电磁场理论第一章

1、 电 磁 场 理 论 Electromagnetic Theory 武汉大学 柯亨玉第一讲序序 论论 一、电磁场理论的主要研究领域一、电磁场理论的主要研究领域 二、磁场理论发展简史二、磁场理论发展简史 三、电磁场理论的主要研究对象三、电磁场理论的主要研究对象四、学习的目的、方法及其要求四、学习的目的、方法及其要求 作为理论物理学的一个作为理论物理学的一个重要研究分支，主要致重要研究分支，主要致力于统一场理论和微观力于统一场理论和微观量子电动力学的研究量子电动力学的研究。电磁电磁场的场的主要主要研究研究领域领域 作为无线电技术的理作为无线电技术的理论基础，集中于三大论基础，集中于三大类应用问题的

2、研究。类应用问题的研究。一、电磁场理论的主要研究领域一、电磁场理论的主要研究领域三大类应用问题：三大类应用问题： 电磁场（或电磁波）作为能量的一种形式，是电磁场（或电磁波）作为能量的一种形式，是 当今世界最重要的能源，其研究领域涉及电磁当今世界最重要的能源，其研究领域涉及电磁 能量的产生、储存、变换、传输和综合利用。能量的产生、储存、变换、传输和综合利用。 电磁波作为信息传输的载体，成为当今人类社电磁波作为信息传输的载体，成为当今人类社 会发布和获取信息的主要手段，主要研究领域会发布和获取信息的主要手段，主要研究领域 为信息的产生、获取、交换、传输、储存、处为信息的产生、获取、交换、传输、储存

3、、处 理、再现和综合利用。理、再现和综合利用。 电磁波作为探测未知世界的一种重要手段，主电磁波作为探测未知世界的一种重要手段，主 要研究领域为电磁波与目标的相互作用特性、要研究领域为电磁波与目标的相互作用特性、 目标特征的获取与重建、探测新技术等。目标特征的获取与重建、探测新技术等。 二、磁场理论发展简史二、磁场理论发展简史 1电磁场理论的早期研究电磁场理论的早期研究 电、磁现象是大自然最重要的往来现象，也最早电、磁现象是大自然最重要的往来现象，也最早 被科学家们关心和研究的物理现象，其中贡献最被科学家们关心和研究的物理现象，其中贡献最 大的有来顿、富兰克林、伏打等科学家。大的有来顿、富兰克林

4、、伏打等科学家。 19世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现 象，没有发现电与磁的联系。但是由于这些研究象，没有发现电与磁的联系。但是由于这些研究 （特别是伏打（特别是伏打1799年发明了电池），为电磁学理年发明了电池），为电磁学理论的建立奠定了基础。论的建立奠定了基础。2电磁场理论的建立电磁场理论的建立18世纪末期，德国哲学家谢林认为，宇宙是世纪末期，德国哲学家谢林认为，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他认为电就是宇有活力的，而不是僵死的。他认为电就是宇宙的活力，是宇宙的灵魂；电、磁、光、热宙的活力，是宇宙的灵魂；电、磁、光、热是相互联系的。是相互联系

5、的。奥斯特是谢林的信徒，他从奥斯特是谢林的信徒，他从1807年开始研究年开始研究电磁之间的关系。电磁之间的关系。1820年，他发现电流以力年，他发现电流以力作用于磁针。作用于磁针。安培发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通安培发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直，并定量建立过电流的导线的垂直线方向相互垂直，并定量建立了若干数学公式。了若干数学公式。法拉第在谢林的影响下，相信电、磁、光、热是相法拉第在谢林的影响下，相信电、磁、光、热是相互联系的。奥斯特互联系的。奥斯特1820年发现电流以力作用于磁针年发现电流以力作用于磁针后，法拉第敏锐地意识到，电可以对磁产

6、生作用，后，法拉第敏锐地意识到，电可以对磁产生作用，磁也一定能够对电产生影响。磁也一定能够对电产生影响。1821年他开始探索磁年他开始探索磁生电的实验。生电的实验。1831年他发现，当磁捧插入导体线圈年他发现，当磁捧插入导体线圈时；导线圈中就产生电流。这表明，电与磁之间存时；导线圈中就产生电流。这表明，电与磁之间存在着密切的联系。在着密切的联系。 麦克斯韦深入研究并探讨了电与磁之间发麦克斯韦深入研究并探讨了电与磁之间发生作用的问题，发展了场的概念。在法拉生作用的问题，发展了场的概念。在法拉第实验的基础上，总结了宏观电磁现象的第实验的基础上，总结了宏观电磁现象的规律，引进位移电流的概念。这个概念

7、的规律，引进位移电流的概念。这个概念的核心思想是：变化着的电场能产生磁场；核心思想是：变化着的电场能产生磁场；与变化着的磁场产生电场相对应。在此基与变化着的磁场产生电场相对应。在此基础上提出了一套偏微分方程来表达电磁现础上提出了一套偏微分方程来表达电磁现象的基本规律，称为麦克斯韦方程组，是象的基本规律，称为麦克斯韦方程组，是 经典电磁学的基本方程。经典电磁学的基本方程。3电磁场理论的应用和发展电磁场理论的应用和发展 1887年，德国科学家赫兹用火花隙激励一年，德国科学家赫兹用火花隙激励一个环状天线，用另一个带隙的环状天线接个环状天线，用另一个带隙的环状天线接收，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预

8、收，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预言，这一重要的实验导致了后来无线电报言，这一重要的实验导致了后来无线电报的发明。从此开始了电磁场理论应用与发的发明。从此开始了电磁场理论应用与发展时代，并且发展成为当代最引人注目的展时代，并且发展成为当代最引人注目的学科之一。学科之一。 无线电报无线电报 1895年，意大利马可尼成功地进行了年，意大利马可尼成功地进行了 2.5公里距离的无线电报传送实验。公里距离的无线电报传送实验。1896年，波年，波 波夫进行了约波夫进行了约250米距离的类似试验米距离的类似试验, 1899年年, 无无 线电报跨越英吉利海峡的试验成功；线电报跨越英吉利海峡的试验成功；190

9、1年，跨年，跨 越大西洋的越大西洋的3200公里距离的试验成功。马可尼以公里距离的试验成功。马可尼以 其在无线电报等领域的成就，获得了其在无线电报等领域的成就，获得了1909年的诺年的诺 贝尔奖金物理学奖。无线电报的发明，开始了利贝尔奖金物理学奖。无线电报的发明，开始了利 用电磁波时期。用电磁波时期。 有线电话有线电话 1876年年,美国美国A.G.贝尔在美国建国贝尔在美国建国 100周年博览会上展示了他所发明周年博览会上展示了他所发明 的有线电话。的有线电话。 此后此后,有线电话便迅速普及开来。有线电话便迅速普及开来。 广播广播 1906年，美国费森登用年，美国费森登用50千赫频率发电机作发

10、千赫频率发电机作发 射机，用微音器接入天线实现调制，使大西洋航船上射机，用微音器接入天线实现调制，使大西洋航船上 的报务员听到了他从波士顿播出的音乐。的报务员听到了他从波士顿播出的音乐。1919年，第年，第 一个定时播发一个定时播发 语言和音乐的无线电广播电台在英国建语言和音乐的无线电广播电台在英国建 成。次年成。次年 ，在美国的匹兹堡城又建成一座无线电广播，在美国的匹兹堡城又建成一座无线电广播 电台。电台。 电视电视 1884年，德国尼普科夫提出机械扫描电视的设年，德国尼普科夫提出机械扫描电视的设 想，想，1927年，英国贝尔德成功地用电话线路把图像从年，英国贝尔德成功地用电话线路把图像从

11、伦敦传至大西伦敦传至大西 洋中的船上。兹沃霄金在洋中的船上。兹沃霄金在1923和和1924 年相继发明了摄像管和显像管。年相继发明了摄像管和显像管。1931年，他组装成世年，他组装成世 界上界上 第一个全电子电视系统第一个全电子电视系统。雷达（雷达（Radio Detection and Ranging）二次世界大战前夕，飞机成为主要进攻武器。二次世界大战前夕，飞机成为主要进攻武器。英、美、德、法等国竞相研制一类能够早期警英、美、德、法等国竞相研制一类能够早期警戒飞机的装置。戒飞机的装置。1936年，英国的瓦特设计的警年，英国的瓦特设计的警戒雷达最先投入了运行。有效地警戒了来自德戒雷达最先投入

12、了运行。有效地警戒了来自德国的轰炸机。国的轰炸机。1938年，美国研制成第一部能指年，美国研制成第一部能指挥火炮射击的火炮控制雷达。挥火炮射击的火炮控制雷达。1940年，多腔磁年，多腔磁控管的发明，微波雷达的研制成为可能。控管的发明，微波雷达的研制成为可能。1944年，能够自动跟踪飞机的雷达研制成功。年，能够自动跟踪飞机的雷达研制成功。1945年，能消除背景干扰显示运动目标的显示技术年，能消除背景干扰显示运动目标的显示技术的发明的发明,使雷达更加完善。在整个第二次世界大使雷达更加完善。在整个第二次世界大战期间战期间,雷达成了电磁场理论最活跃的部分。雷达成了电磁场理论最活跃的部分。卫星通信技术卫

13、星通信技术 1958年年, 美国发射低轨的美国发射低轨的“斯科尔斯科尔”卫星成功卫星成功,这是第一颗用于通信的试验卫星。这是第一颗用于通信的试验卫星。1964年年,借助定点同步通信卫星首次实现了美、借助定点同步通信卫星首次实现了美、 欧、非欧、非三大洲的通信和电视转播。三大洲的通信和电视转播。1965年年,第一颗商用定第一颗商用定点同步卫星投入运行。点同步卫星投入运行。1969年年, 大西洋、太平洋和大西洋、太平洋和印度洋上空均已有定点同步通信卫星印度洋上空均已有定点同步通信卫星,卫星地球站卫星地球站已遍布世界各国，这些卫星地球站又和本国或本地已遍布世界各国，这些卫星地球站又和本国或本地区的通

14、信网接通。卫星通信经历区的通信网接通。卫星通信经历10年的发展，终趋年的发展，终趋于成熟于成熟。 卫星定位技术卫星定位技术 1957年卫星发射成功后，人们试 图将雷达引入卫星，实现以卫星为基地对地球表 面及近地空间目标的定位和导航。1958年底，美 国开始研究实施这一计划，于1964年研究成功子 午仪卫星导航系统。1973年美国提出了由24颗卫星组成的实用系统新方案，即GPS计划。它是英文 Navigation Satellite Timing and Ranging /Global Positioning System 的字头缩写NAVSTAR/GPS的简称，其含义是利用导航卫星 进行测时和

15、测距。1990年最终的GPS方案是由21 颗工作卫星和3颗在轨备用卫星组成。三、电磁场理论的主要研究对象三、电磁场理论的主要研究对象 电磁场的基本属性及其运动规律电磁场的基本属性及其运动规律 波与物质的相互作用及信息的提取波与物质的相互作用及信息的提取 电磁场系统的计算方法，仿真技术电磁场系统的计算方法，仿真技术 工程技术应用中的电磁场理论问题工程技术应用中的电磁场理论问题四、学习的目的、方法及其要求四、学习的目的、方法及其要求掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律掌握宏观电磁场问题的基本求解方法了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理训练分析问题、归纳问题的科学方法培养用数学解决实际问题的能力独立完

16、成作业，做好课堂笔记精读一至二本教学参考书五、主要参考书五、主要参考书【1】 J. D. Kraus，Electromagnetism with Application（Fifth Edition）【2】 毕德显，电磁场理论，电子工业出版社【3】 郭硕鸿，电动力学（第二版）【4】 王蔷等，电磁场理论基础，清华大学出版社【5】 谢处方，电磁场与电磁波，高等教育出版社第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础主要内容主要内容： 矢量的基本概念、代数运算矢量分析基础 场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度） 矢量场的Helmholtz定理1.1 正交曲线坐标系正交曲线坐标系1. 正交曲线坐标正交

17、曲线坐标 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。该三条正交曲线组成确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系，三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标变量 1.1 正交曲线坐标系正交曲线坐标系2. 正交曲线坐标变换正交曲线坐标变换 三维空间中同一位置三维空间中同一位置 可以用不同的正交曲可以用不同的正交曲 线坐标系描述。因此线坐标系描述。因此 不同坐标系之间存在不同坐标系之间存在 相互变换的关系，且相互变换的关系，且 这种变换关系只能是这种变换关系只能是 一一对应的一一对应的xyxqqxyxqqxyxqq,332211321321321,qqqzzqqqyyqq

18、qxx在任何正交曲线坐标系中， 存在一组与坐标轴相对应的单位矢量。如直角坐标系中的 ，圆柱坐标系中的 等 。正交曲线坐标系某个坐标方向上的单位矢量，它是该坐标变量为常数所对应曲面的单位法矢量。1.1 正交曲线坐标系正交曲线坐标系zyxeee,zeee , ,Cx,y,xqqii222zx, y, xqyx, y, xqxx, y, xqzx, y, xqe yx, y, xqe xx, y, xqe e iiiiziyixqi1.1 正交曲线坐标系正交曲线坐标系3 坐标系中的弧长坐标系中的弧长 在直角坐标系中，空间任意点的坐标变量的微小变化，变化前后的弧长弧长是： 在正交曲线坐标系中，坐标变量

19、 的相邻两点的微小变化弧长 222dzdydxds222dzdydxds|iiidqqqiiidqqq其中称为Lame系数iiiiiidqhdqqzqyqxdzdydxds222222222iiiiqzqyqxh1.3 标量场的梯度标量场的梯度1 场的概念场的概念 在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁

20、场等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；如等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。上看，场是定义在空间区域上的函数。 第二讲 如果场与时间无关，称为静态场，反之如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。静态标量场和矢量场可分别为时变场。静态标量场和矢量场可分别表示为：表示为： ， 时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： ， （1)1)场的基本性质及其分析方法场的基

21、本性质及其分析方法 （2)2)场与源的关系及其相互作用场与源的关系及其相互作用 （3)3)场的相互作用场的相互作用z , y, xuz , y , xFtz , y , xu，t , z , y, xF1.3 标量场的梯度标量场的梯度2 标量场的等值面标量场的等值面 为了直观表示场在空为了直观表示场在空间的变化，经常使用间的变化，经常使用场的等值面来直观。场的等值面来直观。所谓等值面是标量场所谓等值面是标量场为同一数值各点在空为同一数值各点在空间形成的曲面。间形成的曲面。 Cz ,y, xu导体等电位面导体等电位面3 方向导数方向导数 在实际应用中不仅需在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空要宏

22、观上了解场在空间的数值，还需要知间的数值，还需要知道场在不同方向上场道场在不同方向上场变化的情况。应用方变化的情况。应用方向性导数可以描述标向性导数可以描述标量场在空间某个方向量场在空间某个方向上变化的情况。上变化的情况。1.3 标量场的梯度标量场的梯度方向性导数表示场沿方向性导数表示场沿 方向的空间变化率方向的空间变化率。lM（r）M（rL）coscoscos1lim00zuyuxudldze dye dxe zue yue xue dldzzudyyudxxululuzyxzyxlM|1.3 标量场的梯度标量场的梯度coscoscos,为为 的方向余弦的方向余弦 l4 标量场的梯度标量场的

23、梯度 在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小（方向性导数）是不同的，必然存在一大小（方向性导数）是不同的，必然存在一个变化最大的方向。定义：场变化最大的方个变化最大的方向。定义：场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其数值为标量场的向为标量场梯度的方向，其数值为标量场的梯度值。梯度值。1.3 标量场的梯度标量场的梯度zue yue xue lun uzyxmax|5 梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的 方向表示该点场变化最大（增大）的方方向表示该点场变化最大（增大）的方 向，其数值表示变化最大方

24、向上场的空间向，其数值表示变化最大方向上场的空间 变化率。变化率。 标量场在某个方向上的方向导数，是梯度标量场在某个方向上的方向导数，是梯度 在该方向上的投影。在该方向上的投影。1.3 标量场的梯度标量场的梯度 标量场的梯度函数标量场的梯度函数建立了标量场与矢建立了标量场与矢量场的联系，这一量场的联系，这一联系使得某一类矢联系使得某一类矢量场可以通过标量量场可以通过标量函数来研究，或者函数来研究，或者说标量场可以通过说标量场可以通过矢量场的来研究。矢量场的来研究。1.3 标量场的梯度标量场的梯度 标量场的梯度垂直标量场的梯度垂直 于通过该点的等值于通过该点的等值 面（或切平面）面（或切平面）6

25、 梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式uufufuvvuuvvuvuuccuc01.3 标量场的梯度标量场的梯度7 正交曲线坐标系中梯度的表达式正交曲线坐标系中梯度的表达式 332211321qhue qhue qhue uqqq321321sue sue sue uqqq1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的散度矢量场的散度 1 矢量场与矢量线矢量场与矢量线 在确定空间区域上的每一点有确定矢量与对在确定空间区域上的每一点有确定矢量与对 应，则称该空间区域上定义了一个矢量场。应，则称该空间区域上定义了一个矢量场。 为了同时描述矢量场的方向和数值，除了直为了同时描述矢量场的方向和数值，

26、除了直 接用矢量的数值和方向来表示矢量场的大小接用矢量的数值和方向来表示矢量场的大小 以外，用矢量线来形象的描述矢量场分布。以外，用矢量线来形象的描述矢量场分布。 所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的切所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的切 线方向代表了该点矢量场的方向。线方向代表了该点矢量场的方向。 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 z , y, xFdzz , y, xFdyz , y, xFdxzyx矢量线能够描述矢量线能够描述矢量场在空间的矢量场在空间的方向，但不能够方向，但不能够直观描述矢量场直观描述矢量场的大小。的大小。矢量线方程：矢量线方程：1.4 矢量场的散度矢量场的散度 2矢

27、量场的通量矢量场的通量 为了克服矢量线不能为了克服矢量线不能定量描述矢量场的大定量描述矢量场的大小的问题，引入通量小的问题，引入通量的概念。在场区域的的概念。在场区域的某点选取面元，穿过某点选取面元，穿过该面元矢量线的总数该面元矢量线的总数 称为矢量场对于面积称为矢量场对于面积元的通量。元的通量。 sz , y, xdnFz , y , xFsdMax0limdsdz , y, xsnF矢量场对于曲面s的通量为曲面s上所有小面积元通的叠加： 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 sFdz , y, xdssz , y, xdnF如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面

28、的通量是： 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 000sFdz ,y,xQs3 矢量场的散度矢量场的散度 物理上的场物理上的场 (无论是矢量场，还是标量场）无论是矢量场，还是标量场） 都是相应的源作用的结果。矢量场通过闭合都是相应的源作用的结果。矢量场通过闭合 曲面通量的三种可能结果肯定与闭合曲面内曲面通量的三种可能结果肯定与闭合曲面内 有无产生矢量场的源直接相关。使闭合曲面有无产生矢量场的源直接相关。使闭合曲面 通量不为零的激励源为通量源通量不为零的激励源为通量源。矢量场对闭矢量场对闭 合曲面的通量与闭合曲面内的通量源之间存合曲面的通量与闭合曲面内的通量源之间存 在某种确定的关系。在某种确定的

29、关系。 1.4 矢量场的散度矢量场的散度 0Q表示通过闭合曲面表示通过闭合曲面有净的矢量线流出有净的矢量线流出0Q表示有净的矢量线流入表示有净的矢量线流入0Q表示流入和流出闭合曲面表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面线流入、流出闭合曲面 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲意点（小体积元）的通

30、量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。因此散度是矢量通过包含该点称为矢量场的散度。因此散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限zFyFxFz , y , xzyxFdiv1.4 矢量场的散度矢量场的散度 Vdz , y, xz , y, xsVsFFlim0div4. 散度与源的关系散度与源的关系 根据通量的物理意义，矢量场相对于小体根据通量的物理意义，矢量场相对于小体 积元的通量与体积元内的通量源成正比：积元的通量与体积元内的通量源

31、成正比： 其中其中 为通量源密度。于是有：为通量源密度。于是有： 为比例常数，一般由实验获得。为比例常数，一般由实验获得。1.4 矢量场的散度矢量场的散度 Vz , y, xdz , y, xsVsF0limz , y , xz , y, xz , y, xFFdiv5 积分的积分的Gauss定理定理 直接从散度的定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场散度的积分。 上式称为矢量场的Gauss定理。 VsdVdFsF1.4 矢量场的散度矢量场的散度 6 散度的有关公式散度的有关公式 在任意正交曲线坐标系中，矢量场的散度 表达式为：1.4 矢量场的散度

32、矢量场的散度 2133312232113211hhFqhhFqhhFqhhhFGFGFFFFFFCCCCCdivdiv为常量divdiv为常矢量0divfffff1矢量场的环量与旋涡源矢量场的环量与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类 不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力 线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。 但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 第三讲1.5 矢量

33、场的旋度矢量场的旋度 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场与电流的关系。上式建立了磁场与电流的关系。 sLdz ,y,xIdz ,y,xsJLB00引入环量概念。矢量场对于闭合曲线引入环量概念。矢量场对于闭合曲线L的环量定义的环量定义为该矢量对闭合曲线为该矢量对闭合曲线L的线积分，记为：的线积分，记为：（1)1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称 该矢量场为无旋场，又称为保守场。该矢量场为无旋场，又称为保守场。（2)2)如果矢量场对于任何闭

34、合曲线的环量不为零，如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零， 称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量 场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。00Ldz ,y,xLF1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 2 矢量场的旋度矢量场的旋度 矢量场的环量给出了矢量场与积矢量场的环量给出了矢量场与积 分回路所围曲面内旋涡源的宏观分回路所围曲面内旋涡源的宏观 联系。为了给出空间任意点矢量联系。为了给出空间任意点矢量 场与旋涡源的关系，当闭合曲线场与旋涡源的关系，当闭合曲线 L所围的面积趋于零时，矢量场所围的面积趋于零时，矢量场 对回

35、路对回路L的环量与旋涡源对于的环量与旋涡源对于L所所 围的面积的通量成正比，即：围的面积的通量成正比，即： 1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 sJlF00limlimslsdJsFn 引入矢量场旋度，定义为：矢量场在M点处 的旋度为一矢量，其数值为包含M点在内的 小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即： Max0limrotsdn lslFF1.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 根据线积分的计算公式，不难得到旋度根据线积分的计算公式，不难得到旋度在直角坐标系中的表达式为在直角坐标系中的表达式为: zzyyxxxylszxzlsyyzlsxe e e e e e sde sde sde xy