第三次：中世纪的中国数学

1、第第4讲讲 日照东方日照东方古代与中世纪的东方数学一、中国传统数学一、中国传统数学二、印度数学二、印度数学三、阿拉伯数学三、阿拉伯数学四、中国与印度、阿拉伯的数学交流四、中国与印度、阿拉伯的数学交流中世纪数学的主角：中世纪数学的主角： 中国、印度与阿拉伯地区的数学。中国、印度与阿拉伯地区的数学。东方数学特色：东方数学特色：强烈的算法精神强烈的算法精神 所谓所谓“算法算法”并不是单纯的计算，而是为了解并不是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性计算方法。性计算方法。 注：注：东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到东方数学

2、在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。的诞生。一、一、 中国传统数学中国传统数学1.1 中国传统数学的奠基中国传统数学的奠基 萌芽（石器时代、青铜时代）原始社会、夏商周萌芽（石器时代、青铜时代）原始社会、夏商周 积累与奠基（春秋战国时代、秦、西汉）积累与奠基（春秋战国时代、秦、西汉）1.2 周髀算经周髀算经与数理天文学与数理天文学1.3 九章算术九章算术与中国传统数学的体系与中国传统数学的体系秦始皇陵兵马俑（中国, 1983）秦汉时期形成中国传统数学体系中国现存最早的数学书中国现存最早的数学书算数书算数书

3、(西汉西汉, 约公元约公元前前170年年, 1983-1984年间年间湖北江陵张家山出土湖北江陵张家山出土)算数书算数书1.1 中国传统数学的奠基中国传统数学的奠基 公元前公元前755755年以前的约年以前的约30003000多年多年 它又可以分为两个阶段：萌芽它又可以分为两个阶段：萌芽阶段和形成阶段，数学从零星知识阶段和形成阶段，数学从零星知识成为科学体系。成为科学体系。 陕西临潼姜寨遗址中发现的大陕西临潼姜寨遗址中发现的大量陶片。量陶片。 研究表明，大约在研究表明，大约在60006000年前，年前，中国人至少已经掌握了中国人至少已经掌握了3030以内的自以内的自然数，且是一个然数，且是一个

4、1010进制系统。进制系统。 尸子尸子( (约公元前四世纪约公元前四世纪) )：“古古者，者，倕倕为规、矩、准、绳，使天下访为规、矩、准、绳，使天下访焉焉” ” 汉武帝梁祠的浮雕像：伏羲手执汉武帝梁祠的浮雕像：伏羲手执矩，女娲手执规的造像。矩，女娲手执规的造像。 夏代夏代( (约公元前约公元前2121世纪初约公世纪初约公元前元前1212世纪初世纪初) )：人们关于几何形体：人们关于几何形体和数量的认识有所提高。和数量的认识有所提高。 商代商代( (又称殷代，约公元前又称殷代，约公元前1717世世纪约前纪约前1111世纪世纪) )：18991899年在河南安年在河南安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上

5、所阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上所刻的象形文字刻的象形文字( (甲骨文，公元前甲骨文，公元前1414世世纪纪) )。 自然数的记法：自然数的记法：1010进位制，最大进位制，最大的数字是的数字是3 3万。万。 周周( (约公元前约公元前1111世纪公元前世纪公元前256256年年) )：奴隶制经济获得进一步：奴隶制经济获得进一步的发展的发展. “. “数数”作为六艺之一，作为六艺之一，开始形成一个学科。开始形成一个学科。 算筹记数和四则运算已经开始算筹记数和四则运算已经开始 春秋战国时期：人们已经能熟春秋战国时期：人们已经能熟练地进行筹算。练地进行筹算。墨经墨经: :点、线、面、方、圆等几何概念

6、点、线、面、方、圆等几何概念考工记考工记: :分数比例、角度大小的区分、标准容器的计算等分数比例、角度大小的区分、标准容器的计算等荀子荀子管子管子: : “ “九九九九”乘法口诀。乘法口诀。春秋春秋: : “ “初税亩初税亩”，测量田亩面积和计算的方法。，测量田亩面积和计算的方法。庄子庄子天下篇天下篇: :“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”，朴，朴素的素的 极限观念。极限观念。墨经墨经：点：端点：端,体之无厚而最前者也体之无厚而最前者也;直线：直直线：直, 参也参也;圆：圆圆：圆, 一中同长也一中同长也.史记史记: :齐威王与田忌赛马齐威王与田忌赛马, ,对对 策论的

7、最早例证。策论的最早例证。l 勾股定理的普遍形式勾股定理的普遍形式 l 陈子测日法陈子测日法 求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。 相似形方法盖天说盖天说勾股定理勾股定理宋版书影宋版书影日高术日高术 周髀算经周髀算经: : 数学著作数学著作, ,天文学著作天文学著作. . “ “盖天说盖天说”的代表的代表. . 约成书于西汉时期约成书于西汉时期( (公元前公元前2 2世纪世纪).). 数学内容数学内容: :学习数学的方法、学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等较复杂的分数计算等. .“勾广三勾广三,股修四股修

8、四,径径隅五隅五”商高定理商高定理-勾股定理勾股定理返回“以日下为勾以日下为勾,日日高为股高为股,勾股各自乘勾股各自乘,并而开方除之并而开方除之,得邪得邪至日至日.”勾股定理的证明勾股定理的证明弦弦 图图abcaa2b2heSOchhd=+=+表表高高表表距距日日高高表表高高表表高高影影差差影差影差d =后影长后影长BD 前影长前影长AC = b a表距表距AB = e日日前表前表后表后表前影前影后影后影南戴日下南戴日下日远日远日高日高A BO A a C B b DSOhhhc日高公式（重差术）日高公式（重差术）返回（1 1）汉简）汉简算数书算数书算数书算数书: 1983年年12月在湖北江陵

9、张家山出月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的竹简土一本西汉初年的竹简, 收有许多应用的数学问收有许多应用的数学问题题. 现已整理出版现已整理出版(包括包括竹简照片和释文竹简照片和释文).九章算术九章算术l 六艺：礼、乐、射、御、书、数六艺：礼、乐、射、御、书、数 周礼九章算术（东汉，公元100年）l 方田方田九章算术九章算术l 粟米粟米l 衰分衰分l 少广少广l 商功商功l 均输均输 l 盈不足盈不足 l 方程方程 l 勾股勾股世界数学古典名著世界数学古典名著 l 以筹算为基础的中国以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成古代数学体系正式形成 九章算术九章算术共收有共收有 246246个数个数学

10、问题，分为九章。分别是：方学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。均输、盈不足、方程、勾股。 九章算术九章算术是世界上最早系是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；的创造；“方程方程”章还在世界数章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。运算法则。（2 2）九章算术九章算术 1.1.方田方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界 上最早对分数进行系统叙述

11、的著作。上最早对分数进行系统叙述的著作。 2.2.粟米粟米：主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比 例问题。例问题。 3.3.衰衰（读作（读作“翠翠”）分分：主要内容为分配比例的算法。：主要内容为分配比例的算法。 4.4.少广少广：主要讲开平方和开立方的方法。：主要讲开平方和开立方的方法。 5.5.商功商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体 积的计算为主。积的计算为主。 6.6.均输均输：计算税收等更加复杂的比例问题。：计算税收等更加复杂的比例问题。 7.7.盈不足盈不足：双设法的问题。：双设法的问题。

12、 8.8.方程方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减 法，在世界数学史上是第一次出现。法，在世界数学史上是第一次出现。 9.9.勾股勾股：勾股定理的应用。：勾股定理的应用。九章算术九章算术的内容的内容九章算术九章算术的数学成就的数学成就（1）算术方面算术方面 （i）分数四则运算法则分数四则运算法则 （ ii）比例算法比例算法: “今有术今有术”：a : b = c : x x = b c / a （iii）盈不足盈不足: 是以盈亏类问题为原型是以盈亏类问题为原型, 通过两次假设来通过两次假设来 求繁琐、困难的算术问题的解的方法求繁琐、困难的算术

13、问题的解的方法. 如如:今有共买物今有共买物,人出八盈三人出八盈三,人出七不足四人出七不足四,问人数、物价问人数、物价 各几何？各几何？设人数为设人数为x, 物价为物价为y, 每人出钱每人出钱a1盈盈b1, 出钱出钱a2不足不足b2 . .则的则的“盈不足术盈不足术”相当于给出如下解法：相当于给出如下解法：1212211221121212,bba ba ba ba byxyaaaaxbb(ii)(ii)正负术正负术: : 正、负数的加减运算法则正、负数的加减运算法则 同名相除同名相除, ,异名相益异名相益, ,正无入负之正无入负之, ,负无入正之负无入正之. .其异名相除其异名相除, ,同名相

14、益同名相益, ,正无入正之正无入正之, ,负无入负之负无入负之. .（2 2）代数方面）代数方面 (i)(i)方程术方程术: : 线性方程组的解法线性方程组的解法 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實實三十九斗；三十九斗； 上禾上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，二秉，中禾三秉，下禾一秉，實實三十四斗；上禾一秉，中禾二三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，秉，下禾三秉，實實二十六斗。二十六斗。問問上、中、下禾上、中、下禾實實一秉各一秉各幾幾何？何？问题相当于解一个三元一次线性方程组：问题相当于解一个三元一次线性方程组：3239,2334,2326.xyzxyzxy

15、z注：注：关键算法关键算法: 遍乘直除遍乘直除, 即即Gauss消元法消元法.(iii)(iii)开方术开方术: : 开平方和开立方的算法开平方和开立方的算法 本质本质: : 减根变换减根变换 过程过程: 开方术相当于解方程开方术相当于解方程: x2=A. 设解设解 x 是一个是一个 k 位数位数 , 令令x=10k 1x1 , 方程变为方程变为: 102k 2x12 = A , 易得易得x1的整数部分的整数部分, 记记为为 , 令令 ,则方程变为则方程变为: ,其中其中1x111210 xxx212121a xb xA222221222111111010;10102;10kkkabxAAx再

16、议得再议得x2的整数部分的整数部分,记为记为 ,令令 , 则方程变则方程变为为: , 其中其中上述过程一直下去上述过程一直下去.2x122310 xxx223232a xb xA2121212121121210;(2) 10;()aaba xbAAa xbx二次方程的数值求解算法称为二次方程的数值求解算法称为“开带从平方法开带从平方法”. .“开方术开方术” ” 指出了开方有指出了开方有开不尽开不尽的情形：的情形： “ “若开之不尽者，为不可开若开之不尽者，为不可开”。 不尽根数专门的名字不尽根数专门的名字面面（3 3）几何方面）几何方面 几何问题具有很明显的实际背景几何问题具有很明显的实际背

17、景. .所有直线形的面积、所有直线形的面积、体积公式都是准确的体积公式都是准确的. .如如: : 正方形、矩形、三角形、梯正方形、矩形、三角形、梯形、长方体、正方体、底面为长方形而有一棱与底面形、长方体、正方体、底面为长方形而有一棱与底面垂直的锥体、上下底面都是长方形的棱台等垂直的锥体、上下底面都是长方形的棱台等. . 刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：(2)(2) 6hVbd adb cabcd羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：1()6Vabc hl圆面积公式：圆面积公式：2AR这里圆周率

18、这里圆周率 取取3.abhl学术界思辨之风再起学术界思辨之风再起在数学上也兴起了论证的趋势在数学上也兴起了论证的趋势最杰出代表最杰出代表: 刘徽、祖冲之父子刘徽、祖冲之父子三国演义(中国，1998）魏晋南北朝时期中国传统数学稳步发展最主要成就：最主要成就： 割圆术割圆术 面积、体积理论面积、体积理论生卒不详生卒不详公元公元263年撰年撰九章算术注九章算术注 刘徽（约公元刘徽（约公元225年年295年），汉族，山东邹平县人，年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作

19、是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作九章九章算术注算术注和和海岛算经海岛算经，是中国最宝贵的数学遗产。刘，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观他是中徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低人刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌下，但人格高尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

20、 刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作年撰写的著作九章算术注九章算术注以及后来的以及后来的海岛算海岛算经经，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。学史上的不朽地位。九章算术注九章算术注公元公元263年撰年撰九章算术九章算术注注 阐述了中国传统数学的理论体系与阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理数学原理 中国传统数学最具代表性的人物中国传统数学最具代表性的人物刘徽刘徽(魏晋魏晋, 公元公元3世纪世纪)（中国，（中国，2002）计算圆内接正计算圆内接正3

21、072边形边形求出圆周率为求出圆周率为3927/1250 即即3.1416 公元公元263年撰年撰九章算术注九章算术注。割圆术：割圆术：“割之弥细，所失弥割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣则与圆周合体而无所失矣” 九章算术注九章算术注徽率徽率157/50即即3.14 刘徽的割圆术刘徽的割圆术九章算术注九章算术注割圆术割圆术(6边形边形)九章算术注九章算术注割圆术割圆术(12边形边形)九章算术注九章算术注割圆术割圆术(24边形边形)九章算术注九章算术注割圆术割圆术(48边形边形)九章算术注九章算术注割圆术割圆术(96边形边形)九章算术注

22、九章算术注刘徽对的估算值（密克罗尼西亚，1999）九章算术注九章算术注（一）刘徽的割圆术（一）刘徽的割圆术-极限方法极限方法 割圆术的割圆术的要旨要旨是用圆内接正多边是用圆内接正多边形逼近圆。形逼近圆。 指出指出: :割之弥细割之弥细, ,所失弥少所失弥少, ,割之割之又割又割, ,以至于不可割以至于不可割, ,则与圆合体而则与圆合体而无所失矣无所失矣. .E C FA G BOrrr设圆面积为设圆面积为 Sn ,半径为半径为r ,圆内接正圆内接正 n 边形的边长为边形的边长为 ln , 周长为周长为 Ln ,面积为面积为Sn , 将边数加倍后将边数加倍后, 得到圆内接正得到圆内接正 2n 边

23、形边形, 其边长其边长, 周长周长, 面积分别记为面积分别记为 l2n , L2n ,S2n .刘徽注意到当刘徽注意到当 ln 已知已知,由勾股由勾股定理可以求出定理可以求出 l2n .即：即：22222211222()() nnnlACAGCGlrrl化为分数即为化为分数即为: 157/50 , 这就是著名的这就是著名的“徽率徽率”.1221()22nnnl rSnAB ODnLr在内接在内接 n 边形的每边上作一高为边形的每边上作一高为 CG 的矩形的矩形, 则则2022()nnnnSSSSS刘徽取半径为一尺的圆刘徽取半径为一尺的圆, 计算到计算到192边形边形, 得出精确到两位小得出精确

24、到两位小数的圆周率的近似值数的圆周率的近似值3.14（二）刘徽的面积理论（二）刘徽的面积理论极限方法极限方法出入相补原理：出入相补原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后成若干部分后, ,面积或体积的总和保持不变。面积或体积的总和保持不变。勾股定理的证明勾股定理的证明（三）刘徽的体积理论（三）刘徽的体积理论-阳马术阳马术不易之率：不易之率：阳马体积阳马体积Y与鳖与鳖臑臑体积体积 B 之比为之比为2:1对每个小阳马和每个小鳖对每个小阳马和每个小鳖臑臑作同样的剖分作同样的剖分,则则n次剖分后有次剖分后有:阳马中除去两个小阳马部分的体积阳马中除去两个

25、小阳马部分的体积(记为记为 )为鳖为鳖臑臑中除去两中除去两个小鳖个小鳖臑臑部分的体积部分的体积(记为记为 )的的2倍倍, 他们合在一起的体积应他们合在一起的体积应占原占原壍壍堵体积的堵体积的3/4 (刘徽称为刘徽称为“已知已知”部分部分), 因而剩余部分因而剩余部分(即两个小阳马和两个小鳖即两个小阳马和两个小鳖臑臑)的体积应占原的体积应占原壍壍堵体积的堵体积的1/4 (称称为为“未知未知”部分部分). 若分别用若分别用 记每个小阳马和小鳖记每个小阳马和小鳖臑臑的的体积体积,则则1Y1B11,YB11112,2YYYBBB111122,22nnininininiiYYYBBB已知部分属阳马的体积

26、为已知部分属阳马的体积为 , 属鳖属鳖臑臑的体积为的体积为 , 两者之比恒为两者之比恒为2:1 .112niiiY112niiiB未知部分的体积未知部分的体积, 若记为若记为 , 并不妨设原并不妨设原壍壍堵体积为堵体积为1, 则则nu1111112 ()22()20484nnnnnnnnnnuYBYB刘徽认为无限剖分下去刘徽认为无限剖分下去, 则得则得不易之率：不易之率： Y : B =2:1（四）球体积公式证明的尝试（四）球体积公式证明的尝试外切立方体积外切立方体积牟合方盖体积牟合方盖体积= ？4内切球体积内切球体积牟合方盖体积牟合方盖体积=DDDD刘徽结论刘徽结论刘徽刘徽: 敢不阙疑敢不阙

27、疑, 以俟能言者！以俟能言者！问题关键：如何求外三棋体积和问题关键：如何求外三棋体积和 与小立方体积关系与小立方体积关系 最初是附于他所注的最初是附于他所注的九章算术九章算术(263)之后之后, 唐唐初开始单行初开始单行, 体例亦是以应体例亦是以应用问题集的形式用问题集的形式 . 全书共全书共9题题, 全是利用测全是利用测量来计算高深广远的问题量来计算高深广远的问题, 首题测算海岛的高、远首题测算海岛的高、远, 故故得名得名.海岛算经海岛算经是中国最是中国最早的一部测量数学著作早的一部测量数学著作, 亦亦为地图学提供了数学基础为地图学提供了数学基础. （五）（五） 刘徽著刘徽著海岛算经海岛算经

28、祖冲之祖冲之与与祖祖暅暅主要数学成就：主要数学成就：(1) (1) 圆周率圆周率 (2) (2) 祖氏原理与球体积祖氏原理与球体积 祖冲之（祖冲之（429年年500年），字文远，范阳年），字文远，范阳遒（今河北省涞水县）人，刘宋时代数学遒（今河北省涞水县）人，刘宋时代数学家、天文学家。家、天文学家。 祖冲之的主要成就在数学、天文历法和机祖冲之的主要成就在数学、天文历法和机械制造三个领域。此外历史记载祖冲之精械制造三个领域。此外历史记载祖冲之精通音律，擅长下棋，还写有小说通音律，擅长下棋，还写有小说述异述异记记。祖冲之著述很多，但大多都已失传。祖冲之著述很多，但大多都已失传。祖冲之的儿子祖暅之也

29、是数学家。祖冲之的儿子祖暅之也是数学家。缀术缀术祖冲之祖冲之(南朝宋、齐南朝宋、齐, 429-500年年)429-500l 圆周率计算圆周率计算l 球体体积公式球体体积公式缀术缀术缀术缀术 l 古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。l 宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。缀术缀术l 密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。l 公元公元462年年, 祖冲之算出祖冲之算出3.14159263.1415

30、927密密率率355/113，约率，约率22/7隋书隋书律历志律历志l 1913年起称年起称355/113为祖率为祖率l 所著之书所著之书, ,名为名为缀术缀术, ,学官莫能究其深奥，是故废学官莫能究其深奥，是故废而不理。而不理。隋书隋书律历志律历志隋书隋书律历志律历志缀术缀术 缀术缀术u 圆内接正圆内接正 12288边形和边形和24576边形边形 u 3.141592613.14159271（一）祖冲之（一）祖冲之-缀术缀术与圆周率与圆周率割圆术割圆术: 正六边形出发正六边形出发, 连续算到正连续算到正24576边形边形, 恰好可以得恰好可以得到祖冲之的结果到祖冲之的结果.3.1415926

31、 (朒朒(nv)数数) 3.1415927 (盈数盈数)圆周率分数形式的近似值：圆周率分数形式的近似值：约率：约率： 密率：密率：227355113现代数论中现代数论中, ,如果将圆周率表示成连分数如果将圆周率表示成连分数, ,其渐近分数为其渐近分数为: :3 22 333 355 103993 104348,.17106 1133310233215（二）祖（二）祖暅暅-球体积公式与祖球体积公式与祖暅暅原理原理祖祖暅暅原理原理：幂势既同幂势既同, ,则积不容异则积不容异 意即意即: :位于两平行平面之间的两个立体位于两平行平面之间的两个立体, ,被任一平行于这被任一平行于这两平面的平面所截两平

32、面的平面所截, ,如果两个截面的面积恒相等如果两个截面的面积恒相等, ,则这两个立则这两个立体的体积相等体的体积相等. . 祖暅祖暅 祖暅，字景烁，范阳遒县祖暅，字景烁，范阳遒县(今河北涞水今河北涞水)人。中国南北朝时人。中国南北朝时期数学家、天文学家，期数学家、天文学家，祖冲之祖冲之之子。同父亲祖冲之一起圆之子。同父亲祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式体积公式，并据，并据此提出了著名的此提出了著名的祖暅原理祖暅原理。 祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽刘徽的有关工作，的有关工作，提出提出幂势既同则

33、积不容异幂势既同则积不容异，即等高的两立体，若其任意，即等高的两立体，若其任意高处的水平高处的水平截面积截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理名的祖暅公理(或刘祖原理或刘祖原理)。祖暅应用这个原理，解决了。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家才由意大利数学家卡瓦列利卡瓦列利(BonaventuraCavalier)发现，发现，比祖暅晚一千一百多年比祖暅晚一千一百多年。A BD CE FH GI P JL KM NOQSR TV UW XZ Yh

34、aaaaaaahahhh因为因为 IJ2 MN2 = AB2 IP2 = AP2 (AP2 AI2 ) = AI2 = h2 SSIPNMSSWXYZQNOKPJQN=+故故缀术缀术祖氏原理 ：幂势既同则积不容异 卡瓦列里原理卡瓦列里原理(1635)不可分量原理不可分量原理 卡瓦列里卡瓦列里(意意, 1598-1647年年)周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经夏候阳算经、张邱建算经、缀术、五曹算经五经算经、缉古算经。算经十书算经十书 汉唐千余年间中国汉唐千余年间中国数学发展的水平数学发展的水平算经十书公元6563. 中算发展的第三次高峰中算发展的第三次高峰数学全盛时期数学全盛时期 促进了数学

35、著作促进了数学著作的保存与流传的保存与流传 社会背景社会背景贾宪：贾宪：黄帝九章算术细草黄帝九章算术细草(1050)l 增乘开方法增乘开方法 贾宪三角贾宪三角l 开方作法本源图开方作法本源图 l帕斯卡帕斯卡论算术三角论算术三角形，以及另外一些类形，以及另外一些类似的小问题似的小问题 (1654)帕斯卡帕斯卡(法法, 1623-1662年年)古法七乘方图古法七乘方图贾宪贾宪 北宋数学家北宋数学家贾宪，贾宪，1111世纪前半叶中国北宋数学家。贾宪是中国十一世纪世纪前半叶中国北宋数学家。贾宪是中国十一世纪上半叶上半叶( (北宋北宋) )的杰出数学家的杰出数学家. .曾撰曾撰黄帝九章算法细草黄帝九章算

36、法细草( (九卷九卷) )和和算法古集算法古集( (二卷二卷) )，都已失传。据，都已失传。据宋史宋史记记载，贾宪师从数学家载，贾宪师从数学家楚衍楚衍学天文、历算，著有学天文、历算，著有黄帝九章黄帝九章算法细草算法细草、释锁算书释锁算书等书。贾宪著作已佚，但他对等书。贾宪著作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，得以保存下来。数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，得以保存下来。贾宪的主要贡献是创造了贾宪的主要贡献是创造了 贾宪三角贾宪三角 和和 增乘开方法增乘开方法 。增乘。增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的综合除法，开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的综合除法，

37、其原理和程序都与它相仿。增乘开方法比传统的方法整齐其原理和程序都与它相仿。增乘开方法比传统的方法整齐简捷，又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优简捷，又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性越性. .增乘开方法的计算程序大致和欧洲数学家霍纳增乘开方法的计算程序大致和欧洲数学家霍纳( (公元公元18191819年年) )的方法相同，但比他早的方法相同，但比他早770770年。年。在中国数学史上贾宪最早发现贾宪三角形。杨辉在所著在中国数学史上贾宪最早发现贾宪三角形。杨辉在所著详详解九章算法解九章算法开方作法本元开方作法本元一章中作贾宪开方作法图，一章中作贾宪开方作法图，并说明并说明

38、出释锁算书，贾宪用此术出释锁算书，贾宪用此术 。贾宪开方作法图就是。贾宪开方作法图就是贾宪三角形。杨辉还详细解说贾宪还发明的释锁开平方法，贾宪三角形。杨辉还详细解说贾宪还发明的释锁开平方法，释锁开立方法，增乘开平方法，增乘开立方法。释锁开立方法，增乘开平方法，增乘开立方法。算术三角形(利比里亚，1999)贾宪三角贾宪三角隙积术隙积术沈括沈括(北宋北宋, 1030-1094年年)沈括沈括 沈括沈括(1031-1095)，字存中，号梦溪丈人，字存中，号梦溪丈人，汉族汉族，浙江杭，浙江杭州钱塘县人，州钱塘县人，北宋北宋政治家、科学家。政治家、科学家。 沈括出身于仕宦之家，幼年随父宦游各地。沈括出身于

39、仕宦之家，幼年随父宦游各地。嘉佑嘉佑八年八年(1063年年)，进士及第，授扬州司理参军。神宗时参与，进士及第，授扬州司理参军。神宗时参与熙宁熙宁变法变法，受王安石器重，历任太子中允、检正中书刑房、提，受王安石器重，历任太子中允、检正中书刑房、提举司天监、史馆检讨、三司使等职。元丰三年举司天监、史馆检讨、三司使等职。元丰三年(1080年年)，沈括出知沈括出知延州延州，兼任，兼任鄜延路鄜延路经略安抚使，驻守边境，抵御经略安抚使，驻守边境，抵御西夏西夏，后因永乐城之战牵连被贬。晚年移居润州，隐居，后因永乐城之战牵连被贬。晚年移居润州，隐居梦梦溪园溪园。绍圣绍圣二年二年(1095年年)，因病辞世，享年

40、六十五岁。，因病辞世，享年六十五岁。 沈括一生致志于科学研究，在众多学科领域都有很深的造沈括一生致志于科学研究，在众多学科领域都有很深的造诣和卓越的成就，被誉为诣和卓越的成就，被誉为中国整部科学史中最卓越的人中国整部科学史中最卓越的人物物，其名作，其名作梦溪笔谈梦溪笔谈，内容丰富，集前代科学成就，内容丰富，集前代科学成就之大成，在世界文化史上有着重要的地位。之大成，在世界文化史上有着重要的地位。梦溪笔谈梦溪笔谈(1093) n 李约瑟：中国科学史的里程碑李约瑟：中国科学史的里程碑l 会圆术会圆术隙积术隙积术l 隙积术隙积术天元术天元术李冶李冶(金、元金、元, 1192-1279年年)李冶李冶

41、李冶李冶(11921279)，原名李治，字仁卿，自号敬斋，真定，原名李治，字仁卿，自号敬斋，真定栾城栾城(今河北省石家庄市栾城区今河北省石家庄市栾城区)人。金元时期的数学家、人。金元时期的数学家、诗人。金正大末进士，辟知钧州。金亡北渡后，流落忻崞诗人。金正大末进士，辟知钧州。金亡北渡后，流落忻崞间，常与间，常与元好问元好问唱和，世称唱和，世称元李元李。晚家。晚家封龙山封龙山(今河北今河北省元氏县省元氏县)下，隐居讲学。元世祖至元初，以翰林学士召，下，隐居讲学。元世祖至元初，以翰林学士召，就职期月，以老病辞归。能诗词，有就职期月，以老病辞归。能诗词，有敬斋集敬斋集，今有考，今有考订之作订之作敬斋

42、古今黈敬斋古今黈40卷传世。另著有卷传世。另著有测圆海镜测圆海镜12卷卷(1248年年)、益古演段益古演段3卷卷(1259年年)、泛说泛说40卷、卷、壁书丛削壁书丛削12卷。卷。 李冶在数学上的主要贡献是李冶在数学上的主要贡献是天元术天元术(设未知数并列方程的设未知数并列方程的方法方法)，用以研究直角三角形，用以研究直角三角形内切圆内切圆和和旁切圆旁切圆的性质。与的性质。与杨辉、杨辉、秦九韶秦九韶、朱世杰并称为、朱世杰并称为宋元数学四大家宋元数学四大家。l 天元术天元术 （一元高次方程） 列方程法列方程法 “立天元一为某某立天元一为某某”天元术天元术“设设x为某某为某某” 李冶的天元李冶的天元

43、术术天元术天元术大衍术大衍术 秦九韶秦九韶(南宋南宋, 约约1202-1261年年)秦九韶秦九韶 秦九韶秦九韶(1208年年-1268年年)，字道古，汉族，生于普，字道古，汉族，生于普州安岳州安岳(今四川省安岳县今四川省安岳县)。南宋官员、数学家，。南宋官员、数学家，与李冶、与李冶、杨辉杨辉、朱世杰朱世杰并称并称宋元数学四大家宋元数学四大家。 精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州梅州任所，任所，1247年完成著作年完成著作数书九章数书九章，其中的，其中的大衍求一大衍求一术

44、术(一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理的中国剩余定理)、三斜求积术和、三斜求积术和秦九韶算法秦九韶算法(高高次方程次方程正根的数值求法正根的数值求法)是有世界意义的重要贡献，是有世界意义的重要贡献，表述的一种求解一元高次多项式方程的数值解的表述的一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法算法-正负开方术，即开高次方和解高次方程，领正负开方术，即开高次方和解高次方程，领先英国霍纳先英国霍纳(1819年年)五百五十一年。五百五十一年。l 大衍类大衍类大衍术大衍术l 天时类天时类l 田域类田域类l 测望类测望类l 赋役类赋役类l 钱谷类钱谷类

45、 l 营建类营建类l 军旅类军旅类 l 市易类市易类 (1)大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术；(2)天时类，历法推算，雨雪量的计算；(3)田域类，土地面积；(4)测望类，勾股、重差等测量问题；(5)赋役类，田赋、户税；(6)钱谷类，征购米粮及仓储容积；(7)营建类，建筑工程；(8)军旅类，兵营布置和军需供应；(9)市易类，商品交易和利息计算数书九章l 大衍求一术大衍求一术(中国剩余定理 )大衍术大衍术秦九韶秦九韶 ：数书九章数书九章(1247)l 孙子算经孙子算经(约公元400年) l 物不知数问题物不知数问题(孙子问题, 孙子剩余理) 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之

46、剩二，问物几何？ l 意大利斐波那契意大利斐波那契1202年年l 瑞士欧拉瑞士欧拉1743年年l 德国高斯德国高斯1801年年秦九韶秦九韶 ：数书九章数书九章(1247)正负开方术正负开方术l 正负开方术正负开方术(秦九韶法)意大利鲁菲尼1804年英国霍纳1819年鲁菲尼鲁菲尼(意意, 1765-1822年）年）垛积术垛积术杨辉杨辉(南宋南宋, 公元公元13世纪世纪 )杨辉杨辉 杨辉，字杨辉，字谦光谦光，汉族，钱塘，汉族，钱塘(今杭州今杭州)人，南宋杰人，南宋杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详。由现出的数学家和数学教育家，生平履历不详。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，存文献可

47、推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及为政清廉，足迹遍及苏杭苏杭一带，他署名的数学书一带，他署名的数学书共五种二十一卷。共五种二十一卷。 他在总结民间乘除捷算法、他在总结民间乘除捷算法、垛积术垛积术、纵横图以、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的界上第一个排出丰富的纵横图纵横图和讨论其构成规律和讨论其构成规律的数学家。著有的数学家。著有详解九章算法详解九章算法、日用算日用算法法、乘除通变本末乘除通变本末、田亩比类乘除捷田亩比类乘除捷法法、续古摘奇算法续古摘奇算法。与。与秦九韶秦九韶、李冶李冶、朱朱世杰世杰

48、并称并称宋元数学四大家宋元数学四大家。l 垛积术垛积术垛积术垛积术l 杨辉三角杨辉三角 算学启蒙算学启蒙(1299)四元术四元术 四元玉鉴四元玉鉴 (1303)l 日用数学和商用数学通俗著作日用数学和商用数学通俗著作 l 四元术四元术(“天元天元”、“地元地元”、“人元人元”和和“物物元元” ) l 招差术招差术(高次内插公式高次内插公式 ) 朱世杰朱世杰(1249年年-1314年年)，字汉卿，号松庭，字汉卿，号松庭，汉族，燕山汉族，燕山(今北京今北京)人氏，元代数学家、教人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。有育家，毕生从事数学教育。有中世纪世界中世纪世界最伟大的数学家最伟大的数学家之

49、誉。朱世杰在当时天元之誉。朱世杰在当时天元术的基础上发展出术的基础上发展出四元术四元术，也就是列出，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出法。此外他还创造出垛积法垛积法，即高阶等，即高阶等差数列的求和方法，与差数列的求和方法，与招差术招差术，即高次，即高次内插法内插法。主要著作是。主要著作是算学启蒙算学启蒙与与四四元玉鉴元玉鉴。 四元术四元术四元术四元术四元术四元术四元术四元术罗士琳：汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿罗士琳：汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，（冶）可称鼎足而三

50、。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦李之上。之，尤超越乎秦李之上。莫若莫若 ：四元玉四元玉四元术四元术萨顿：萨顿：l 大天文学家、数学家、大天文学家、数学家、 水利专家和仪器制造家水利专家和仪器制造家 l 工部郎中、太史令、工部郎中、太史令、 都水监事和昭文馆大学士都水监事和昭文馆大学士内插法内插法郭守敬郭守敬(1231-1316)(1231-1316)，字若思，元朝著名的天文学家、数学家、水利专，字若思，元朝著名的天文学家、数学家、水利专家。汉族，顺德邢台家。汉族，顺德邢台( (邢台市邢台市邢台县邢台县) )人。生于元太宗三年，卒于元仁宗人。生于元太宗三年，卒于元仁宗延佑三年。郭守敬曾担任都水监，负责修治元大都至通州的运河。延佑三年。郭守敬曾担任都水监，负责修治元大都至通州的运河。12761276年郭守敬修订新历法，经年郭守敬修