浙江省绍兴市中国轻纺城高中2015届高三上学期12月质检数学试卷 Word版含解析

1、2014-2015学年浙江省绍兴市中国轻纺城高中高三（上）12月质检数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1设集合A=x|1x4，集合B=x|x22x30，则A（RB）=( )A（1，4）B（3，4）C（1，3）D（1，2）（3，4）2设a，b，c均为正实数，则“ab”是“acbc”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知，x（，2），则tanx等于( )ABCD4已知函数=( )ABC2D25在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=( )A2B4C5D

2、106关于直线a，b，l以及平面M，N下列命题中正确的是( )A若aM，bM则abB若aM，ba则bMC若aM，bM，且la，lb则lMD若aM，aN则NM7把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )ABCD8在等差数列an中，若，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n=( )A18B19C20D219如图，已知双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ

3、|=1，则双曲线的离心率是( )A3B2CD10定义函数y=f（x），xD，若存在常数C，对任意的x1D，存在唯一的x2D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C已知f（x）=x，x2，4，则函数f（x）=x在2，4上的几何平均数为( )AB2CD4二、填空题（本大题共7小题；每小题4分，共28分把答案填写在答题卷相应位置上）11设函数，则不等式f（x）2的解集为_12设x，y满足，则z=x+y的最小值为_13设等差数列an的前n项和为Sn若S9=72，则a2+a4+a9=_14以点A（1，2）为圆心，半径为1的圆与直线3x4y+1=0相交于A，B两点，则|AB|为_15多面体ABCDA

4、1B1C1D1的直观图，正视图，俯视图，侧视图如下所示则此多面体的体积是_16函数y=ax2（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny1=0上，其中mn0，则的最小值为_17AB为单位圆上的弦，P为单位圆上的动点，设，若M的最大值Mmax满足Mmax，则的取值范围为_三、解答题（本大题共5小题，满分72分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）18（14分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b（1）求角A的大小；（2）若a=1，求ABC的周长l的取值范围19（14分）已知函数f（x）=3x，且f（a+2）=18（1）求3a的值；（2）若m36xf（x

5、）f（ax）2m对任意xR恒成立，求m的取值范围20（ 14分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PA=AB=AC=1，BAC=BAP=120°（1）求证：ABPC；（2）若E为BC的中点，求直线PE与平面PAB所成角的正弦值21已知数列an，an0，aman=2m+n，m，nN*（1）求证：an为等比数列，并求出通项公式an；（2）记数列 nbn，的前n项和为Sn且Sn=n（n+1）an，求22已知椭圆（ab0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e（）若，求椭圆的方程；（）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点若坐标原点O在以MN为

6、直径的圆上，且，求k的取值范围2014-2015学年浙江省绍兴市中国轻纺城高中高三（上）12月质检数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1设集合A=x|1x4，集合B=x|x22x30，则A（RB）=( )A（1，4）B（3，4）C（1，3）D（1，2）（3，4）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A（RB）即可得出正确选项解答：解：由题意B=x|x22x30=x|1x3，故RB=x|x1或x3，又集合A=x|1x4，A（RB）=（3，4

7、）故选B点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2设a，b，c均为正实数，则“ab”是“acbc”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：不等式的解法及应用；简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可解答：解：a，b，c均为正实数，当ab时，acbc成立，由acbc得ab成立，故“ab”是“acbc”的充分必要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键3已知，x（，2），则tanx等于(

8、 )ABCD考点：诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系 专题：计算题分析：利用诱导公式求出cosx的值，结合同角三角函数的基本关系式，求出sinx，然后求出所求结果解答：解：因为，所以cosx=，又x（，2），sinx=，所以tanx=故选D点评：本题考查诱导公式的作用，同角三角函数间的基本关系，考查计算能力4已知函数=( )ABC2D2考点：函数奇偶性的性质 分析：先判断函数的奇偶性，再求解解答：解：f（x）=f（x）=f（x）f（a）=f（a）=故选B点评：本题主要考查奇偶性的定义及选择题的解法5在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=( )A2B4C5D

9、10考点：向量在几何中的应用 专题：计算题；综合题分析：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，CDB=，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出的值解答：解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，AB是RtABC的斜边，以AB为直径的圆必定经过C点设AB=2r，CDB=，则A（r，0），B（r，0），C（rcos，rsin）点P为线段CD的中点，P（rcos，rsin）|PA|2=+=+r2cos，|PB|2=+=r2cos，可得|PA|2+|PB|2=r2又点P

10、为线段CD的中点，CD=r|PC|2=r2所以：=10故选D点评：本题给出直角三角形ABC斜边AB上中线AD的中点P，求P到A、B距离的平方和与PC平方的比值，着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题6关于直线a，b，l以及平面M，N下列命题中正确的是( )A若aM，bM则abB若aM，ba则bMC若aM，bM，且la，lb则lMD若aM，aN则NM考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：证明题分析：观察四个选项，分别涉及线面垂直，线线平行，面面垂直，由相关的条件对四个选项逐一判断即可得出正确选项解答：解：A选项不正确，平行于同一个平面的两条直线可能相交，平行，异面B选项不正

11、确，垂直于一个平面的平行线的直线与该平面的关系可以是平行，相交，或在面内；C选项不正确，由线面垂直的判定定理知，本命题中缺少两线相交的条件，故不能依据线面垂直的判定定理得出线面垂直D选项正确，由aN知可在面N内找到一条直线与a平行，且可以由aM证得这条线与M垂直，如此则可得出面面垂直的判定定理成立的条件故选D点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有较好的空间想像能力以及根据所学的定义定理对相关的命题进行推理论证的能力7把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )ABCD考点

12、：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案解答：解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），

13、且在区间（，）上函数值小于0由此可得，A选项符合题意故选A点评：本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（x+）的图象变换公式等知识点，属于基础题8在等差数列an中，若，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n=( )A18B19C20D21考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得等差数列an递增，结合题意可得a110a10，进而可得a10+a110，由等差数列的性质结合求和公式可得答案解答：解：Sn有最小值，d0，故可得a10a11，又：S20=10（a1+a20）=10（a1

14、0+a11）0，S19=19a100S20为最小正值故选C点评：本题为等差数列性质的应用，涉及项的最值问题，属基础题9如图，已知双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是( )A3B2CD考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由|PQ|=1，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论解答：解：由题意，|PQ|=1，APF1的内切圆在边PF1上

15、的切点为Q，根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，|AF1|=|AF2|，AM+F1M=AN+PN+NF2，F1M=PN+NF2=PQ+NF2|PF1|PF2|=F1Q+PQPF2=F1M+PQPF2=PQ+NF2+PQPF2=2PQ=2，|F1F2|=4，双曲线的离心率是e=2故选：B点评：本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于基础题10定义函数y=f（x），xD，若存在常数C，对任意的x1D，存在唯一的x2D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C已知f（x）=x，x2，4，则函数f（x）=x在2，4上的几何平均数

16、为( )AB2CD4考点：函数的值 专题：压轴题；新定义分析：根据已知中对于函数y=f（x），xD，若存在常数C，对任意x1D，存在唯一的x2D，使得 ，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=x，D=2，4，代入即可得到答案解答：解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为C的定义，结合f（x）=x在区间2，4单调递增则x1=2时，存在唯一的x2=4与之对应故C=2 故选C点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最

17、小值的几何平均数，是解答本题的关键二、填空题（本大题共7小题；每小题4分，共28分把答案填写在答题卷相应位置上）11设函数，则不等式f（x）2的解集为0，+）考点：指、对数不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点 专题：计算题分析：根据题意，分情况讨论：x1时，f（x）=21x2；x1时，f（x）=1log2x2，分别求解即可解答：解：x1时，f（x）=21x2，解得 x0，因为x1，故0x1；x1时，f（x）=1log2x2，解得x，故x1综上所述，不等式f（x）2的解集为0，+）故答案为：0，+）点评：本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大12设x，y满

18、足，则z=x+y的最小值为2考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；数形结合分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2故答案为：2点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解13设等差数列an的前n项和为Sn若S9=72，则a2+a4+a9=24考点：等差数列的性质；数列的求和 专题：计算题分析：先

19、根据等差中项性质可知S9=9a5，进而求得a5，最后根据a2+a4+a9=（a2+a9）+a4=（a5+a6）+a4=3a5，求得答案解答：解：an是等差数列，S9=9a5，a5=8a2+a4+a9=（a2+a9）+a4=（a5+a6）+a4=3a5=24故答案为：24点评：本题主要考查等差数列中等差中项的性质，即在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍14以点A（1，2）为圆心，半径为1的圆与直线3x4y+1=0相交于A，B两点，则|AB|为考点：直线与圆相交的性质 专题：直线与圆分析：求出圆心与直线的距离，通过圆心距与半

20、径半弦长的关系，求出弦长即可解答：解：圆心到直线的距离为：d=|AB|=2=故答案为：点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，勾股定理的应用，点到直线的距离的应用，考查计算能力15多面体ABCDA1B1C1D1的直观图，正视图，俯视图，侧视图如下所示则此多面体的体积是a3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，先求出三棱锥的体积，然后利用长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积即可求出所求解答：解：该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，每个三棱锥的体积都为=a3此多面体的体积 V=a34a3=a3故答案为：a3点评：本题主要考查

21、了多面体的体积，三棱锥的体积，确定多面体为长方体削去四个全等的三棱锥是关键，属于中档题16函数y=ax2（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny1=0上，其中mn0，则的最小值为8考点：基本不等式；指数函数的单调性与特殊点 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：利用a0=1（a0且a1）可得函数y=ax2（a0，a1）的图象所过的定点A，代入直线mx+ny1=0可得m，n的关系，再利用基本不等式可得的最小值解答：解：当x=2时，y=a22=1，函数y=ax2（a0，a1）的图象恒过定点A（2，1）点A在直线mx+ny1=0上，2m+n=1mn0，=2+2+=8，当且仅当

22、n=2m=时取等号因此的最小值为8故答案为8点评：本题考查了a0=1（a0且a1）的性质、基本不等式的性质和直线过定点问题，属于基础题17AB为单位圆上的弦，P为单位圆上的动点，设，若M的最大值Mmax满足Mmax，则的取值范围为（0，考点：向量在几何中的应用；向量的模 专题：计算题；平面向量及应用分析：设=，则=|，点C在直线AB上，故f（）的最小值M为点P到AB的距离，由此可得结论解答：解：设=，则=|，=，点C在直线AB上，f（）的最小值M为点P到AB的距离，Mmax，|AB|2=|AB|的取值范围是（0，故答案为：（0，点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础

23、题三、解答题（本大题共5小题，满分72分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）18（14分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b（1）求角A的大小；（2）若a=1，求ABC的周长l的取值范围考点：正弦定理；余弦定理 专题：计算题；转化思想分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，然后利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简可得cosA=，进而求出A（2）首先利用正弦定理化边为角，可得l=1+，然后利用诱导公式将sinC转化为sin（A+B），进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin（B+），从而转化成三

24、角函数求值域问题求解；或者利用余弦定理结合均值不等式求解解答：解：（1）acosC+c=b，由正弦定理得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，即sinAcosC+sinC=sinB，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinC=cosAsinC，sinC0，又0A，（2）由正弦定理得：b=，c=，l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=1+（sinB+sin（A+B）=1+2（sinB+cosB）=1+2sin（B+），A=，B，B+，故ABC的周长l的取值范围为（2，3（2）另解：周长l=a+b+c=1+b+c，由（1）及余弦定理a2=b2+c2

25、2bccosA，b2+c2=bc+1，（b+c）2=1+3bc1+3（）2，解得b+c2，又b+ca=1，l=a+b+c2，即ABC的周长l的取值范围为（2，3点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力19（14分）已知函数f（x）=3x，且f（a+2）=18（1）求3a的值；（2）若m36xf（x）f（ax）2m对任意xR恒成立，求m的取值范围考点：函数恒成立问题 专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）利用函数f（x）=3x，且f（a+2）=18，求出a，即可求3a的值；（2）若m36xf（x）f（ax）2m对任意xR恒成立，则m，

26、即可求m的取值范围解答：解：（1）f（a+2）=18，3a+2=18，a=2，3a=9；（2）a=2代入原式，整理得（36x+2）m27x10恒成立xR，36x+20，m，m点评：本题考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确分离参数是关键20（14分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PA=AB=AC=1，BAC=BAP=120°（1）求证：ABPC；（2）若E为BC的中点，求直线PE与平面PAB所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）过P作PDAB，交BA的延长线于D，连接CD，利用面

27、面垂直，线面垂直，进一步得到线线垂直；（2）由（1）得CD平面PAB，以D为原点，DB，DC，DP分别为x，y，z轴建立坐标系，利用向量与平面PAB的法向量的夹角求值解答：（1）证明：过P作PDAB，交BA的延长线于D，连接CD，如图，平面PAB平面ABC，PD平面ABC，PA=AB=AC=1，BAC=BAP=120°PD=PAsin60°=，AD=，在ACD中，AC=1，AD=，DAC=60°，ADC=90°，故ADCD，BA平面PCD，BAPC；（2）由（1）得CD平面PAB，以D为原点，DB，DC，DP分别为x，y，z轴建立坐标系，则D（0，0，0，），P（0，0，），C（0，0），E（，0）所以，cos=，所以直线PE与平面PAB所成角的正弦值为点评：本题考查了线