第二章推理与证明(2)教师版

1、第二章 推理与证明（2）1由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ） A. 归纳推理 B. 类比推理 C. 演绎推理 D.以上都不是【答案】B 【解析】试题分析：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理。选B。考点：本题主要考查类比推理。点评：简单题，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）

2、用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）2如图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。213 （1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。若将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则=（ ）A. 33 B. 31 C.17 D. 15【答案】B【解析】试题分析：根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据

3、找出总的规律求解即可解：设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数n=1时，h（1）=1； n=2时，小盘2柱，大盘3柱，小柱从2柱3柱，完成，即h（2）=3=22-1； n=3时，小盘3柱，中盘2柱，小柱从3柱2柱，用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成， h（3）=h（2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h（4）=h（3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1，以此类推，h（n）=h（n-1）×h（n-1）+1=2n-1，故答案为31,故选B考点：归纳

4、推理点评：本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键3已知一个命题P(k),k=2n(nN),若n =1,2,1000时,P(k)成立,且当时它也成立,下列判断中,正确的是 ( )A.P(k)对k=2013成立 B.P(k)对每一个自然数k成立C.P(k)对每一个正偶数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立【答案】D【解析】试题分析：由已知中命题p（k），这里k=2n（nN*），当n=1，2，1000时，p（k）成立，并且当n=1000+1时它也成立，可得p（k）对于11000内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可.

5、 解：由于命题p（k），这里k=2n（nN*），当n=1，2，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于11000内的偶数均成立,而对其它数却不一定成立,故p（k）对于k=2002不一定成立，,p（k）对于某些偶数可能成立,p（k）对于每一个偶数k不一定成立,p（k）对于每一个自然数k不一定成立,故选D考点：数学归纳法点评：本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题，注意n只能取部分偶数4把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是( )A. 21 B.28 C.32 D.36【答案】B【解析】试题分析

6、：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和 l是第一个三角形数， 3是第二个三角形数， 6是第三个三角形数， 10是第四个三角形数， 15是第五个三角形数，那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28故选B考点：合情推理点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，易出错，是高考的重点解题时要认真审题，注意总结规律5用数学归

7、纳法证明：，第二步证明“从到”，左端增加的项数是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】试题分析：n=k时，不等式为，当n=k+1时，不等式为，所以左端增加的项数为2项，故选B。考点：本题主要考查数学归纳法。点评：简单题，数学归纳法证明命题，步骤是“两步一结”，关键是应用归纳假设，明确从k到k+1的变化。6利用数学归纳法证明“ ”时，从“”变到 “”时，左边应增乘的因式是 A B C D 【答案】C【解析】试题分析：解：由题意，n=k 时，左边为（k+1）（k+2）（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3）（k+1+k+1）；从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减

8、少一项为（k+1），故选C考点：数学归纳法点评：本题以等式为载体，考查数学归纳法，考查从“n=k”变到“n=k+1”时，左边变化的项，属于中档题7在用数学归纳法证明时，则当时左端应在的基础上加上的项是（ ）A BC D【答案】D【解析】试题分析：时左端为，时左端为，观察式子的变化规律可知是连续的正整数相加，因此需增加的项考点：数学归纳法点评：数学归纳法常用来证明与正整数有关的题目,大致步骤：1，证明n取最小的正整数时命题成立，2，假设时命题成立，借助假设证明时命题成立，由1,2综合得证命题成立8下列推理是归纳推理的是()AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a>|AB|，则P点的轨迹

9、为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积SabD利用等差数列的性质推理得到等比数列的相关性质【答案】B【解析】试题分析：选项A为演绎推理，选项C、D为类比推理，只有B 为归纳推理，选B考点：本题考查了推理与证明点评：熟练掌握归纳推理、类比推理、演绎推理的定义及特点是解决此类问题的关键，属基础题9平面上有个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成块区域,有,则( )A. B.C. D. 【答案】B【解析】试题分析： f(1) = 2 ；假设已经有k个圆，将平面分成了 f(k) 部分，当

10、第 k+1 个圆参与近来时，它与前 k 个圆总共产生 2k 个交点 ，这 2k 个交点将此圆分成 2k 段弧，这 2k 段弧中的每一段都将其所在的原来的一片区域一分为二，故总共增加了 2k 个部分，即 f(k+1) = f(k) + 2k ，即f(k+1) - f(k) = 2k ，由f(1) = 2， f(2) - f(1) = 2，f(3) - f(2) = 4，f(4) - f(3) = 6，.f(n) - f(n-1) = 2(n-1)，以上各式相加，得f(n) =

11、2 + 2 + 4 + 6 + . + 2(n-1) = 。故选B，本题也可用代入检验法考点：本题考查了归纳推理的运用点评：熟练掌握归纳推理的概念是解决此类问题的关键10已知，观察下列式子：，类比有，则是（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：根据题意，对给出的等式变形可得：，x+=类比有a=nn，故选A考点：本题主要考查类比推理的意义，不等式证明。点评：解题的关键在于发现左式中的规律，属于基础题。11已知，且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：在数列an中，且，计算可得：a3=a2a1=63=3，a4=a3a2=36=3，a5=a4a3=33=6，a6=a5a4=6（3

12、）=3，a7=a6a5=3（6）=3，a8=a7a6=3（3）=6，由以上知：数列每六项后会出现相同的循环，所以 a3=3故选A。考点：本题主要考查归纳推理的意义，递推数列。点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）12凸n边形有条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数等于（ ）A B C D【答案】C【解析】解：因为凸n边形有条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数等于，因为第n+1条先与前面的n-1条线分别构成了对角线，故选C13用数学归纳法证明：（）能被整除从假设成立 到成立时，被整除式应为( )A. B.

13、 C. D. 【答案】B【解析】解：因为用数学归纳法证明：（）能被整除从假设成立 到成立时，被整除式应为选B14对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.根据上述分解规律，若n213519, m3(mN*)的分解中最小的数是21，则mn的值为_【答案】15【解析】试题分析：由共有10项相加，则可得，由的分解中最小的数为3，的分解中最小的数为7，且，同理中最小的数为，而，所以，因此.考点：推理与证明15，计算，推测当时，有_【答案】【解析】试题分析：因为，所以当时，有考点：归纳推理16已知，由不等式，.

14、在条件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式 .【答案】【解析】试题分析：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简消去根号，得到右式，则.考点：归纳推理.17观察下列等式：，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n， ；【答案】【解析】试题分析：根据题意，由于下列等式：，由以上等式推测到一个一般的结论：左边为和式，右边为1减去项数加1乘以2的项数次幂的倒数，故可知对于n，考点：归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。18证明不等式：，其中a0【答案】用分析法证明。【解析】试题分析：要证成立，需证需证>因为显然成立，所以原命题成立。考点：本

15、题主要考查不等式证明，分析法。点评：容易题，利用分析法证明不等式，从格式上来说，表述要规范。本题也可转化证明<，两边平方。19用数学归纳法证明等式：对于一切都成立【答案】利用数学归纳法。【解析】试题分析：（1）当n=1时，左边= ，右边=，等式成立。（2）假设n=k时，等式成立，即=，那么n=k+1时，=，这就是说，当n=k+1时 等式也成了故对一切等式都成立。考点：本题主要考查数学归纳法。点评：容易题，利用数学归纳法，可证明与自然数有关的命题，证明过程中，要注意规范写出“两步一结”。 20已知等式对一切正整数都成立，那么的值为多少？【答案】【解析】试题分析：由等式对一切正整数都成立，不

16、妨分别令，得，解得所以所求的的值分别为考点：本题主要考查演绎推理的意义及应用。点评：演绎推理是由一般到特殊的推理。本题因为等式对一切正整数都成立，所以对成立。21（本小题满分12分）数列满足（1）写出并猜想的表达式（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】(1) ，猜想：；(2)证明：见解析。【解析】本试题主要是考查了数列的递推关系式的运用，以及归纳猜想思想的运用，并运用数学归纳法加以证明的综合运用。首先先分析前几项，然后发现规律得到通项公式，分两步进行证明。(1) .（4分）猜想：（6分）(2)证明：i）当时，猜想成立.（8分）ii)假设当时，猜想成立，即那么，当时，这说明当时，猜想也成立.由

17、i），ii)知，对.（12分）22（本小题满分12分）函数数列满足：， （1）求； （2）猜想的表达式，并证明你的结论.【答案】（1） （2）猜想： 下面用数学归纳法证明：见解析。【解析】本试题主要是考查了数列的归纳猜想的数学思想的运用，以及运用数学归纳法来证明与自然数相关的命题的运用。注意n=k和n=k+1式子的变换，同时要用到假设，这是证明中最关键的 两步。解：（1） （2）猜想： 下面用数学归纳法证明：当n=1时，已知，显然成立假设当时 ，猜想成立，即, 则当时，即对时，猜想也成立,由可得成立23 (本小题满分12分)若数列的通项公式，记（）计算的值；（）由（）猜想，并证明【答案】解析：

18、（）. （）. .【解析】本试题主要是考查数列的归纳猜想思想的运用，以及运用了累积法求解积的综合运用。（1）因为数列的通项公式，记，对n令值得到数列的前几项。（2）归纳猜想数列的通项公式，然后利用关系式，结合平方差公式展开得到结论。解：（）.4分（）.8分 .12分24（本小题满分16分）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； （2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. 【答案】（1）S1=a1=1.S2=，S3=，S4=，猜想Sn=（nN*）. （2）见解析【解析】本题主要考查了数列的递推式数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn（2）利用an=Sn-Sn-1，整理出an的递推式，进而用叠乘法求得an（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a