第7章 稳恒磁场指导(tonggao) 2.

1、第7章 稳恒电流的磁场内容提要 1磁感应强度的定义 运动电荷在磁场中受到力的作用，由此，定义了磁感应强度 其方向为小磁针N极在此处所指方向。 2载流线圈的磁矩 为载流线圈正法线方向的单位矢量。 3毕奥萨伐尔定律 它表示真空中的电流元，在与它相距为处产生的磁感应强度，式中，根据磁场的迭加原理可以计算整个载流导线产生的磁场，计算的关键在于矢量性和叠加性。4几种典型电流的磁场1） 载流直导线的磁场式中a为场点与载流直导线的垂直距离，分别为载流直导线始端和末端到场点P的连线与垂线成的夹角。当转向与电流方向相同，为正，否之为负。 2）“无限长”载流直导线 3）载流圆线圈轴线上任一点磁场R为圆线圈的半径，

2、x为轴上上场点到圆心的距离，方向沿轴向圆心处B 4）载流密绕直螺线管内部的磁场 n为单位长度的线圈匝数。 表示场点到螺线管两端的连线夹角 对长直螺线管 5）安培环路定理 （1）正确完整理解安培环路定理，式中是空间所有电流产生的，只是在L外的电流对的环流无贡献。 （2）安培环路定理对稳恒磁场普遍成立。具体用来计算时，磁场必须具备对称性。选取合适的积分路径，以便将从积分号内提出，进行计算，求出B。 6）安培定律 电流元在磁感应强度为的磁场中受到的磁力为注意矢量运算，是外磁场，利用矢量迭加求因此要选择适当的坐标系，把矢量化成标量计算，求出合力。 7）载流线圈在磁场中所受磁力矩 为载流平面线圈的磁矩，

3、为外磁场。这个力矩的作用总是使转向，最后趋向与方向一致效果，我们称稳定平衡状态。 8）带电粒子在电磁场中的运动 （1）带电粒子运动时，在磁场中受到力的作用，称为洛仑兹力 （2）带电粒子在均匀磁场中的运动 当带电粒子以垂直于均匀磁场方向进入磁场，粒子在垂直于磁场的平面内作圆周运动，半径为周期 如果粒子运动速度与成角，粒子作沿磁场方向的螺旋运动。螺旋线半径为： 螺距 9磁介质中的安培环路定理在磁介质中通过引入辅助物理量，使得在磁介质中计算变得简单，对于对称性的磁场，可用磁介质中安培环路定理来计算磁场分布。 6运动电荷的磁场计算 对于运动电荷的磁场计算除了用上式计算外，也可以把运动电荷等效电流，再利

4、用毕奥定理计算。 11霍耳效应 霍耳电压差与薄片内通过的电流I及磁感应强度B成正比，与薄片厚度d成反比。即 ，称为霍耳系数，霍耳效应在许多领域有广泛应用。解题指导与示例 本章习题涉及三个主要方面内容。一、 关于磁场的计算，二、电流在磁场中受力及带电粒子在磁场中运动，三、磁介质中的磁场计算。 关于磁感应强度的计算，方法通常有三种：用毕奥萨伐尔定律直接求（先计算电流元的磁场，同时注意其场的矢量性，然后积分）；用安培环路定理求，这种方法主要适用于电流分布具有对称性，使磁场具有对称性，使得可以选择适当的回路，使积分方程运算简约为代数方程，使计算变的十分简便，其关键是对称性的分析，积分回路的选取，使可以

5、从积分中提出来，建立关于B的代数方程；直接用载流导体的磁场公式，利用场强叠加原理计算。在计算磁场和电流受力及带电粒子在磁场中的运动，所涉及的都是矢量问题。在解决这类问题，一般选好坐标系，把矢量化为标量处理。在磁介质中，磁场的计算，利用辅助物理量磁场强度，进而利用关系计算磁感应强度。 例7-1 两根长直导线沿一铁环的半径方向从远处引于铁环a，b两点，方向如图示，求O点的B。 解 此题可用毕奥萨伐尔定律和磁场的叠加原理来计算O点的B。 因两直线过O点，此上的电流对O点磁场无贡献。因此只需计算两弧上电流对O的贡献，设对应于两段弧的弧点分别为l1和l2，其上流过的电流分别为I1和I2，由圆弧电流的磁场

6、公式得。相应于l1、l2弧在O点的场 分别是 例7-1 图 根据电流I与的关系知与反向，所以 而两弧组成并联回路电压V1=V2， 故有 I1l1=I2l2 得B0=0例 7-2如图所示，电流I均匀地流过宽为2a的“无限长”薄金属板，试求通过板的中线并与板面垂直的平面上一点P的磁感应强度B。例 7-2 图 解：如图所示，将薄板分成许多宽为dx的细长条，每根细长条电流为，由此“无限长”载流薄板可看成由许多相互平行，紧密相挨的“无限长”直流导线所构成，在板上x轴上方距中心x处取一宽为dx的细长条，它在P处磁感应强度，其大小为方向垂直于和向长条的电流流向所构成的平面。又，由于对称性在薄板的另一对称处可

7、有一对应的细长条载流导线，在P处的磁感应强度，且、在y轴上的分量相互抵消，在x轴上的分量方向相同，沿x轴正向。因此，从以上分析得P点磁感应强度的大小为由图知 ，讨论特殊情况：如果为“无限大”薄板，a，但仍维持I不变为单位宽度上的电流。 以上求电流连续分布的薄板的场，事实上仍然使用的是毕奥萨伐尔定律和场强叠加原理，只不过此种情况下，不是使用最初的原始定律的形式，而是利用了“无限长”载流导线产生场的公式结果，分析场分布的特征后，积分而求解的。在物理学的解题中，经常用到这种方法。例 7-3 图 例7-3 在半径为R的木质半球上单层均匀密绕细导数共N匝，线圈平面彼此平行，如图例7-3图所示，设通过的电

8、流为I，求球心O处的磁感应强度B。 解：将沿球面螺旋线电流看成为许多半径不同的圆电流的集合，线圈沿圆弧上均匀分布，如图弧上取一弧dl，其上的线圈匝数 这dN匝圈电流在O处的场，根据圆电流在轴线上的磁场公式，有方向沿x轴负向。 由于各圆电流在O点的磁感应强度方向相同，因此可以直接积分。由几何关系图知， 例：7-4 一长直电缆由导体圆柱和一同轴的导体圆筒构成。使用时电流I导体圆柱体流去，从另一导体流回。设电流都均匀地分布在模截面上。设圆柱的半径为r，筒的内外半径分别为r2和r3，r为到轴线的垂直距离。（1）求磁感应强度分布；（2）通过长度为L的一段截面（图中阴影区）的磁通量。 解：（1）根据电流分

9、布的特点知道，磁场分布有轴对称性，以轴为圆心，r为半径，作一圆形闭合回路L，由对称性知L回路上任一点磁感应强度大小相等，方向沿回路切线。根据安培环路定理 rr1， r1rr2， r2rr3， rr3， （2） 例7-5 如图所示。半径为R的均匀带电圆盘，面电荷密度为。当盘以角速度绕其中心轴旋转时，求盘心O点的B值。例7-5图 解 方法一 ： 当带电盘绕轴转动时，电荷在运动，因而产生磁场。可将圆盘看成许多同心圆环的组合，而每一个带电圆环转动时相当于一圆电流。以O为圆心，r为半径，宽为dr的圆环，此环上电量此环转动时，其等效电流此电流在环心O处产生的磁感应强度大小 其方向沿轴线，因此整个圆盘在盘心

10、O处产生的磁感应强度大小是 方法二 根据运动电荷的磁场公式，求解，在圆盘上取一半径为r，宽为dr的圆环，电量， 方向垂直于盘面向上，同样 例7-6 直长直圆柱形导体内，挖一个无限长圆柱形空腔，轴线与导体轴线平行。设空腔和导体半径分别为a和b，两轴间距d（ba+d），电流I在截面上均匀分布，求：（1）O和处磁感应强度；（2）证明空腔内磁场是均匀的。 解：本题宜采用“补偿法”解。若对导体细分割成许多细长导线组成，再用叠加方法求磁场，比较复杂。由题意知，电流密度，圆柱形空洞中无电流可以理解为同时存在着两个等值反向的电流。因此空洞内同时存在电流密度为j的电流。那么空间各点磁场就可看成是一个半径为b，电

11、流密度+j的长圆柱体电流与一个半径为a电流密度为j的长圆柱电流产生的磁场的迭加。 （1）由安培环路定理，在腔内大圆柱电体在O处产生磁场为O，只有小圆柱在O处场由安培环路定理，以为心作一过O的圆环回路，则同理小圆柱电体在产生均为零，得 （2）在空腔内任一点P，距O轴距为R，距轴为r，大圆柱体电流在P处的B1大小为同理，小圆柱体电流在P处大小均为据叠加原理 的方向确定。 因 所以 又 PQPO PSPO QSOO 因此空腔内为均匀磁场，大小为，方面与O处场方向一样，与OO两轴垂直。 例7-7 如图7-7所示，一半圆形弧线电流I，在均匀磁场的方向与圆弧确定的平面平行，如图示，半径R，求弧电流受磁力对

12、y轴的力矩。 解：取一电流之 ，则在磁场中受的磁力大小为方向为垂直低面向外，其对y轴的力矩为方向为沿y轴负向，而各电流之受到的磁力对y轴的力矩方向相同，整个圆弧电流所受的磁力对y轴的力矩大小为方向沿y轴负向。 如果设想一段长为2R的载流I的直导线与此半圆弧线连成闭合电流回路。因设想直导线电流对y轴无力矩，此闭合电流回路受磁力矩即是圆弧电流受的力矩。大小为，方向为方向y轴负向，由此得结果相同，并且更为简单。 例7-8 在一长直载流导线旁有一长为L导线ab，其上载电流分别为I1和I2，a端到直导线距离为d 1当导线ab与长直导线垂直，求ab受力。 2当导线ab与长直导线成一角度，求ab受力。 解：

13、取如图例7-8所示坐标系直导线在距其为x处，产生的磁场IL 其方向垂直低面向里，电流之I2dx受安培力大小为dI方向如图示，且各电流之受力方向相同，故，ab受力为 （2）如图便7-8（b）示，电流之I2dl所受培力大小为 方向垂直于ab，且各电流之受力方向一致，故导线ab受力为LIId 例7-9 一“无限长”圆柱形直导线外包有一层相对磁导率为的圆筒形磁介质，导线半径为R1，磁介质外半径为R2，若直导线中通以电流I，求磁介质内、外磁场分布。 解：在与直导线相垂直的平面上取一闭合圆形回路，其半径为r，由于磁场具有对称性，由安培环路定理有当（R1rR2磁介质一点，则磁感应强度 对磁介质外一点（rR2

14、），磁场强度为，而在磁介质外，可得教材习题解答10-1解 （SI）通过半径的R，开口向Z轴正方向的半球壳面的磁通星的大小与通过半径为R的圆的磁通星相同。=（）（）=（wb）10-2解：过长为的等边三解形圈，通电流为，在线圈中心处的磁感应强度为。应为每一边在处产生的磁感应强度的叠加，而每边在产生的磁场相同，因此即10-3解：根据场强叠加原理，选向里为正10-4解：设正方形边长为，通电流为，总磁感应强度。为正方形一边在点产生的磁感应强度。代入数值得10-5解（1）两点线中的A点的B（2）在正方形中距中心处，取一窄条，则通过的磁通量10-6解：两条线在点产生的方向相同10-7 设圆导线在处场为，直导

15、线在处场为，根据磁场叠加原理造垂直线面向里为正10-8解：（1）通过abcd面的磁通量（2）通过ebfc面的磁通量，由于线掠过此面故（3）通过aefd面的磁通量10-9解：点的磁感应强度由、和三段载流电流在处产生场、和的叠加，它所在处的磁感应强度方向垂直线面向里，由长直载流导成的磁感应强度公式对段 ，段载流圆弧导线，在其上取电流，它在处产生的磁感应强度为处的的大小为10-10解：（1）见10-4解答（2）过点向和作垂线分别交于、 故有 而即设、边与电流在点产生的磁感应强度为，、边与电流在点产生的磁感应强度为，它们在点的磁场方向一致。由长直载流导线磁感应强度公式（3）设正方形轴线上与中心相距为的

16、任一点磁感应强度为，每边在处，场设轴正方向10-11解：根据题意设则（1）（2） （3）设磁场为零的点距为处令得10-12 见前解题指导与示例10-110-13 见前解题指导与示例10-210-14 同是10-15解：取俯视截面圆如图示，将导体管壁看作由许多平行的无限长直载流导线所组成，求出单根导线在轴线上点的磁感应强度，磁场的叠加原理求得总场。考虑处于角处的长直载流导线，其上电流用无限长载流导线 感应强度公式，在点激发向磁场为方向如图示，见图示坐标系由对轴性，备导线在处的磁场的分量互相抵消，仅有分量代入数值设轴方向10-16解：在距导线处矩形骨取一宽为窄条，其中通过的磁通量为代入数值10-1

17、7解：由安培环路定理可求得在圆柱体内部与铜导线中心轴线相距为处的磁感应强度因此，穿过铜导线内部画斜线平面的磁通量为：10-18解：在距中心为处以轴为心作一圆环，应用安培环路定理10-19参见解题指导与示例例10-410-20参见解题指示与示例10-610-21（1）在带电细环上取一长为的带电 ，以角速度绕轴转动时，等效电流为线元在0处的磁场为总的磁场总的磁场（2）距轴线处取一宽的环带，则等效电流此环带效电流的磁矩。总的磁矩10-22解：在距盘心为处取一环带，面积，其上电荷为等效电流为它在中心轴线距离处，产生的磁场的磁感应强度 ，设轴向10-23解：线框所受重力矩与其所受磁力矩大小相等方面相反（

18、对0, 0轴）重力矩=磁力矩两者相等10-24电子在磁场中作圆周运动，其周转半径R为当10-25长直导线对作用力向左对边作用力。由于在边各处产生的磁场变化，方向垂直低面向内，故在边上取一电流 它到的距离为，所受作用力为：同理可算得向右10-26解：在弧线形导线上取一电流 受力上式表明此弧形线电流受力与沿弦同方向电流受力一样。10-27解：（1）线圈的磁矩磁力矩（2）线圈转过90时磁力矩的力，取转动后方向民一致10-28解：此载流线圈在水平处磁场中，受到一力矩作用，其作用是使线圈流向，也即转向，使角度减小，由转动定律有当很小时，令方程变为因此线圈在平衡位置作简谐振动，振动周期10-29解：（1）

19、电子速度分解为沿轴向分量，和垂直于轴向的分量，在轴向作匀速直线运动，垂直于轴向作为速率圆周运动。 代入数值的方向与轴线夹角（2）根据电子绕轴旋轴方向，磁场沿沿线，但与分量前方向相反。10-30解：离子通过、同时存在原域后速度近似为零，经过电压加速后，速度为，则进入磁场中，解得10-31又10-32解：在盘上距中心来往为处取一窄环，其上也为荷为，此环转动的等效电流，此窄环带电流的磁矩它所受磁力矩为总的磁力矩为 11-1作一图形环路由安培环路原理由由11-2在导线内作一圆形回路L在导线内，作的图形回路L自测题六 一、选择题1如图，边长为a的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q的点电荷此正方形以角速

20、度w 绕AC轴旋转时，在中心O点产生的磁感强度大小为B1；此正方形同样以角速度w 绕过O点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O点产生的磁感强度的大小为B2，则B1与B2间的关系为 (A) B1 = B2 (B) B1 = 2B2 (C) B1 = B2 (D) B1 = B2 /4 2边长为L的一个导体方框上通有电流I，则此框中心的磁感强度 (A) 与L无关 (B) 正比于L 2 (C) 与L成正比 (D) 与L 成反比 (E) 与I 2有关 3如图，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I，则下述各式中哪一个是正确的？ (A) (B) (C) (D) (D) 4无限长直圆柱体，半径为R，沿轴向均

21、匀流有电流设圆柱体内( r R )的磁感强度为Be，则有 (A) Bi、Be均与r成正比 (B) Bi、Be均与r成反比 (C) Bi与r成反比，Be与r成正比 (D) Bi与r成正比，Be与r成反比 (D) 5一电荷为q的粒子在均匀磁场中运动，下列哪种说法是正确的？ (A) 只要速度大小相同，粒子所受的洛伦兹力就相同 (B) 在速度不变的前提下，若电荷q变为-q，则粒子受力反向，数值不变 (C) 粒子进入磁场后，其动能和动量都不变 (D) 洛伦兹力与速度方向垂直，所以带电粒子运动的轨迹必定是圆 (B) 6有一半径为R的单匝圆线圈，通以电流I，若将该导线弯成匝数N = 2的平面圆线圈，导线长度

22、不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的 (A) 4倍和1/8 (B) 4倍和1/2 (C) 2倍和1/4 (D) 2倍和1/2 二、填空1一磁场的磁感强度为 (SI)，则通过一半径为R，开口向z轴正方向的半球壳表面的磁通量的大小为_Wb 2真空中有一载有稳恒电流I的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S的磁通量F=_若通过S面上某面元的元磁通为dF，而线圈中的电流增加为2I时,通过同一面元的元磁通为dF，则dFdF=_ 2分 3一质点带有电荷q =8.010-10 C，以速度v =3.0105 ms-1在半径为R =6.0010-3 m的圆周上，作匀速圆周运动 该带

23、电质点在轨道中心所产生的磁感强度B =_，该带电质点轨道运动的磁矩pm =_(m0 =4p10-7 Hm-1) 4如图，在无限长直载流导线的右侧有面积为S1和S2的两个矩形回路两个回路与长直载流导线在同一平面，且矩形回路的一边与长直载流导线平行则通过面积为S1的矩形回路的磁通量与通过面积为S2的矩形回路的磁通量之比为_ 5有一同轴电缆，其尺寸如图所示，它的内外两导体中的电流均为I，且在横截面上均匀分布，但二者电流的流向正相反，则 (1) 在r R3处磁感强度大小为_ 6如图所示，一半径为R，通有电流为I的圆形回路，位于Oxy平面内，圆心为O一带正电荷为q的粒子，以速度沿z轴向上运动，当带正电荷

24、的粒子恰好通过O点时，作用于圆形回路上的力为_，作用在带电粒子上的力为_ 7两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是14，电荷之比是12，它们所受的磁场力之比是_，运动轨迹半径之比是_ 8一带电粒子平行磁感线射入匀强磁场，则它作_运动一带电粒子垂直磁感线射入匀强磁场，则它作_运动一带电粒子与磁感线成任意交角射入匀强磁场，则它作_运动. 1均匀带电刚性细杆AB，线电荷密度为l，绕垂直于直线的轴O以w 角速度匀速转动(O点在细杆AB延长线上)求： (1) O点的磁感强度； (2) 系统的磁矩； (3) 若a b，求B0及pm 2如图所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，

25、面电荷密度为s该筒以角速度w绕其轴线匀速旋转试求圆筒内部的磁感强度 3一无限长圆柱形铜导体(磁导率m0)，半径为R，通有均匀分布的电流I今取一矩形平面S (长为1 m，宽为2 R)，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量 4 如图所示，两根相互绝缘的无限长直导线1和2绞接于O点，两导线间夹角为q，通有相同的电流I试求单位长度的导线所受磁力对O点的力矩 5 如图所示，有一密绕平面螺旋线圈，其上通有电流I，总匝数为N，它被限制在半径为R1和R2的两个圆周之间求此螺旋线中心O处的磁感强度 自测题六参考答案一、选择题1C、2C、3D、4D、5B、6B二、填空1、 pR2c ， 2、0 ，

26、 12 ， 3、6.6710-7 T ， 7.2010-7 Am2 ， 4、11 ， 5、，0 6、0，0 ， 7、12 ， 12 ， 8、匀速直线 ，匀速率圆周，等距螺旋线，垂直纸面向内 ， 三、计算题 11） 2）3）、 2，方向平行于轴线朝右345 第7章习题解7-1解: 单位正电荷在2q与2q电荷的对角线方向上受力为0, 在q与-4q电荷的对角线方向上受力为 方向由单位正电荷指向-4q电荷.7-2解: 考虑一个顶点上的-q电荷受力. 在平行于顶点所对边的方向上受力为0, 在垂直于顶点所对边方向上受力为 令F=0, 得 Q=7-3解: 由点电荷的场强叠加,有 7-4解: 由点电荷的场强叠

27、加公式 有 第一种情况 第二种情况 第三种情况 方向水平向右 第四种情况 方向指向右下方电荷7-5证明: 以细棒作为x轴, 其中心作为坐标原点O, 过O点垂直细棒作y轴. P点位于棒的延长线上，离棒中心为处；Q点位于棒的垂直平分线上，离棒为处，并设, 则(1) 在P 点处 方向沿x轴正向；(2) 在细棒任取一电荷元，其坐标为(x,0)，该电荷元在Q点的场强大小为 方向由电荷元指向Q点. 由对称性分析, 知；而 故 方向沿y轴正向. 证毕.习题解答7-6图7-6解: 如图，在距球心O为x处取一个细圆环，其上均匀带电，所带电量为根据均匀带电细圆环轴线上的场强公式，在 O处的场强大小为 方向为X轴的

28、负向由于所有细圆环在O点处的场强方向均相同，都沿X轴的负向，故O点处的总场强为对的直接积分，即方向为X轴的负向7-7解: (1) 由均匀带电长直导线的场强公式, 有 x为场点到带正电荷长直导线的垂直距离；(2) 其中一均匀带电长直导线在另一均匀带电长直导线处的场强大小为 单位长度导线带电, 受离为，方向为垂直两长直导线，相互吸引.7-8解: 圆心处的场强可看作是由电荷线密度为, 长度为的带电小圆弧所产生.由于远小于圆弧半径, 对圆心处, 可视为点电荷, 所以 方向由圆心指向缝隙.7-9解: 通过圆形平面的电通量等于通过以该点电荷为顶点, 为半径的球面锥体的球冠面的电通量. 以点电荷为球心, r

29、 为半径作一球面. 该球面的面积为, 球冠面积为. 通过球面的电通量为 通过球冠面的电通量为 由以上二式, 有 7-10解: (1) 只有通过与x轴垂直的左、右两个侧面、的电通量不为0. 即有 （2） 由高斯定理 7-11解： 由对称性分析可知，无限大的，厚度为D的，电荷体密度为的均匀带电平板的电场具有平面对称性，对称面为板的中心面，即在中心面两侧，与其垂直距离相等的各点处的场强的大小是相等的，方向处处与带电平面垂直，并指向两侧（0）根据场强分布的特点，可将高斯面S取成圆筒面，圆筒面的侧面S3与带电平面垂直，两底面S1和S2与中心面平行且等距，令S1和S2面的大小均为S，距中心面的距离为则通过此高斯面S的电通量为 此高斯面内所包围的电