抗差估计,有偏估计

1、 但简单易行。很小时此法很不可靠，故观测数常未知，和中识别粗差时，实际问题用鲁棒估计估计抗差估计稳健估计nRobusti3 分布的观测数据。用于定义完全服从正态经典平差模型）高斯马尔柯夫模型（120,:PDLDEBXLEBXL 在观测数据中出现在观测数据中出现0.2%的粗差时，最小二的粗差时，最小二乘估值便失去了其最优性，但乘估值便失去了其最优性，但0.2%的粗差概率的粗差概率完全正常，特别是在现代的大数据量自动测量中。完全正常，特别是在现代的大数据量自动测量中。所以经典平差适用的范围狭窄所以经典平差适用的范围狭窄。抗差估计指导思想：抗差估计指导思想：在抗差能力和效率（指估值最优性）在抗差能力

2、和效率（指估值最优性）中求得最佳平衡。一般要求其效率达到经典平差效率的中求得最佳平衡。一般要求其效率达到经典平差效率的90%90%以上。是以上。是在抗差的前提下谈效率。在抗差的前提下谈效率。抗差估计实质：抗差估计实质：牺牲最小二乘估计的最优性，达到抵抗粗牺牲最小二乘估计的最优性，达到抵抗粗差污染的目的。差污染的目的。抗差估计的特点：抗差估计的特点：当观测数据的实际分布偏离假定模型时当观测数据的实际分布偏离假定模型时的的不敏感性不敏感性。其对子样分布要求不十分严格，只要子样。其对子样分布要求不十分严格，只要子样近似服从某一模型。近似服从某一模型。若母体确实为正态时，若母体确实为正态时，抗差估计值

3、无最小二乘估计值优良。抗差估计值无最小二乘估计值优良。最小二乘估计的优点：最小二乘估计的优点：能够抵御大量随机小误差能够抵御大量随机小误差对参数估值的影响；估值无偏，方差最小。对参数估值的影响；估值无偏，方差最小。估值的效率问题：估值的效率问题：可削弱大量小误差对参数估值可削弱大量小误差对参数估值的影响。的影响。抗差能力的标志：抗差能力的标志：估值能容忍的粗差个数估值能容忍的粗差个数。抗差估计的适用范围：抗差估计的适用范围：在确定性模型中有大量正在确定性模型中有大量正确的观测值存在，仅有少数几个是不正确的；确的观测值存在，仅有少数几个是不正确的；统计模型就不一定了，如果轨迹模型是你自己统计模型

4、就不一定了，如果轨迹模型是你自己定的，出界的点被认为是粗差而剔除，这是不定的，出界的点被认为是粗差而剔除，这是不正确的。正确的。所以抗差估计适合确定性模型而不适所以抗差估计适合确定性模型而不适合拟合模型。合拟合模型。数据偏离正态分布的原因：数据偏离正态分布的原因：（1 1）有粗差（观测、记录、数据输入等）有粗差（观测、记录、数据输入等）（2 2）数据组合与舍入误差）数据组合与舍入误差（3 3）就算数据中无粗差存在，但其分布仍有微小明显的偏离正态）就算数据中无粗差存在，但其分布仍有微小明显的偏离正态趋势趋势（4 4）观测值之间并非完全独立）观测值之间并非完全独立 F、t、u、 2 四种检验方法由

5、于都取决于正态分布的母四种检验方法由于都取决于正态分布的母体，故对于偏离正态分布的数据检验是不可靠的。体，故对于偏离正态分布的数据检验是不可靠的。举例举例：0625. 5997. 4500. 5008. 5001. 5993. 4998. 4002. 5001. 5x术平均值为：其最小二乘估值，即算，观测值为高斯断言：高斯断言：如果最小二乘估计量不是最优估值的话，那如果最小二乘估计量不是最优估值的话，那么，观测列中必存在一种来自外界的、未知的干扰因么，观测列中必存在一种来自外界的、未知的干扰因素所致。现已知，这种未知的干扰因素就是粗差。素所致。现已知，这种未知的干扰因素就是粗差。稳健估计的目标

6、：稳健估计的目标：1 1、在采用的假定模型下，所估计的参数应具有最优或接、在采用的假定模型下，所估计的参数应具有最优或接近最优；近最优；2 2、如果实际模型与假定模型存在较小的偏差，则对应的、如果实际模型与假定模型存在较小的偏差，则对应的估计参数所受影响也较小；估计参数所受影响也较小；3 3、即使实际模型与假定模型有较大偏差，其参数估值的、即使实际模型与假定模型有较大偏差，其参数估值的性能也不应太差，不至于对估值产生灾难性后果。性能也不应太差，不至于对估值产生灾难性后果。模型误差的产生和分类模型误差的产生和分类模型误差：模型误差：模型与客观实际的误差，也分为粗差、系模型与客观实际的误差，也分为

7、粗差、系统误差和偶然误差。统误差和偶然误差。有粗差时用经典平差模型或无粗差时用抗差模型，都有粗差时用经典平差模型或无粗差时用抗差模型，都会产生模型误差。会产生模型误差。比例。的的数据在整个数据组中受污染（有粗差）部分污染率，干扰分布，主体分布，污染分布：xxFFF 1一、一、影响函数影响函数 影响函数是用来判断估计量对异常值敏感影响函数是用来判断估计量对异常值敏感程度的指标，即一个附加的观测值对估值的影响的程度的指标，即一个附加的观测值对估值的影响的大小。大小。影响函数定义式：影响函数定义式： 在其它处处在：分布，其概率密度函数的（粗差）质量为粗差分布。在污染率。无粗差的主体分布。受污染的分布

8、。其中：0111,00 xxxfxFFFFlinFFlinFlIFxx 污染率。观测值个数。粗差个数，估值。个粗差后的数据算得的用剔除个观测值算得的估值用全部的实用中，影响函数为：nsnssFnFnsFFFlIF,影响函数的重要用途：影响函数的重要用途：（1）若影响函数无界，则一个粗差可彻底破坏估计量，此时该）若影响函数无界，则一个粗差可彻底破坏估计量，此时该种方法就不具有抗差性；种方法就不具有抗差性；（2）大于某个限差的粗差应对平差结果不产生影响，即应设一）大于某个限差的粗差应对平差结果不产生影响，即应设一个影响函数个影响函数IF=0的误差界；的误差界；（3）影响函数可用图形表示，直观，重要

9、。）影响函数可用图形表示，直观，重要。广义极大似然估计广义极大似然估计M M估计估计M M估计经典极大似然估计的推广，最接近传估计经典极大似然估计的推广，最接近传统的最小二乘估计。统的最小二乘估计。概率密度最大，即的组独立小误差联合出现以极大似然法思想，一参数估值，误差的密度函数为，设其对应的，设有一组独立观测值XLXfLLLin21 211121minlnminlnmaxlnmaxiiiiiniiniiniinvPvvvvfLXfLXfLXfLXfLXfG最小二乘法中，的函数为残差数或估值函数，其称为目标函数、极值函，使其定义式广义化：上式中的差函数）代替（增长较慢的极小化残选用函数或：或：

10、 0minmin1111niiniiiniiniivvvvvM的定义也可引申到其导数而由一类估计。式定义的估计由所以，也可以定义 iv iv由于由于 或或 选择的不同，会得到不选择的不同，会得到不同的同的M估计法，其稳健性也不同。估计法，其稳健性也不同。基本思想：基本思想：（1 1）平差仍采用经典的最小二乘平差形式；）平差仍采用经典的最小二乘平差形式； （2 2）每次平差后根据残差和有关参数构成下一步）每次平差后根据残差和有关参数构成下一步的权函数；的权函数；（3 3）迭代中止时相应的残差将直接指出粗差所在）迭代中止时相应的残差将直接指出粗差所在的位置。平差后有：的位置。平差后有： 保权区正常

11、观测值保权区正常观测值 降权区非正常但可用的观测值降权区非正常但可用的观测值 除权区含粗差的观测值除权区含粗差的观测值 计估计就成为最小二乘估是常数阵，若权阵估计准则：其中每次平差的权阵为阵形式：选权迭代法法方程的矩个观测值的残差次平差后第第个观测值的权函数第式中下标表示：令权函数为：MVPVVPVvPvPvPdiagVPlVPBxBVPBjiijjvvvvvPTiniiTTiiiiijmin021 代入。的初值用单位阵当观测值等权时，值符合限差要求为止。迭代到前后两次解的差选权迭代法的迭代公式IVPlxBVlVPBBVPBxvvvPkkkTkTkkikiikj111 v随着估计函数随着估计函

12、数 选取的不同，构成了不同选取的不同，构成了不同的权函数形式，形成了不同的选权迭代法。的权函数形式，形成了不同的选权迭代法。权函数权函数 选取的要求选取的要求：（1 1）平差后粗差观测值的权应趋近于）平差后粗差观测值的权应趋近于0 0，其，其余多余观测值的权趋近于余多余观测值的权趋近于1 1；（2 2）迭代中止时，不含粗差的观测值的权应）迭代中止时，不含粗差的观测值的权应等于验前给定或验后方差估求的，平差应等于验前给定或验后方差估求的，平差应回到通常的最小二乘法平差；回到通常的最小二乘法平差；（3 3）权函数的选择应保证迭代尽快收敛。）权函数的选择应保证迭代尽快收敛。 VP 由于粗差的分布不同

13、，不能象偶然误差一样由于粗差的分布不同，不能象偶然误差一样有一个统一的正态分布，有统一的处理方法。所有一个统一的正态分布，有统一的处理方法。所以不同的粗差分布对应了不同的处理方法。以不同的粗差分布对应了不同的处理方法。1、HuberHuber法法2 2、一次范数最小法、一次范数最小法3 3、p p范最小法范最小法4 4、丹麦法、丹麦法5 5、HampelHampel法法1、Huber法2、一次范数最小法（L1估计）（中位数法） 212124222442222vvvvpvvsignvvvvvvvvv， kvvpvv13、P范最小法（LP法）4、IGG法（周江文法）5、经典最小二乘法（不具有抗差性

14、） kvvpvvpp21 5 . 205 . 25 . 115 . 115 . 25 . 25 . 15 . 122vvvvvpvdvvvvv cvppvvpvv22 v1 v1 v2 v2 v3 v3 v4 v4 v5 v5 v6 v6 v7 v7 给定误差 0.640.73-0.84-0.260.01-10.481.86 L2-2.290.53-0.812.572.906.00-3.42 L12-1.4100.07-0.031.499.42-1.42 L1-1.4500.0301.539.41-1.39Huber法-0.95-0.200.53-0.231.239.68-1.42 丹麦法-0

15、.58-0.100.980.390.4810.75-1.101546372ABH3H1H2 如图，为模拟水准网，7个观测值配赋了随机误差，在第六条路线的观测高差中附加了10mm的粗差。用各种算法结果列于下表。从表中看各种选权迭代法均有抗差性，而最小二乘法不具有抗差性。选权迭代法的缺陷：选权迭代法的缺陷：1 1、由于粗差的大小及位置未知，只能以残差来、由于粗差的大小及位置未知，只能以残差来研究，且目标函数研究，且目标函数 选择成为残差选择成为残差v v的函数，这的函数，这并不一定符合实际。并不一定符合实际。2 2、选权迭代法中，第一次按最小二乘平差求得、选权迭代法中，第一次按最小二乘平差求得的残

16、差受粗差的影响很大，由此将影响迭代的的残差受粗差的影响很大，由此将影响迭代的权函数权函数P(v)的选择，可能导致错误的收敛。的选择，可能导致错误的收敛。3 3、为避免选权迭代法的初值受、为避免选权迭代法的初值受LSLS平差法的影响，平差法的影响，可以采用线性规划中的可以采用线性规划中的单纯形法单纯形法进行初值确定。进行初值确定。 离原点最远的点上。内并且使最优解是在可行解区域约束条件：目标函数：解：间获得最大利润？何安排生产可在计划期可供资源如表，问：如元，元，乙产品得利润个甲产品得利润工，用料均为钢材，每和二车间的机械上加产品，均需要在一车间例：某厂生产甲乙两种约束函数：目标函数：数学模型：

17、2121221212140300,2005 . 07505 . 1600max403040300,minxxzxxxxxxxxxzXbAXXCxfT图解法的重要结论：图解法的重要结论：可行解可行解的区域为凸多边形，其最优解若存在，的区域为凸多边形，其最优解若存在，一定在某个极点（顶点）上。一定在某个极点（顶点）上。最优解：最优解：能使线性规划目标达到极值的可行解。能使线性规划目标达到极值的可行解。 TTixxsssxsssxxsxsxxsxxsssxxzis002007506000,2005 . 07505 . 1600max00040303 , 2 , 1213210321213222112

18、132121方程的初始解为：约束条件：目标函数：准化：，使线性规划的模型标在上例中加入松弛变量单纯形凸类中的一种，在其内部任意两点间的连线仍处于图形的内部。单纯形法极点迭代法。沿着凸多面体的棱向另一个极点迭代，使目标函数的值逐次下降。)3(, 2 , 1, 0)2() 1 (max)min(221122222121112121112211nixbxaxaxabxaxaxabxaxaxaxcxcxcimnmnmmnnnnnn未知量并且要求满足：约束条件或目标函数：标准形式：从数学意义上讲，若有一组解1）满足（2）、（3）两式，称为基本可行解；2）同时满足（1）、（2）和（3）三式，称为最优解。

19、个线性无关的列组成。中基底矩阵。由标准形式还可以化为标准形式的矩阵形式：mABXXbNXBXZXCXCXCXfXbAXXCXfNBNBNNBBTT0, 0min0min 行解，可停止迭代。，则已经取得了最优可若去寻找最优解；中进行换元，再迭代下、过对组更优的可行解，可通，一定存在一组比前一若判断：设解得目标函数：00,111rXXrNBCCrXNBCCbBCxfNBBNNBNBlbBBAVVXXXCVVXXlVVBXBXVVZVVXXVVXXVVVXXXxlxBVVTi1111000,minmin即，得数学模型为在非零解。互不独立，不能同时存与、与，即：可正可负，故设、数均为非负值，但由于线性

20、规划中要求参约束条件：目标函数：当观测值是等权时，选权迭代法用当观测值是等权时，选权迭代法用权函数权函数进进行平差；行平差；当观测值不等权时，选权迭代法用当观测值不等权时，选权迭代法用等价权等价权进进行平差。行平差。 式相同。权函数平差时的迭代公平差的时迭代公式与用权函数等价权定义：，或估计准则为：观测值，其权为对于独立不等权ijijjiijjiiiinvPvPpvvpPvpvpMppp0min,21xxxxTlTTxxiTQDBPBBPQPBBPBQPntnVPV 20 11 200参数方差近似公式：参数权逆阵近似公式：下的观测值个数。（含粗差观测值）后剩去除似公式：单位权中误差估计的近之所

21、以称以上三式为近似公式，是因为近似地视等价权为常数之所以称以上三式为近似公式，是因为近似地视等价权为常数矩阵（其实等价权是随机量，是残差的函数）。矩阵（其实等价权是随机量，是残差的函数）。粗差作为一种模型误差，可以从两种角度去描述粗差作为一种模型误差，可以从两种角度去描述它：它：1 1）将粗差归入函数模型）将粗差归入函数模型数据探测法数据探测法（也称均（也称均值漂移模型）值漂移模型）2 2）将粗差归入随机模型）将粗差归入随机模型稳健估计法稳健估计法（也称方（也称方差膨胀模型）差膨胀模型）的作用程度。反映了观测误差对残差称为平差的几何条件。常数阵的影响：对残差观测误差RPBBNIRRPBBNIV

22、VTT11 测，未参与平差。个观测值为完全多余观，则第若；量，说明其无抗差能力个观测值无多余观测分，则第若好的控制网，有的分布范围：，且多余观测数量个观测值的多余观测分个主元为第阵中的第）称能发现粗差；时，即无需平差，也不，可见无多余观测，则）若无多余观测，即迹”特性，即秩阵是幂等阵，所以有“）产生影响；，将对所有的残差）某一观测误差相关的；是的影响，所以残差之间，它受到所有观测误差）对任意一个残差的描述：对irirrrrrrPQrriiRVlBxtnrrRtrRrkRVvPQRRViiiiiniiVViiiiVV105 . 02 . 0.10:5004;32111假设观测值中仅有一个有粗差，

23、用该法检测并剔除后，假设观测值中仅有一个有粗差，用该法检测并剔除后，再建立新的平差系统重新平差后，再找出下一个粗差剔再建立新的平差系统重新平差后，再找出下一个粗差剔除，直到不含粗差。除，直到不含粗差。 1) 10:20200uuPrrvQvvuuvEHiilivviviiiiiii接受域：很小时会影响判断统计量：检验法：已知，用若母体方差数据探测法的原假设：粗差的观测值。初剔除的有时并非是含）因各残差相关，故最差。）一次只能发现一个粗数据探测法缺点：检验粗差。个观测值重新平差，再的剔除粗差后，再将剩余参数个数。其中统计量：检验：）母体方差未知时，用21111122200ntrvpPVVtntn

24、tQvttiiiTvviiii34 为什么要研究病态方程为什么要研究病态方程： 当误差方程为病态时，即使观测数据服从正态分布，其最当误差方程为病态时，即使观测数据服从正态分布，其最小二乘估值也不理想，甚至很差，平差结果中方差虽然最小，小二乘估值也不理想，甚至很差，平差结果中方差虽然最小，但方差的值却很大，即平差精度很差，而且解也相当的不稳定。但方差的值却很大，即平差精度很差，而且解也相当的不稳定。1 1、矩阵的条件数、矩阵的条件数TxxybyybxxxbAx110001. 00,0001. 220001. 111102220001. 11112121方程组的解变为：其中有微小变化时，有当常数项

25、其精确解为，即例：有方程组一、病态问题与条件数若系数阵若系数阵A A或常数项或常数项b b的微小变化，会引起方程组的解的微小变化，会引起方程组的解x x有巨大变化，有巨大变化，则这种方程组称为则这种方程组称为“病态方程组病态方程组”。A A称为病态矩阵。称为病态矩阵。AAbbAAAAAAxxbbxxAAxbAbbAAxxbAxxAbbAxbAxbbxxAxbbAbAx11111211得解的相对误差为：即有多大误差？均有误差时，解、）设所以：（范数特性）即有多大误差？，导致解有误差非奇异，设正常，）中，讨论：在方程组定义定义 。中最大和最小的特征值分别是正定对称矩阵和其中，数为阵的条件阵），（如

26、法方程的为正定实对称矩阵时，当感程度。组的解对原始数据的敏条件数。它刻画了方程的为矩阵，称乘积异阵矩阵的条件数：对非奇AAAAcondANAAAAAminmaxminmax121不稳定模型：观测数据很小的误差会引起待估参数很大的误差。不稳定模型：观测数据很小的误差会引起待估参数很大的误差。所以病态方程也是不稳定模型。所以病态方程也是不稳定模型。2 2、病态性程度的衡量方法、病态性程度的衡量方法。时，有严重的复共线性中等强度复共线性；时，有时，有弱复共线性；在复共线性；时，可以认为不存中，的特征值通常的判断标准，模糊的说法。很接近于零”是一个很个复共线性关系。但“中就有多少于零，设计矩阵有多少个

27、特征值很接近法矩阵、特征分析法01. 005. 001. 01 . 005. 01 . 0iiiiiNBNa解释：复共线性解释：复共线性 复共线性，指的是平差参数之间具有近似相关关系，反映在误差方程的设计矩阵上，就是列向量间的某些数据列可以由其余的数据列近似（非精确）地线性表示。 在最小二乘平差中，在最小二乘平差中，“复共线性复共线性”就是指就是指“病态性病态性”。 方差分解比方法。条件指标法、。中有几个复共线性关系判定设计矩阵条件数法的缺点是不能正取舍。准则应根据实际情况修左右。所以对上述致在快速定位中，条件数大处理实际应用中，如数据提下得到的。但在测量对数据中心标准化的前呈病态。这个指标是

28、在，系统时存在严重的复共线性时没有复共线性；一般认为、条件数法CTVDPcBKKNNNcondKb13minmax110GPS10001003 3、病态方程产生原因、病态方程产生原因1、参数选取原因。（参数近似相关或过度参数化）、参数选取原因。（参数近似相关或过度参数化）2、观测原因。（样本为局部采样或接近重复采样）、观测原因。（样本为局部采样或接近重复采样）3、模型选择原因。（模型建立的方法不同，其病态程度不同）、模型选择原因。（模型建立的方法不同，其病态程度不同）4、计算方面原因。（计算方法要稳定，计算机字节长度应长一些）、计算方面原因。（计算方法要稳定，计算机字节长度应长一些）4 4、病

29、态方程最小二乘估值的性质、病态方程最小二乘估值的性质 病态方程处理的观测值可以是正态分布，但其LS估值并不理想，甚至很差。 虽然LS估计的方差在线性无偏类中是最小，但数值却很大，并表现得相当不稳定。 常用均方误差常用均方误差MSE来评价病态情形下参数的估值质量。来评价病态情形下参数的估值质量。 的减小。部分，换取方差部分大偏差有偏估计实质：适当增。估值，即参数估值将不再是无偏用解病态方程法得到的的一个良好估值了。不再是估值很大，此时值较小，会导致的最小特征。而若法矩阵的无偏估值，即是真值上式的条件为由均方误差公式：122120120212 2001xxExxLSxMSENxxBBtrxxEQt

30、rxxxxExMSEitiiTxxT问题的适定性：问题的适定性：人们根据已获取的观测数据和物理规律，列出的数学模型，当这些模型具有下述性质： 1、解存在；、解唯一；、解稳定。则这个问题称为适定性问题。不适定性：不适定性： 不满足上面三个条件中的任意一个或多个。不适定问题通常是病态的，但病态问题不一定就是不适定问题。不不适定问题通常是病态的，但病态问题不一定就是不适定问题。不适定问题通常是求方程的稳定近似解。适定问题通常是求方程的稳定近似解。5 5、什么样的方程可能是病态的？、什么样的方程可能是病态的？1）行列式的值很大或很小（如某些行、列近代相关）；2）元素间相差大数量级，且无规则；3）主元消

31、去过程中出现小主元；4）特征值相差大数量级。1 1、病态方程的截断奇异值解法、病态方程的截断奇异值解法奇异值分解技术奇异值分解技术(Singular Value Decomposintion Technique，简记为，简记为SVD法法)均为正交矩阵。、为半正定的对角阵；式中阵可分解为时，对）当（进行奇异值分解：下面对的广义逆。是为的最小二乘最小范数解是误差向量。得是设计矩阵，已经单位化）：的权阵测值向量设有观测方程（式中观VUVUAAtnppArankAAALAxxeAeLxAPLttTtnnntnLS,min)(11n1n1ttn minmax221212121,:. 0),min(,00

32、0AcondAVUvvvVuuuUVUAAAAtnARpdiagDDtniiiTiipptn数与奇异值的关系为：为长方阵时，得其条件：奇异值与条件数的关系见后面算例。阵的计算和阵按列划分，为和将。的关系为：的特征值或与矩阵奇异值阵全部的非零奇异值。是且其中：阵的分块形式为TTTTTTiTTTTTTvvvdduuVUAAuuDAVUUAArankvVVVvvvVvvvAAddAAAAAA32121212111112132132121321000031313102121626161010003212121212121212110031062216121611101012)(,313131,0212

33、1,6261611,3,0,1,3211110101110101的奇异值分解为从而可得），则的个数所占的，（令别为的正交单位特征向量分且。的奇异值为故的特征值为，得解：因为的奇异值分解。例：求矩阵 。近似秩亏的线性方程组法可解算满秩、秩亏和看出，由，而的通解为：线性方程组组的数值稳定的方法。、特别是线性病态方程分解法是求线性方程组，可见奇异值超过时，奇异值的变化不会有扰动此特性说明当矩阵，有，则对均属于与若、奇异值分解的扰动。SVDVUAtnpdiagDDUVVUALAxLAxEEAEAEAtptnREAATpntTTpptn11121111122,min,000, 2 , 13件数，提高了稳

34、定性。很强的约束，降低了条这相当于舍去了相关性及其相关的特征向量，的奇异值，舍去小于值截断原则：选择一个阈程的截断奇异值法解：步对其截断，得病态方在第得解为：的奇异值分解式可写为相应地，阵的奇异值为：则，且有的特征值为设inTinTitiitTnpinTitiitLSpiTiiiTpppiLuvxTLuvLAxuvUVAAApiA11111111111111221121,0, 2 , 1通过截断，适当去除（通过截断，适当去除（t-T）个大误差项，恢复了一些解的主要特）个大误差项，恢复了一些解的主要特性，但也丧失了一些解的精确性。性，但也丧失了一些解的精确性。47 均为单位阵）内容岭估计。（以下

35、时，正则化估计也称为正则化矩阵。当满足正则化参数光滑函数。RIRRTikhononvxxRxPVVxTT02min2 2、病态方程的正则化解法、病态方程的正则化解法）式：的正则化准则作用于（，此时可取的特征值单调地趋向于若上式病态，则法矩阵）（有误差方程：101TikhonovNlxBVPlBIPBBxTtT1得正则化参数解为： 可见 ，正则化方法的核心是通过附加“全部或部分参数（或其改正数）加权平方和极小”的条件，增加约束，补充（先验）信息，来克服不适定性，使解唯一且稳定。48 QIIINQNQQxxQNQQxMSEMxQxxExBiasxBiasxxBlElIPBBQlxBVPlBQxINQtttTnTTt其中考虑了：阵为评定精度的均方误差矩为的偏差值有参数的期望值与其真考虑为参数估值及残差可表示设,2201 正则化解的残差及自由度与最小二乘解不同，因此其单位权方差估计式也不同。 2022201222:QtrtnPDtrBNQBQ