模糊集合及其运算

1、 模糊集合及其运算模糊集合及其运算 确定性确定性 经典数学经典数学量量 随机性随机性 随机数学随机数学 不确定性不确定性 模糊性模糊性 模糊数学模糊数学随机性随机性：事件本身的状态是清楚的，但是否发生：事件本身的状态是清楚的，但是否发生 不确定不确定 。 （事件是否发生不确定）（事件是否发生不确定）明天有雨，掷一枚骰子出现明天有雨，掷一枚骰子出现6点点模糊性模糊性：事件本身的状态不很分明，不在于事件：事件本身的状态不很分明，不在于事件 发生与否。（事件本身的状态不确定）发生与否。（事件本身的状态不确定）青年人，高个子青年人，高个子=模糊数学也是由于实践的需要而产生的，模糊概念模糊数学也是由于实

2、践的需要而产生的，模糊概念（或现象）处处存在。（或现象）处处存在。 = 有时使用模糊性比使用精确性还要好有时使用模糊性比使用精确性还要好 。 例如，例如，“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人男人” = 模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的东西，它模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的东西，它也具有数学的共性：条理分明、一丝不苟。即使描述也具有数学的共性：条理分明、一丝不苟。即使描述模糊概念（或现象），也会描述得清清楚楚。模糊概念（或现象），也会描述得清清楚楚。 = 一般来说，随机性是一种外在因果的不确定性，一般来说，随机性是一种外在因果的不确定性， 模糊

3、性是一种内在结构的不确定性。模糊性是一种内在结构的不确定性。一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：集合：具有某种特定属性的对象集体。具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母通常用大写字母A、B、C等表示。等表示。论域：论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母通常用大写字母U、V、X、Y等表示。等表示。论域论域U中的每个对象中的每个对象u称为称为U的的元素元素。在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A，则必有，则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：Au

4、 Au ),( 1 , 0:uuUAA 其中其中 AuAuuA , 0 , 1)( 函数函数 称为集合称为集合A的特征函数。的特征函数。A 二、模糊集合及其运算二、模糊集合及其运算美国控制论专家美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的教授正视了经典集合描述的“非此即彼非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么简单，而概念的差异常以那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼亦此亦彼”的模糊现象。的模糊现象。基于此，基于此，1965年，年， Zadeh教

5、授在教授在Information and Control杂志上发表了一篇开创性论文杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,标志着模糊数学的诞生。标志着模糊数学的诞生。1、模糊子集、模糊子集定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射1 , 0)( ,1 , 0: xxUAA 确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 称为称为 隶属函隶属函AA A数数， 称为称为 对对 的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。)(xA xA模糊子集模糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者AA 是等同的。为简单见，通常用是等同的。为简单见，通

6、常用A来表示来表示 和和 。AA AU “高个子高个子”1.80高个子，高个子，1.79可以略低于可以略低于1（99%）的程度属于高个）的程度属于高个.模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211 这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是 。iixxA)(ix)(ixA如如4032 . 028 . 011 A（3）向量表示法）向量表示法)(,),(),(21nxAxAxAA （2）序偶表示法）序偶表示法)(,( ,),(,(),(,(2211nnxAxxAxxAxA 若论域

7、若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集表示为： UxxxAA)(2、模糊集的运算、模糊集的运算定义：定义：设设A，B是论域是论域U的两个模糊子集，定义的两个模糊子集，定义相等：相等：UxxBxABA ),()(包含：包含：UxxBxABA ),()(并：并：UxxBxAxBA ),()()(交：交：UxxBxAxBA ),()()(余：余：UxxAxAc ),(1)( 表示取大；表示取大； 表示取小。表示取小。 例例 设论域设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集商品集)，在，在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集： A =“商品质量好商品质量好” B

8、=“商商品质量坏品质量坏”，并设，并设A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可见可见Ac B, Bc A. 商品质量不好商品质量不好 商品质量坏商品质量坏又又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .模糊集合的截集模糊集合的截集定义：设定义：设 A

9、F ( X ) ， 0，1，记(A) = xX | A(x) , 称称 (A) 为为 A 的的 截集，简记为截集，简记为 A 。例例 取取则有则有65432102.05.06.08.01xxxxxxA110.8120.7120.61230.412340.2123450,AxAxxAxxAxxxAxxxxAxxxxxAX。几个常用的算子：几个常用的算子：（1）Zadeh算子算子),( ,min,maxbabababa （2）取大、乘积算子）取大、乘积算子),( abbababa ,max（3）环和、乘积算子）环和、乘积算子), ( abbaabbaba ,（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子

10、),( ,min),(1babababa （5）有界和、乘积算子）有界和、乘积算子),( abbababa ),(1（6）Einstain算子算子),( )1)(1(1,1baabbaabbaba 3、模糊矩阵、模糊矩阵定义：定义：设设 称称R为为模糊矩阵模糊矩阵。, 10 ,)( ijnmijrrR当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。ijr当模糊方阵当模糊方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，nnijrR )(iir称称R为为模糊自反矩阵模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算定义定义：设：设 都是模糊矩阵

11、，定义都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA )(,)(相等：相等：ijijbaBA 包含：包含：ijijbaBA 并：并：nmijijbaBA )(交：交：nmijijbaBA )(余：余：nmijcaA )1(例：例：则则设设,2 . 03 . 004 . 0,3 . 02 . 01 . 01 BA 3 . 03 . 01 . 01BA 2 . 02 . 004 . 0BA 7 . 08 . 09 . 00cA 8 . 07 . 016 . 0cB取大运算取大运算 取小运算取小运算 （2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：定义：设设 称模糊矩阵称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijb

12、BaA nmijcBA )(为为A与与B的合成，其中的合成，其中 。() 1ijikkjcabks 例：例：则则设设,6.04.02.05.03.01.0,3.06.02.05.01.04.0 BA 3 . 03 . 06 . 05 . 0BA 5 . 05 . 04 . 03 . 03 . 03 . 02 . 02 . 01 . 0AB2AA A模糊矩阵的幂模糊矩阵的幂（3）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置定义：定义：设设 称称 为为A的的,)(nmijaA ()Tjin mAa转置矩阵。转置矩阵。（4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵 定义：定义：设设 对任意的对任意的 称称,)(nmi

13、jaA ,1 , 0 nmijaA )()( 为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵截矩阵，其中，其中 ijijijaaa , 0 , 1)(例：例：则则设设,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 01 A 11001100001100115 . 0A 11001100001000018 . 0A三、隶属函数的确定三、隶属函数的确定1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中的一个固定元素中的一个固定元素;0u（3）U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合;*A（4）

14、U中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A，*A制约着制约着 的运动。的运动。 可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使致使 对对A的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。0u特点：在各次试验中，特点：在各次试验中， 是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。0u*A模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出nAuAu的次数的次数的隶属频率的隶属频率对对*00 （2）随着）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuuAn的次数的次数*00lim)( 0u对

15、对A的隶属度：的隶属度：例例 取年龄作论域取年龄作论域 X，通过模糊试验确定，通过模糊试验确定 x0= 27(岁岁) 对模糊集对模糊集“青年人青年人” A 的隶属度。的隶属度。 张南伦曾对张南伦曾对 129 名学生进行了调查试验，要求名学生进行了调查试验，要求每个被调查者按自己的理解确定每个被调查者按自己的理解确定“年青人年青人” (即即 A) 的年龄范围的年龄范围 (即即 A*)，每一次确定的范围都是一次试，每一次确定的范围都是一次试验，共进行了验，共进行了 129 次试验次试验.统计的隶属频率见表统计的隶属频率见表1 。表表 1 27岁对模糊集岁对模糊集 “年青人年青人” 的隶属频率的隶属

16、频率由表由表 1可见，隶属频率随试验次数可见，隶属频率随试验次数 n 的增加而呈现的增加而呈现稳定性，稳定值为稳定性，稳定值为 0.78，故有，故有 青年人青年人 (27) = 0.78。n10203040506070隶属次数隶属次数6142331394753隶属频率隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数隶属次数6268768595101 隶属频率隶属频率0.780.760.760.750.790.78 模糊统计与概率统计的区别：模糊统计与概率统计的区别：模糊统计：变动的圆盖住不动的点模糊统计：变动的圆盖住不动的点概率统计：变

17、动的点落在不动的圆内概率统计：变动的点落在不动的圆内2、指派方法、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。 (1) 偏大型（偏大型（S 型）：这种类型的隶属函数随型）：这种类型的隶属函数随 x 的的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：描述“大”，“热”、“老年”等偏向大的一方的模糊现象。越大越好（食品中营养物质的含量）

18、1）升半矩形分布）升半矩形分布., 1, 0)(axaxxA10axA(x)2）升半）升半 分布分布.,1, 0)()(axeaxxAaxk10axA(x)a+1/k图图 3.83）升半正态分布）升半正态分布10axA(x)图图 3.90.,1, 0)(2)(kaxeaxxAaxk4）升半柯西分布）升半柯西分布0, 0.,)(1 , 0)(1axaxaxxA10axA(x)5）升半梯形分布升半梯形分布.1, 0)(221121xaaxaaaaxaxxA10a1xA(x)a26）升岭形分布）升岭形分布., 1),2(sin2121, 0)(2212112xaaxaaaxaaaxxA10a1xA(

19、x)a2(a1+a2)/2(2) 偏小型偏小型 (Z 型型 )：这种类型的隶属函数随这种类型的隶属函数随 x 的增的增大而减小，又可分为：大而减小，又可分为：描述“小”，“冷”、“青年”等偏向大的一方的模糊现象。越小越好（空气中有害物质的含量）1）降半矩形分布）降半矩形分布 .,0,1axaxxA01axA(x)2）降半）降半分布分布 .0,1kaxeaxxAaxk其中01a a+1/kxA(x)3）降半正态分布）降半正态分布 .0,12kaxeaxxAaxk其中01axA(x)4）降半柯西分布）降半柯西分布 .0, 0,1,11其中axaxaxxAA(x)01ax5）降半梯形分布）降半梯形分布 .,0,12211221xaaxaaaxaaxxAA(x)01a1xa26）降岭形分布）降岭形分布 .,0, )2(sin2121,122112121xaaxaaaxaaaxxA01/21a12aa21a2