C跟踪训练1解析答案BC2AC2AB

5、22ACABcos A，化简得x22x10，x1，即AB1.1解析答案(1)求tan C的值；集合间的基本关系题型二解析答案sin 2C2sin Ccos C，由解得tan C2.所以cos 2Bsin2C.(2)若ABC的面积为3，求b的值.解解由tan C2，C(0，)得解析答案思维升华思维升华四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；解解由题设A与C互补及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C.跟踪训练21解析答案(2)求四边形ABCD的面积.解解四边形ABCD的面积解析

6、答案正弦、余弦定理的简单应用题型三命题点命题点1判断三角形的形状判断三角形的形状例例3(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 0，于是有cos B0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形.答案答案A即sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析答案(1cos B)cac，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形.答案答案B命题点命题点2求解几何计算问题求解几何计算问题例例

7、4(2015课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得解析答案在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.解析答案思维升华思维升华(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.(2)求解几何计算问

8、题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示.选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形跟踪训练3解析答案2sin Acos Asin Bcos Acos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，ABC为等腰或直角三角形.答案答案D解析解析cacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，sin Aco

9、s Bcos Asin Bsin Acos BBD2AB2AD22ABADcosBAD解析答案返回审题路线图系列审题路线图系列二审结论会转换(1)求cos A的值；审题路线图：温馨提醒返回规范解答规范解答温馨提醒(1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向；(2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误.返回思想方法感悟提高1.应熟练掌握和运用内角和定理：ABC， 互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.2.解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只

10、含边.方法与技巧1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论.2.在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解.失误与防范返回练出高分1.在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形解的情况是()A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定角B不存在，即满足条件的三角形不存在.C解析答案2.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sin A5sin B，则角C等于()解析解析因为3sin A5sin B，所以由正弦定理可得3

11、a5b.则由余弦定理c2a2b22abcos C，A解析答案3.若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析答案C为钝角.ABC为钝角三角形.答案答案C4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C ，则ABC的面积是()解析答案答案答案C解析解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.解析答案答案答案C即a2c2b2ac，6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan B ac，则角B的值为 .解

12、析答案7.(2015天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3 ，bc2，cos A ，则a的值为 .又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos Aa8.8解析答案8.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为 .解析答案解析解析由正弦定理，可得(2b)(ab)(cb)c.a2，a2b2c2bc，即b2c2a2bc.由b2c2bc4，得b2c24bc.b2c22bc，即4bc2bc，bc4.(1)求角C的大小；解析答案由ab，得A

13、B，又AB(0，)，解析答案10.如图，在ABC中，B ，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC .(1)求sinBAD；解析答案所以sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B解解因为ADBADC，(2)求BD、AC的长.在ABD中，由正弦定理得在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B解析答案所以AC7.11.在ABC中，AC ，BC2，B60，则BC边上的高等于()解析解析设ABc，则由AC2AB2BC22ABBCcos B知7c242c，即c22c30，B解析答案解析解析由tan A2得sin A2cos A.解析答案从而BAD15DAC，所以C1801203030，解析答案14.在ABC中，B60，AC ，则AB2BC的最大值为 .解析答案AB2sin C，BC2sin A.又AC120，AB2