H-F定理及其推广与应用

1、H-F定理及其推广与应用林启民（山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同，037009）摘要：本文论述了量子力学中的HF定理的内容和应用,重点阐述了HF定理在一些问题中的应用，如证明一些定理，求解能级问题，力学量的平均值问题等。并在此基础上对HF定理加以推广，得出它的推广式，而且进一步讨论和探讨推广式的应用。关键词：量子力学；HellmannFeynman定理；平均值；能级；一维谐振子；推广；量子散射；Berry相因子目录引言11HF定理及其应用11.1HF定理的导出11.2HF定理的应用22HF定理的不含时推广及应用72.1不含时推广式的导出72.2不含时推广式应用83HF定理的含时推广及应

2、用探讨104小结14参考文献15引言HellmannFeynman定理(简称HF定理)发表在20世纪30年代末，它的应用相当广泛，既可以用来作理论分析，又可以用来计算力学量的平均值。量子力学中有许多复杂的问题，利用HF定理去求解比直接用量子力学公式去求解要简单方便得多。本文将首先介绍HF定理，并讨论它在一些具体问题中的应用，然后在它的基础上加以推广，得出它的推广式，并加以具体应用。1HF定理及其应用关于物理体系的能量本征态（束缚态），有许多定理，其中最重要、应用最广泛的大概就是HellmannFeynman定理和维里定理了。HF定理发表于20世纪30年代后期，最初用来讨论量子化学问题的，因此在

3、量子力学教科书中很少提到它。其实这个定理应用极广。1.1HF定理的导出设某量子体系的束缚态能级和归一化波函数为，(为量子数或编号数)，它们是定态薛定鄂方程的解，即满足方程 (1)设为哈密顿算符含有的任何一个参数(如普朗克常数，粒子质量，势能中表征作用强度的参数，等等。)视为参变量，则，均为的函数。(1)式对求导，得到 (2)以左乘上式，既得： (3)(3)式就是HellmannFeynman定理，通常称为HF定理，符号表示态下的平均值.1.2HF定理的应用（1）证明维里定理体系的哈密顿算符可以表示成动能加势能 (4)(4)式中是经典势能，与无关。如视为参变量，根据HF定理，就有 (5)另一方面

4、，如对坐标作尺度变换(这对能级没有影响)，以作为坐标变量，则哈密顿算符可以写成 (6)这时 (7)的本征值仍为，则HF定理给出(8)比较(5)，(8)两式，即得维里定理(9)由于从HF定理可导出维里定理，因此，凡可以用维里定理处理的问题，肯定都可以用HF定理来处理。HF定理远在维里定理之上。某些时候，二定理联合应用，可使问题变得更为简单。（2）HF定理在能级方面的应用用HF定理来求一些束缚态的能级、能级间的关系等很方便，下面介绍几个特别的例子。 将电荷为的一维谐振子放在均匀的电场中，求各个束缚态的能级。体系的算符为：通过计算得到 ，又 ，可得即 而 由HF定理有：所以 时， 故得： 粒子(质量

5、为)作一维运动，哈密顿量为时，已知能级为，。如哈密顿量为(为实数)求能级。视为参变量，则，按照HF定理，应有 (10)另外，利用基本对易关系式，易得在的本征态下，求上式的平均值，应有所以代入(10)式，即得积分，即得（3）用HF定理求某些量的平均值用HF定理，由于不用对能量本征函数作具体计算，解决间题往往比较简单易行，对于较复杂的能量本征函数(诸如类氢原子、谐振子)尤是如此。 一维谐振子的总能量算符为它的能级可以用各种方法求出，为能量本征函数的形式多少有些复杂。但是利用HF定理，很容易求出动能和势能的定态平均值，而用不着的具体函数形式。能量算符中含有三个参数，其中任何一个均可取作HF定理的参数

6、。例如取，按照HF定理(3)式就有所以 (11)如取，则有利用HF定理即得因此， (12)如取，则有由于，故由HF定理可得这和(11)、(12)是一致的。 一维谐振子、的求法一维谐振子的算符为:能级为：取，利用HF定理可得同理，取利用HF定理可求得 。 氢原子问题中、的求法电子(质量，电荷)在原子核(电荷)的库仑场中就构成了氢原子问题(也称类氢离子问题)，若略去原子核运动，则体系的为:能量为：，其中为半径。用HF定理求力学量的平均值时，关键在于参变量的选取.参变量选取后，应使，(为常数)，以便从中得出。为此，选取参变量时，应选取项中含有，而其他项中不含有的参变量，且参变量可以是常量也可以是变量

7、。求：中有项，且和中均不含和。故参变量可选为或。以为参变量，则有：根据HF定理得：同理中含有，且和中不含，视为参变量，得：而求时，从的表达式来看，无论视哪个常数为参变量，均得不出，但证明HF定理时，参量并没有限定一定为常数。也就是说，可取变量，若我们选取，那么就有：由HF定理得2HF定理的不含时推广及应用由HellmannFeynman定理可求出许多力学量的平均值，然而，HF定理的应用也有一定的局限性，特别是关于能量的计算，只有哈密顿量满足一定的条件方可求出。为了扩大其应用范围,就需要由算符对易性质出发,推导出HF定理的推广形式。下面就来讨论HF定理的推广形式及其应用。2.1不含时推广式的导出

8、设是依赖于参量的一个力学量算符,以乘以(1)式得: (13)对(13)式关于求导，得以左乘上式，并假设算符与对易，利用(1)式的共轭方程可得： (14)或这就是HellmannFeynman定理的一个推广形式。2.2不含时推广式应用(1)类氢原子对于类氢原子，哈米顿算符为：取，应用HF定理，得:因而同理，取，可得因此有：若在(14)式中取，分别为，则可求出化简得：利用则可得出：(2)一维谐振子对于一维谐振子,其哈米顿算符和能量本征值为:在(3)式(即HF定理)中取，得所以同理取，可得为了求、，在式(14)中，取，分别取，得利用可以得出3HF定理的含时推广及应用探讨费曼海尔曼公式 (15)在量子

9、力学里得到广泛运用，由于它的重要性，一些人把它推广到含时H-F形式。诸如 (16)和(17)我们希望推得一些形式新颖的含时HF公式。我们把选为实参数对哈密顿做艾米插值。从，(18)我们能看到H-F公式推广在 (19)里是错误的。在这一点上我们以后提供更进一步的物理观点。依据公式(18)，这时一种可能含时哈密顿推广H-F公式选择是(20)然而，我们不久发现它多数时候恒等于0也变的毫无意义。从对易关系的定义，我们能得到(21)另一方面，我们有(22)把(21)和(22)合并，我们可以得到下面的HF推广形式(23)下面介绍几个特例：（） 当时，就变成(24)（） 当且，这样就推回到不含时HF公式：

10、从正常状态我们能写出 ，并且由此导出 (25)然后公式(23)可以简化为 ， . (26)公式(26)证明了我们在公式(20)中的猜测。 一般地，我们令，S是实数带入公式(26)左侧有 . (27)然后推广的HF公式就变成 (28)在对变量t做一周期的积分后有 . (29)众所周知的Berry相位因子是能被定义为单一变量的 , (30)这样就有 , (31) (32)其中代表在相应算符括号内对应操作的量子平均值。不含时的HF公式（）不能直截了当的推广到含时HF公式，我们规定。显而易见在含时量子理论中存在Berry相位因子体现这些不同。公式(32)也体现了我们可以通过参数微分变化的思想求出Ber

11、ry因子的值。 . (33)在量子散射理论里，我们能够得到一个和含时HF公式(23)相一致的式子。它是， (34)推导过程和(23)类似再对时间积分得 (35)现在如果给出的哈密顿量带入，其中V是势能部分，是可供选择参数，然后注意到某时刻波函数与无关上式左边推得 (36)(35)变为 ， (37)(37)式中参数不含，所以其可用在关于势能中参量的S矩阵的敏感性测量，这可能在散射逆问题中得到应用。4小结HF定理是一个应用很广泛的定理，既可以用来作理论分析，又可以用来计算力学量的平均值。量子力学中有许多复杂的问题，利用HF定理去求解比直接用量子力学公式去求解要简单方便得多，本文又把HF定理加以推广

12、，得出了一个不含时推广公式和一个含时推广公式，应用就更为广泛。希望通过对本文提及的方法思想更好的掌握,对HF定理有更深认识理解和在更广领域的运用。参考文献：1钱伯初. 量子力学M. 北京：高等教育出版社,2006.2钱伯初. 氢原子问题中，；，等平均值的计算方法J.大学物理,1986,5(10).3曾谨言. 量子力学(第四版,卷I)M. 北京：科学出版社,2007.4曾谨言,钱伯初. 费曼海尔曼定理在教学中的应用J. 大学物理,1986,5(3).5钱伯初,曾谨言. 量子力学习题精选与剖析(上册)M. 北京：科学出版社,1999.6钱伯初,曾谨言. 量子力学习题精选与剖析(下册)M. 北京：科

13、学出版社,1999.7曾谨言,钱伯初. 量子力学专题分析(上)M. 北京：高等教育出版社,1990.8 Merlbacher E.Quantum MechaniesM. NewYork：Wiley,1961,396.9 Balasubramnian S.Note on Feynman theoremM. Am J Phys,1984,5210 Feynman R P.Force in Molecules. Phys Rev,1939,56:34011 Aizu K.Parameter Differentiation Of Quantum-mechanical Linear Operators.

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16、on of its promotionLin qimin（School of Physics and Electronics Science, Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）Abstract: This paper discusses the content and application of quantum mechanics in the H - F theorem, expounds the application of H - F theorem in a number of issues, such as the proofs of some theorems, solving the energy problem, the average of mechanical quantity. And on the basis of generalization of H- F the