可控性与可观性2010

1、Page: 1现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory可控性和可观测性可控性和可观测性可控性与可观测性定义可控性与可观测性定义连续时间系统的可控性判据连续时间系统的可控性判据输出可控性输出可控性连续时间系统的可观测性判据连续时间系统的可观测性判据对偶原理对偶原理Page: 2现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory可控性可观测性定义可控性可观测性定义【例例】RLCRLC网络网络控制量控制量对对状态变量的状态变量的控制能力控制能力称称状态可控性状态可控性输出量输出量对对状态变量的状态变量的反映能力反映能力称称状态可观测性状态可观测性uccL

2、uyuxix ,21取取当1423R RR R，即电桥不平衡时，u能控制x1，x2所有变量，称系统可控。Page: 3现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory可控性可观测性例题可控性可观测性例题100022u xx10y x1221122xyuxxxx【例】解：上述动态方程可写成：解：上述动态方程可写成：输入输入u不能控制状态变量不能控制状态变量1x1x ，所以状态变量，所以状态变量 是不可控的；是不可控的；2x2x，所以状态变量，所以状态变量不能观测。不能观测。从输出方程看，输出从输出方程看，输出y不能反映状态变量不能反映状态变量Page: 4现代控制理论现代控制

3、理论 Modern Control Theory状态完全可控的条件状态完全可控的条件一一. . 可控性判据可控性判据,A B21ncSBABA BAB定理定理1：若定义连续时间系统 的n*(np)可控矩阵则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：该系统的可控性矩阵满秩，即rankcnSPage: 5现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory例题例题【例】211,010u xx1200cQbAbrank1cn Q解：，系统不可控。试判别状态可控性连续时间系统状态完全可控的条件连续时间系统状态完全可控的条件Page: 6现代控制理论现代控制理论 Modern Cont

4、rol Theory定理定理2：设连续时间系统 , 系统状态完全可控的充要条件为： xAxBu当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B无全零行定理定理2连续时间系统状态完全可控的条件连续时间系统状态完全可控的条件Page: 7现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory700010504000175u xx700010500000175u xx（3 3） （4 4）解：解：（1 1）状态方程为对角标准型，）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。（2 2）状态方程为对角标准型，）状态方程为对角标准型，B阵

5、中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。（3 3）系统可控。）系统可控。 （4 4）系统不可控。）系统不可控。状态可控性例题状态可控性例题线性定常连续系统状态完全可控的条件线性定常连续系统状态完全可控的条件【例例】判别下列系统的状态可控性。判别下列系统的状态可控性。700205050017u xx700005050017u xx （2 2）（1 1） Page: 8现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory定理定理3 状态完全可控性的充分必要条件是在传递函数状态完全可控性的充分必要条件是在传递函数或传递矩阵中不出现相约现象。如

6、果发生相约，那或传递矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在相约的模态上，系统不可控。么在相约的模态上，系统不可控。 状态完全可控的条件也可用传递函数或传递矩状态完全可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。阵描述。在在S平面上状态完全可控的条件平面上状态完全可控的条件Page: 9现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory例题例题在在S平面上状态完全可控的条件平面上状态完全可控的条件【例例】判别下列系统的状态可控性。判别下列系统的状态可控性。传递函数：) 1)(5 . 2(5 . 2)()(ssssUsX 显然，在此传递函数的分子和分母中存在相约的因子（s+2.5）

7、（因此失去一个自由度）。由于有相约因子，所以该系统状态不完全可控。Page: 10现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory连续系统的输出可控性连续系统的输出可控性 一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。|cCSD三三 连续系统的输出可控性连续系统的输出可控性, xAxBu yCxDu定理：1rank.nq CBCABCABD设系统，则系统输出完全可控的充要条件是输出可控性矩阵满秩，即（q

8、-输出变量个数）连续时间系统状态完全可控的条件连续时间系统状态完全可控的条件Page: 11现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory连续系统连续系统的可观测的可观测性性二、可观测性定理二、可观测性定理 xAxBuyCxDu定理定理1 1：线性定常连续系统线性定常连续系统一、定义定义：定义：若对系统A，B，C，D，存在给定输入u(t)，能在 t0,tf ）有限时间内，由输出y(t)能任一确定系统初始状态x(t0)，则系统则系统各个状态都可观测，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可观测。 nCACAnrankSCACACSnnqTnTTTTn 1010)(.,:C C

9、或或满满秩秩，即即维维能能观观测测矩矩阵阵条条件件是是状状态态完完全全可可观观测测的的充充要要连续时间系统的可观测性连续时间系统的可观测性Page: 12现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory例题例题451101u xx11y x211131u xx1010yx【例例】判别可观测性判别可观测性（2）（1）1155ocQcArank12o Q10102121ocQcArank22oQ解：（解：（1 1）故系统不可观测故系统不可观测 系统可观测系统可观测（2）连续时间系统的可观测性连续时间系统的可观测性Page: 13现代控制理论现代控制理论 Modern Contr

10、ol Theory定理定理2定理定理2 2：线性定常系统, xAxBu yCxDu，系统状态空间可观测的充要条件为：当A为对角矩阵且特征值互异时，输出矩阵C中不包含全为零的列。连续时间系统的可观测性连续时间系统的可观测性Page: 14现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory例例题题100002000031u xx532y x100002000031u xx530y x【例例】判别可观测性判别可观测性解：系统可观测。解：系统可观测。解：系统不可观测解：系统不可观测。（2）（1）连续时间系统的可观测性连续时间系统的可观测性Page: 15现代控制理论现代控制理论 Mo

11、dern Control Theory在S平面上状态完全可控的条件 完全可观测性条件也可用传递函数或者传递矩阵阐述。完全完全可观测性条件也可用传递函数或者传递矩阵阐述。完全可观测的充分必要条件是：在传递函数或传递矩阵中不发生相约可观测的充分必要条件是：在传递函数或传递矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，在输出中约去的模态就不可观测了。现象。如果存在相约，在输出中约去的模态就不可观测了。Page: 16现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory对偶对偶系统系统定义: 对于线性定常系统S1 1和S2 2,其状态空间表达式分别为：*12*:,:;SSxAxBuzA zB vyCxwC z互互为为对对偶偶和和则则称称21SS*,TTT若满足下列关系：AABCCB对偶原理对偶原理Page: 17现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory结论结论：对偶系统传递函数矩阵互为转置。对偶系统传递函数矩阵互为转置。 u xxyS S1: