第五章 对流-扩散方程的离散格式.

1、热流问题的数值计算热流问题的数值计算Numerical Simulations of Thermal & Fluid Problems第五章第五章 对流对流扩散方程的离散格式扩散方程的离散格式主讲主讲 李炎锋李炎锋2008年7月 北京5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散格式 非线性对流项的处理涉及到对流项的离散格式（物理过程观点：对流作用带有强烈的方向性）； 动量方程的压力梯度项处理涉及到压力与速度的耦合问题。5.1.1 对流项离散格式的重要性对流项离散格式是否合适将会影响： 数值解的准确性（假扩散误差） ； 数值解的稳定性 ； 数值解的经济性 。5.1.2 构造对流项离散格式的两

2、种方式1、Taylor展开方式 对于节点上的一阶导数给出其相应的离散方式，如表5-1。例如：例如：对一维均分网格，节点P一阶导数的 中心差分为：xxxiiWEP22112、控制容积积分方式 将对流项的一阶导数对控制容积P作积分，有： 所谓对流项的离散格式就是如何用相 邻节点上之值来获得 及 的插值方式。eweewdxxw由上式：如将界面上分段线性的型线代入上式，得dxxxxewwe1xxxPEWPPElinearwe22/ )(2/ )(3、两种定义方式之间的关系 对某种对流项的离散格式，都可以从两种方法来给出其相应的定义； 两种定义方式给出的格式的截断误差的阶数一般地说是一致的； 两种定义方

3、式所逼近的量实际上有一定区 别。Taylor展开法逼近的是在P点的导数值，而控制容积积分法所逼近的是在该控制容积内导数的积分平均值。5.2 对流项的中心差分与迎风格式 5.2.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解一维稳态无内热源的对流-扩散问题的控制方程： 若边界条件为：x = 0， ；xL， 。)()(dxddxdudxd0L则方程的解为： 其中Peclet数 。Pe数表示对流与扩散作用的相对大小.当Pe的绝对值很大时，导热或扩散作用就忽略.1)exp(1)/exp(1)exp(1)/exp(0PeLPexuLuxLuLPe5.2.2 对流项的中心差分1、定义及系数的构成 用控制容积积分法

4、时，中心差分相当于界面上取分段线性的型线。将控制方程对控制容积P作积分，对均分网格，离散方程为：)(21)()(21)()()(21)()(21wwwweeeEwwweeePuxuxxuxu 令 ， （扩导）则上式可变为： 式 在数值计算中，若连续性方程始终得到满 足，aP仍为相邻各系数的和。aE, aW包括了扩散与对流作用的影响。 uFxDWWEEPPaaaeeEFDa21wwWFDa21pEWaaa2、特性分析 网格Pe数： 常物性下(1)式可写为： xuP2)211 ()211 (WEPPP5.2.3 对流项的迎风格式1、两种离散方式下的迎风格式 Taylor展开法 （如下图） 以流动方

5、向而言，P点的一阶导数永远是该方向上的向后差分，永远从上游获取构成一阶导数所必须的信息 对多维问题，用此方法构造的对流项的离散格式，只有在求解区域内流速不发生逆向时，所形成的离散方程才具有守恒性。 0011iiiiiiiuxuxdxd，2、控制容积积分法定义规定界面上的未知量恒取上游节点的值 e界面上：w界面上： 与中心差分格式的区别：迎风差分界面上的未知量恒取上游节点的值，而中心差分取的是上、下游节点的算术平均值。 Eepeuu, 0, 0；PwWwuu, 0;, 00 , 0 ,) 0 ,max() 0 ,max()(eEePeEePeeeFFFFFu0 , 0 ,) 0 ,max() 0

6、 ,max(wWwWwPwWwwwFFFFFu2、采用迎风格式的模型方程离散形式 用迎风方式离散对流项，二阶导数项仍采用分段线性，则模型方程的离散形式可写为：WWEEPPaaa0 ,eeEFDa0 ,wwWFDa)(weWEPFFaaa5.2.4 中心差分及一阶迎风格式的讨论1、在对流项中心差分的数值解不出现振荡的参数范围内，在相同的网格节点数下，采用中心差分的计算结果要比采用迎风差分的结果误差更小；2、一阶迎风格式离散方程的系数aE及aW永远大于零，因而无论在任何条件计算下都不会引起解的振荡，永远可以得出看似合理的解；3、由于一阶迎风的截差阶数低，除非相当密的网格，其计算结果的误差较大； 4

7、、一阶迎风格式的使用时间为构造性能更优良的离散格式提供了有益的启示：应当在迎风方向上获取比背风方向上更多的信息以较好地反映对流过程的物理本质；5、在软件的调试过程中，一阶迎风由于其绝对稳定的特性仍有其应用价值。 5.3 对流-扩散方程的混合格式及乘方格式 5.3.1 系数aE与aW之间的内在联系 中心差分(CD):对同一界面 ， 于是有： )211 (21eeeeEPDFDa)211 (21wwwwWPDFDaPPPweDDDwePPPDiaDiaEW)211 ()211 ()() 1(迎风差分(FUD)：对同一界面，有：只要知道 或 中的一个，就可算出另一个。0 ,10 ,eeeeEPDFD

8、a0 ,10 ,wwwwWPDFDaPPPDiaDiaEW0 ,10 ,1)() 1(eEDawWDa5.3.2 混合格式 (hybrid scheme) 对一维问题而言，对流项与扩散项均为中心差分的格式在P2时会引起解的振荡 。如果把一维模型方程的精确解应用于两个相邻的节点之间，发现界面上的扩散作用与P有关。 P绝对值越大，扩散作用越小，扩散作用相对于对流作用越小。 混合格式综合了中心差分和考虑迎风作用两方面的因素，定义式为： 0,211,22221120eeeeeeeeEPPPPPPPDa5.3.3 指数格式（exponential scheme）1、对流-扩散总通量密度 定义：定义：总通

9、量密度是指单位时间内、单位面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。dxduJ对控制方程：一维、稳态、无内热源问题的总通量为： )()(dxddxdudxdtconsJdxdJtan0，2、节点值表示的界面总通量密度计算式将分析解 代入通量密度定义式得： 1)exp(1)/exp(1)exp(1)/exp(0PeLPexuLuxL1)exp(00PeFJL把式（2）用于计算界面总通量密度Je, Jw:对Je： 对Jw： eELPxL,0，1)exp(eEPPeePFJ wPLWxL,0，1)exp(wPWWwwPFJ 对于控制容积P，代入对Je、 Jw的表达式整理得：令： ； 则1)

10、exp()exp(1)exp(1)exp(11)exp()exp(wwwWeeEwweeePPPFPFPFPPF1)exp(eeEPFa1)exp()exp(wwwWPPFa)(weWEPFFaaa5.3.4 乘方格式(Power-law scheme) 由于指数格式的计算量较大，Patankar提出了与指数格式接近的乘方格式： 见下页表格： eeeeeeeeeeeEPPPPPPPPPPDa, 0)1 . 01 ( , 010,010,)1 . 01 (100,)1 . 01 (10, 05555.3.5 5种三点格式系数计算式的汇总 不同格式离散方程的形式相同，但系数不同。具体见下表51：5

11、.4 对流-扩散方程5种3点格式系数特性的分析5.4.1 通量密度及其离散表达式 由于 所以)/(*xJJ)/(xxddPxdxduJ)/()/(*xxddPxJJ如图界面上的表达式为：1*iiABJ5.4.2 系数A、B间关系的分析1、和差特性 当 时，界面上的扩散通量零，1ii1*iiPPJPAB2、对称特性 对于坐标系I，C位于界面之后，而D位于界面之前，于是： 对于坐标系II，D位于界面之后，而C位于界面之前，于是： 由于 DCPAPBJ)()(*CDPAPBJ)()(*JJ)()()()(PBPAPAPBDC要使此式对任何，的组合都成立，只有 ： ，即： ，即： 如下图：0)()(P

12、APB)()(PAPB0)()(PBPA)()(PBPA5.4.3 系数特性的推论 对5种3点格式的任何一种，若在P 0时，A(P)的计算式为已知，则在 的范围内，A(P)，B(P)的计算式均可得出。对于A(P)：当P 0 或P 0），则有：22xxut211211126632xxutninininininininini 设初场均匀为零，在n时刻于i点引入一个扰动，在其它地点及其它时刻不再引入扰动，利用上述格式分析在(n+1)时刻在(i 1)点处扰动传递的情形； 从物理条件来考虑，要求： （即 与 的正负号应相同） 由于模型方程为线性方程（，u，均为已知常数），扩散项传递的扰动与对流项传递的扰

13、动可以线性迭加。011nini11nini5.7.4 符号不变原则的实施例子例例3：试分析所代表的三阶迎风格式的稳定性。解：解：将该式对节点(i+1)写出，不计入扩散项， 有： 211211126632xxutnininininininininixutnininininini6632112111所以 对于节点(i-1)，有 所以ninixtu)(11xutnininininini6632321111ninixtu)(3111符号不变原则要求： 由此得 三阶迎风的临界Pelect数为3。0)()(312nininixtxtu3Pxu5.7.5 稳定性分析结果的讨论 如果一个对流项的离散格式具有迁

14、移特性，“符号不变”原则永远满足，因而该格式绝对稳定； 如果一个离散格式所定义的在节点i的一阶导数表达式或在(i+1/2)，(i-1/2)界面上函数插值的表达式含有下游的节点值，且其系数为常数，则该格式不具有迁移特性，该格式也必是条件稳定的； 对流项离散格式定义式中下游节点值的系数越小，该格式的临界Pelect数越大。中心差分中下游节点项为 ,系数为1/2，QUICK格式中下游节点项为 ,系数为3/8,三阶迎风中下游节点项为 ,系数为2/6，Fromm格式中下游节点项为 ,系数为1/4， 21i2, crcP831i3/8, crcP621i3, crcP41i4, crcP上述分析是在下列条

15、件下作出的：（1）一维；（2）线性问题（，u，均为已知常数）；（3）无源项；（4）两点边值问题；（5）均匀网格。5.7.6 对流项离散格式性能讨论（1 1） 在满足稳定性条件的范围内，一般地说，截差较高的格式解的准确度要高一些； （2 2）采用非组合格式时，对流-扩散方程差分格式的稳定性与准确性常常相互矛盾，准确性比较高的格式，都不是无条件稳定的，而假扩散现象 相对严重的一阶迎风则是无条件稳定的；（3 3）现有分析格式稳定性的各种方法都基于5个假设，所得出的稳定性条件是最苛刻的要求。5.8 多维对流-扩散方程的离散及边界条件 的处理 5.8.1 二维对流-扩散方程的离散1直角坐标系中的对流-扩

16、散方程Syyxxvyuxt)()()()()(引入在x与y方向的对流-扩散总通量密度，则上式变为：即Syvyxuxt)()()(SyJxJtyx2.用控制容积积分法进行离散对控制容积P作时间与空间的积分，假设 以 近似地替代 ； 在x与y方向上的总通量密度Jx, Jy在各自的界面e, w及n, s上是均匀的，于是有： tPP0)()(t )(wewxexwxnsexnswexJJyJJdyJJdxdyxJ )()(其中 分别代表x方向上在e界面及w界面上的转移量，而 则是总面积y上的转移量。 则可得：V为控制容积得体积， 。wxexJJ，0PPPCSSSSVSSJJJJVtPPCsnwePP)

17、()()()()(0yxVweJJ，35种三点格式的界面总通量表达式对Je :)()()()()()()(*eePeePeeEePeeeEePeeeePADPDPADDPAPPADPAPBDJJ即： 对Jw 即： NNPnNnEPeEeaFaJaFaJ)()(wwPewWwwwPwWwwwwPDPBDPBDDPAPBDJJ)()()()(*PSSSSsPwWWWwFaaJFaaJ)()(4五点格式的通用离散方程将Js, Jn, Je, Jw的表达式代入离散方程，得:其中baaaaaNNSSWWEEPP0 ,)()(0 ,)()(wwwwwWeeeeeEFPADPADaFPADPADatVcaV

18、SaaaaaaaVSbFPADPADaFPADPADaPPPPSNWEPPPCsssssSnnnnnN)(0 ,)()(0 ,)()(00005. 3种二维坐标系中界面流量、扩导及体积的计算式5.8.2 三维对流-扩散方程的离散格式其中其中baaaaaaaBBTTNNSSWWEEPP0 ,)()(0 ,)()(0 ,)()(0 ,)()(sssssSnnnnnNwwwwwWeeeeeEFPADPADaFPADPADaFPADPADaFPADPADatVcaVSaaaaaaaVSbFPADPADaFPADPADaPPPPSNWEPPPCbbbbbBtttttT)(0 ,)()(0 ,)()(0000界面上的流量及扩导的计算式： nnnnnwwwwweeeeey