材料力学静不定ppt

1、材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院1一、静定静不定概念一、静定静不定概念 1、静定问题静定问题仅用静力平衡方程就能求出全部未知力，仅用静力平衡方程就能求出全部未知力， 这类问题称为静定问题这类问题称为静定问题. 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。2、静不定问题静不定问题仅用静力平衡方程不能求出全部未知力仅用静力平衡方程不能求出全部未知力， 又称超静定问题。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。第六章第六章 简单超静定问题简单超静定问题 6.2

2、 概述及拉压静不定问题概述及拉压静不定问题材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院23、静不定次数：静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差，未知力数目与平衡方程数目之差， 也是需要补充的方程数目。也是需要补充的方程数目。未知力：未知力：4个个平衡方程：平衡方程：2个个静不定次数静不定次数 = 42 = 2需要补充需要补充2个方程个方程此结构可称为此结构可称为2 2次静不定结构次静不定结构材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院35、多余约束力：多余约束力：多余约束提供的约束力。多余约束提供的约束力。 静不定次数静不定次数 = 多余约束力数目多余约束力数目4、多

3、余约束：多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束，若没有这结构保持静定所需约束之外的约束，若没有这 些约束结构也能保持一定的几何形状。些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定静定)材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院4二、拉压静不定问题的解法二、拉压静不定问题的解法 1、判断静不定次数；、判断静不定次数； 2、列静力平衡方程；、列静力平衡方程； 3、列几何方程：、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系反映各杆变形之间的几何关系(变形协调方变形协调方 程程)，具体问题具体分析，具体问题具体分析，一般通过一般通过“变形几何图变形几何图”列方程。列方程。 特别注意：力与变形相对应

4、！特别注意：力与变形相对应！ （即杆件的（即杆件的伸长伸长或或缩短缩短必须与受力图的杆件的必须与受力图的杆件的拉拉压压对应）对应） 4、列物理方程：变形与力的关系；、列物理方程：变形与力的关系； 5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得补充方程、列补充方程：物理方程代入几何方程即得补充方程。 材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5 2D Dl2=D Dl1 +D Dl3 2(D Dl2+D Dl1 ) = D Dl3 +D Dl1 2(D Dl2+D Dl3 ) =D Dl1 +D Dl3几何方程几何方程图示静不定结构，图示静不定结构，可列如右变形图。可列如右变形图。F刚刚

5、 体体aa123（a）l1l2l3（b）l1l2l3（c）l1l2l3材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院6还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。对应受力图对应受力图FFN1FN2FN3（b）FFN1FN2FN3（c）FFN1FN2FN3（a）（a）l1l2l3（b）l1l2l3（c）l1l2l3材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院7D Dl3D Dl2FABCD300300l图示支架承受力图示支架承受力F 作用，作用，杆的抗拉刚度杆的抗拉刚度为为EA，杆的杆的抗拉刚度为抗拉刚度为1.5EA，

6、杆的杆的抗拉刚度为抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。求各杆的轴力。解：平衡方程为解：平衡方程为AFFN1FN2FN300N1N2N300N1N3cos30cos300sin30sin300FFFFFF变形协调方程变形协调方程AD Dl13003003003003000320210020cot30sin30()cos30tan30sin30lllllDDDD D化简得化简得2133 lllD D D材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院8物理关系为物理关系为N1N3N212322331.52FlFlF llllEAEAEAD DD，代入变形协调方程得补充方程代入变形协调方程得补充

7、方程N2N1N322FFF联立平衡方程求得联立平衡方程求得N1142 30.7623FFFN23 320.1423FFFN3322 31.24 ( )23FFF求拉压静求拉压静不定结构不定结构注意事项注意事项内力假设与变形假设应一致。内力假设与变形假设应一致。内力假设受拉，变形只能假设伸长。内力假设受拉，变形只能假设伸长。内力假设受压，变形只能假设缩短。内力假设受压，变形只能假设缩短。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院9OAB为刚性梁，为刚性梁，写几何方程。写几何方程。llF450OABlllFa aOABlb bCOAB为刚性梁，为刚性梁， 、两杆材料相同，两杆材料相同

8、，抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。D Dl1D Dl2212sin45llD DD Dl1122sinsinllabDDN1N2122()()coscosFFllllEAEAabD D，N1N222sincossincosFlFlEAEAaabbN1N2sin2sin2FFab材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院10aaF450OABOAB为刚性梁，为刚性梁，、两杆材料相同，两杆材料相同，EA2=2EA1。求。求杆与杆与杆的应力之比。杆的应力之比。D Dl1D Dl2解：变形协调关系解：变形协调关系2102sin45llD D212llDD即即由

9、物理关系建立补充方程，考虑对由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联取矩得平衡方程，联立求出两杆轴力，再求应力后得结果。立求出两杆轴力，再求应力后得结果。小技巧小技巧2112121122llllllDDD22111EE材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院11内力按刚度比分配。内力按刚度比分配。思考：静定结构是否也是这样？思考：静定结构是否也是这样？刚度较大刚度较大内力较大内力较大静不定结构的特点（静不定结构的特点（1）FABCDaaFABCaa刚度增加刚度增加内力不变内力不变材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院12静不定结构的特点（静不定结构的

10、特点（2） 装配应力装配应力ABCABCD静定结构静定结构 无装配应力无装配应力静不定结构静不定结构 ？产生装配应力产生装配应力材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院13解：因制造误差，装配时解：因制造误差，装配时各杆必须变形各杆必须变形， 因此产生装配内力。因此产生装配内力。一次静不定问题。一次静不定问题。几何方程：几何方程：D Dl1D Dl2 / cosq q =d d平衡方程：平衡方程：FN2=FN3 FN12FN2cosq q=0 已知三根杆已知三根杆EA相同，相同，1杆有制造误差杆有制造误差d d，求装配后各杆的应力。求装配后各杆的应力。d dq q1 12 23

11、 3lABCDq qD Dl1D Dl2FN1AFN3FN2q q q q物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得32N1N2N3332coscos=( )12cos12cosFEAFFEAllqdqdqq 物理方程：物理方程：N2N1123coslFF llllEAEAqD D D注意注意1 1杆变形计算时用杆变形计算时用l材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院14装配应力是不容忽视的，如：装配应力是不容忽视的，如：d d/l=0.001， E=200GPa， q q=30 1 =113MPa ， 2 = 3

12、=65.2MPa 正确正确注意：注意：1杆伸长，只能是拉力，杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短杆缩短 , 应为压力。应为压力。FN1AFN3FN2q q q qFN1AFN3FN2q q q q不正确不正确32123332coscos=12cos12cosEEllqdqdqq材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院15图示悬吊结构图示悬吊结构AB梁刚性，各杆梁刚性，各杆EA相同，杆相同，杆3短短d d，求各杆装配应力。求各杆装配应力。l刚刚 体体123aad dAB解：解：1、平衡方程、平衡方程FN1FN2+ +FN3=0FN1=FN32、几何方程、几何方程D Dl1D Dl2D

13、 Dl312312()()lllldD D D D即即1232llldD DD3、物理方程、物理方程刚刚 体体aABFN3aFN1FN23 3杆用理论长度计算变形杆用理论长度计算变形N1N2N3123F lF lF llllEAEAEAD DD，材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院164、补充方程、补充方程N1N2N32F lF lF lEAEAEAd+补充方程与平衡方程联立解得补充方程与平衡方程联立解得:N1N3N2( )63EAEAFFFlldd ；变形协调关系变形协调关系210()2sin45lldDD平衡方程平衡方程0N1N22sin45FF两杆均为拉力，计算两杆均

14、为拉力，计算杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。13263EElldd ；AB为刚性梁，为刚性梁，写出所需方程。写出所需方程。a2a450Ad dBCD Dl1D Dl2材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院17静不定结构的特点（静不定结构的特点（3） 温度应力温度应力ABCaa升温升温T oC结构不因结构不因温度变化温度变化产生内力产生内力ABCDaa升温升温T oC结构会因结构会因温度变化温度变化产生内力产生内力当温度变化为当温度变化为 D Dt =t2- -t1 时，杆件因温度变化而产生的变形为：时，杆件因温度变化而产生的变形为： 式

15、中：式中：a a 材料的线膨胀系数。材料的线膨胀系数。 tlltaD D材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院18解：受力图如图示（设二杆均受压）解：受力图如图示（设二杆均受压）图示结构，图示结构，EA及线膨胀系数及线膨胀系数a a相同的两杆相同的两杆和和与刚体相连，当杆与刚体相连，当杆温度升高温度升高D Dt度时，两杆的内力和应力分别为多少？度时，两杆的内力和应力分别为多少？ l2lllAAFN1FN2FAxFAy列平衡方程列平衡方程 S SMA=0杆在温度影响下伸长，在轴力作用杆在温度影响下伸长，在轴力作用下缩短，下缩短，杆在轴力作用下缩短。刚杆在轴力作用下缩短。刚体绕体

16、绕A转动，转动，变形几何关系图如图示。变形几何关系图如图示。q qq qD Dl1D Dl2由图可列出变形几何关系方程由图可列出变形几何关系方程 2D Dl1=D Dl2N1N212F lF lll tlEAEAaD D D，22FlFlFF N1N2N1N2得得N1N222F lF ll tEAEAaD 结合平衡方程，求得结合平衡方程，求得N11N2244552255FEAtEtFEAtEtaaaaD DD D材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院19刚性梁刚性梁AB悬挂于三根平行杆上。悬挂于三根平行杆上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，d d=0.2m。

17、1杆由黄铜制成，杆由黄铜制成，E1=100GPa，A1=2cm2，a a1=16.510-6/ 0C。2和和3杆由碳钢制成，杆由碳钢制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2， A3=3cm2 ，a a2=a a3=12.510-6/0C，F=40kN。 设温度升高设温度升高20 0C，求各杆的应力。，求各杆的应力。l刚刚 体体123abd dABcFFN2abd dABcFFN1FN3解：平衡方程为解：平衡方程为FN1+FN2+FN3F=0FN1a+Fc FN3b=0变形协调方程为变形协调方程为2131llallabdDDD DD Dl1D Dl2D Dl3材料力学材料力学中南大学土木工

18、程学院中南大学土木工程学院20物理方程为物理方程为N11111N22222N33333F llTlE AF llTlE AF llTlE AaaaD DDDDD物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得：物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得： FN1=7.92kN，FN2=10. 2kN，FN3=21.9kN由此求得应力为由此求得应力为 1=39.6MPa， 2=102MPa， 3=73MPaFN2abd dABcFFN1FN3D Dl1D Dl2D Dl3材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院21解解: : 受力分析受力分析, ,建立平衡方程建

19、立平衡方程0 0 (a)xABMMMM未知力偶矩未知力偶矩2 2个，平衡方程个，平衡方程1 1个，一次超静定个，一次超静定变形分析变形分析, ,列变形协调方程列变形协调方程0 (b)ABM aM b联立求解方程联立求解方程(a)(a)与与(b)(b)建立补充方程建立补充方程代入上式代入上式1pp()AACTaMaGIGI2ppBCBT bM bGIGI0ABACCB ABMbMaMMabab，试求图示轴两端的约束力偶矩。试求图示轴两端的约束力偶矩。6.36.3 扭转扭转超静定问题超静定问题材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院22AB设有设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶两个凸

20、缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这时把一个的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除M。设轴和圆筒的抗扭刚度。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是分别是G1Ip1和和G2Ip2，试求轴内和筒内的扭矩。，试求轴内和筒内的扭矩。MM解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶M解除后，圆轴必然力图恢解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩矩T1和和T2。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力

21、偶矩作用，平衡。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡方程为方程为T1T2T1- -T2=0材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院23焊接前轴在焊接前轴在M作用下的扭转角为作用下的扭转角为1 p1MlG IMM 2 112变形协调条件变形协调条件111 p1TlG I222p2T lG I121 p12p21 p1TlT lMlG IG IG IT1T2=02p2121p12p2MG ITTG IG I材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院24一、相当系统的建立一、相当系统的建立 1、相当系统的特点：、相当系统的特点： 静定结构；静定结构；

22、含有多余约束力；含有多余约束力； 主动力与原结构相同。主动力与原结构相同。 2、建立相当系统的步骤：、建立相当系统的步骤： 判断静不定次数；判断静不定次数； 解除多余约束，代之以多余约束力；解除多余约束，代之以多余约束力； 其余照原问题画。其余照原问题画。 6.4 6.4 弯曲简单超静定问题弯曲简单超静定问题材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院25解：解：建立相当系统建立相当系统=处理方法：变形协调方程、物理方程处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。与平衡方程相结合，求全部未知力。确定静不定次数，用多余约束力代确定静不定次数，用多余约束力代替多余约

23、束所得到的静定结构替多余约束所得到的静定结构原结构的相当系统。原结构的相当系统。B画出图示静不定结构的弯矩图。画出图示静不定结构的弯矩图。qlAEIMAqlAEIB或或FBqlAEIB几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程0BBBqBFwww物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系3483BBBqBFF lqlwwEIEI ；材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院26补充方程补充方程34083BF lqlEIEI38BqlF求解其它问题（应力、变形等）求解其它问题（应力、变形等）FBqlAEIB+=FBlAEIBqlAEIBM220.1258qlql2290.07031

24、28qlql38lBqlAEI弯矩图弯矩图材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院27ABClld dllABCd d超静定梁的装配应力超静定梁的装配应力图示三支座等截面梁，由于制造不精确，轴承有高低。已知梁的抗弯图示三支座等截面梁，由于制造不精确，轴承有高低。已知梁的抗弯刚度刚度EI及及d d和和l ，求两种情况下的最大弯矩。，求两种情况下的最大弯矩。BBd dAClld dBFBllACFBB解：各梁的相当系统如图解：各梁的相当系统如图3(2 )482BFlEId3(2 )48BFlEId33BEIFld36BEIFldmax22342BF lEIMldmax2234BF

25、lEIMld材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院28323333RRR( )( )51322 ()332234864BllFFF lFllFlFlwEIEIEIEIEIEI悬臂梁悬臂梁AB，用短梁，用短梁DG加固，试分析加固效果加固，试分析加固效果。P209，6-17解：解：1 1、静不定分析、静不定分析CGww3233RR( )()( )( )(52)222232348CllllFFFFF lwEIEIEIEI33RR()2324GlFF lwEIEIR54FF 2、加固效果分析、加固效果分析最大弯矩减少最大弯矩减少 62.5%与与 相比，减少相比，减少39.1%33Fl

26、EIFl加固前加固前加固后加固后38Fl材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院293N/ 2 3BFFlwEINN22FlF llEAEAD 3NN223FFlF lEIEA2N226 2FAlFIAl悬臂梁同时受拉杆约束，悬臂梁同时受拉杆约束，试求杆试求杆BC的轴力的轴力。2BwlD解：梁弯曲时的轴向变形一般忽略不计解：梁弯曲时的轴向变形一般忽略不计如考虑梁的轴向变形，如何求解如考虑梁的轴向变形，如何求解? ?解除约束代约束力并考虑变形几何关系。解除约束代约束力并考虑变形几何关系。BBD DlCBD DlABwB材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院30梁

27、梁AB和和BC在在B处铰接，处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 FB FBwB1wB2解：解除解：解除B处约束代之以约束力，使超静处约束代之以约束力，使超静 定结构变成两个悬臂梁。定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BBww物理关系物理关系3414483BBFqwEIEI33224222323BBFFFwEIEIEI 物理关系代入变形协调方程得补充方程：物理关系代入变形协调方程得补充方程：334334442283323BBFFqFFEIEIEIEIEI8.75

28、kNBF 材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院31由此可以确定由此可以确定A端和端和C端的约束力。端的约束力。FAFCMCMA125kN m71.25kNAAMF115kN m48.75kNCCMFFS（kN）71.258.7548.754.4375mM（kNm）12511517.51.91材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院32长为长为l，刚度为，刚度为EI的梁两端固定，承受均布荷载作的梁两端固定，承受均布荷载作用，画出梁的弯矩图并求跨中的挠度。用，画出梁的弯矩图并求跨中的挠度。P208，6-15lqABC解：此结构为对称结构承受对称外力作用，解：此结

29、构为对称结构承受对称外力作用，所以在对称轴处对称内力所以在对称轴处对称内力(弯矩弯矩)不等于零，不等于零，反对称内力反对称内力(剪力剪力)等于零。对称轴处对称位等于零。对称轴处对称位移移(挠度挠度)不等于零，反对称位移不等于零，反对称位移(转角转角)等于等于零。于是相当系统如图所示。零。于是相当系统如图所示。l/2qACMCwC补充方程为补充方程为3( 2)( 2)06CCMlq lEIEIq跨中挠度为跨中挠度为244( 2)( 2)82384CCMlq lqlwEIEIEI 224ql212ql212qlM图图224CqlM求得求得材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院33

30、解：相当系统如图所示，其变形解：相当系统如图所示，其变形 几何关系为几何关系为202BBBF lM lEIEIq3232BBBF lM lwEIEI Dmaxmax226/23MEIhE hWlIlDD0=BBwqD，26EIlD26EIlDM图图P209，6-19maxmax22212/26MEIrE rWlrIhldddD ， = ；高度为高度为h的的等截面梁两端固定等截面梁两端固定, ,支座支座B下沉下沉D D，求，求 max=?=?32126 BBEIEIFMllDD，求得求得材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院34lABq qFAMA解：解除解：解除A端约束，并代之以端约