第一章函数、极限与连续

1、高等数学讲稿狭义的高等数学是由微积分、微分方程和无穷级数组成的。其中微积分(或者称数学分析)是高等数学的重要组成部分，是介于自然科学与人文科学之间的数学的一个重要的分支学科，是人类历史上经历2500多年之久人类思维和智力奋斗的结晶与成果。基于它深深根植于人类活动的众多领域，于是也就历史地奠定了它在社会发展和人类进步中强力地位。微积分研究的内容属于高等数学的范畴。高等数学与初等数学的本质区别就在于：前者研究的是变量，研究的方法是动的、联系的和辩证的；而后者研究的是常量，研究的方法是静止的、孤立的。微积分在形成目前这样一套完整理论的过程中，期间克服了多次危机(著名的有三次)，经历了很多磨难。微积分

2、理论建立和完善的过程，也是促进人类文明和社会进步的过程。而生产力的发展和工程科技中的技术难题也是历代科学家在当时的历史条件下推进微积分理论发展和完善的基本动力。其中对微积分理论发展影响较大的问题主要是以下四个方面：一是物理问题求物体的瞬时速度，就是说怎样解决在时间和距离都是0时的速度、加速度问题；二是几何问题求任意曲线在某点处的切线。古希腊人已知的圆锥曲线的切线定义已经不适用17世纪的复杂曲线；三是求建模函数的最大值最小值问题。弹道学计算炮弹的射程，天文学计算行星和太阳的最近、最远距离等都是要求最大值最小值问题；四是求积累问题，求曲线的弧长，曲线所围区域的面积，曲面所围的体积，物体的重心等，这

3、些问题在古希腊已开始研究，但他们的方法不具有一般性。对微积分的学习研究，我们是从极限微分积分的基本顺序展开的。因为，微积分研究的对象是变量、是函数，微分学、积分学的理论都是通过极限的理论作为基础和工具进行研究和建立的。但是，在微积分理论发展完善的历程中，却是戏剧性的和上述的顺序相反，这也是在谈微积分简史时为什么先谈积分学，再谈微分学和极限，其原因就在于此。微积分的主要课题是研究变量的变化形态，为了利用变量的变化趋势、变化速度以及变化的积累效应等要素刻画变化过程的特征，人们提出并发展了极限的理论和方法。实际上，导数是一类特殊的极限，定积分又是另一类型的极限，极限的理论和方法构成了整个微积分的基础

4、。我们就从高等数学研究的对象函数，和其基础知识极限，谈起。因此我们的第一章就是第一章 函数与极限客观世界处在永恒的运动、发展和变化中。对各种变化过程和变化过程中的量与量的依赖关系的研究，产生了函数与函数极限的概念。函数概念就是对运动过程中量与量的依赖关系的抽象描述，是刻划运动变化中变量之间相依关系的数学模型。并且，函数概念本身也在不断发展中。极限是刻划变化过程中变量的变化趋势的数学模型。在中学数学里，通常突出的是极限的描述性定义。微积分则必须强调精确的、定量的极限定义。本章将介绍函数与极限的基本概念、性质和运算，并利用极限描述函数的连续性。连续函数是最常见的一类函数，它具有一系列很好的性质和基

5、本运算，微分理论将以连续函数为主要对象。下面我们首先介绍函数的定义、性质及表示方法。 1 函 数一、变量与区间1、常量与变量 我们生活在永恒运动着的客观世界中，变化无处不在。诸如行星围绕太阳转动时相对位置的改变；城市人口数逐年增减；转炉中钢水温度的升降；流水线上完成产品的多少；国际贸易中逆差的变化，他们都可以用数学上的变量来描述。（略）2、区间与邻域中学学过区间的概念，如有限区间：闭区间 = ，开区间 () = ，半开半闭区间 a , b 等；还有无限区间：( a , + ) = x a x 等。注意 只是符号不是数，+表示沿x轴正方向可以无限变大，表示沿x轴负方向可以无限变小（或说其绝对值可

6、无限变大）。今后常用到形如（）的开区间，称为点0的邻域，简记为,其中称为此邻域的中心，称为此邻域的半径，于是有（ 。 ）（ ）.O x0d x0 x0 + d O x0d x0 x0 + d 有时还用到去心邻域，它的记法和定义是 = ， 其中 . 无需指明邻域的半径时，可用符号或.数学上用绝对值表示直线上两点a, b之间的距离：d =ab.绝对值的性质： ；(4)；（几何解释：数轴上到原点的距离不超过a 的点集，见图1）。 . 。 -a O a -a O a图1 图2(5) （几何意义见图2）；(6) 。二、函数概念人们注意到在同一个自然现象、生产实践或科学实验过程中，往往同时有几个变量相互联

7、系、相互影响地变化着，这种变化遵循着一定的客观规律。如果能用数学方式精确地描述出这些变化的因果关系，就有可能准确的预测事物未来的进程，提出有效的工作方案，把握事物的发展趋势。函数就是变量变化关系最基本的数学描述。函数一词是由著名德国数学家莱布尼茨首先在数学上使用的，尽管他也考虑到变量x和与x同时变化的变量y，但他只是针对某些特殊的数学公式而言的。后经欧拉、狄里克利、戴德金等数学家的不断修订、扩充才逐步形成现代的函数概念，直到今天，函数的概念还在不断的发展着。在初中代数中函数概念是利用“对应法则”直接给出的。高中代数是先用“对应法则”、“对应”定义映射，再用映射定义函数。它们都是用原始概念（对应

8、法则、对应）等来定义函数。现代函数概念发展到以通常所理解的“函数的图象”的概念作为函数定义的蓝图，用有序数对集合的语言来的定义。我们教材采用接近于初中的定义形式，是最容易理解的一种，不再罗嗦(见P3定义)。只强调三点：（1） 函数可按对应数值的多少分为单值函数和多值函数两类，由于多值函数可分解为一些单支分支函数，所以一般只讨论单值函数的情形。（2） 虽然函数定义中出现了两个变量取值于定义域的自变量x和取值于值域的因变量y,反映这两个变量联系的数学概念就是函数关系。由定义可见，确定函数只有两个要素定义域和对应法则。两函数相等 定义域和对应法则相同。（3）定义域的确定：实际问题则由实际意义确定；有

9、解析式子表达的函数如不说明，则是使其表达式有意义的自变量的全体。用一个解析式子来表示函数是最重要的表示函数的方法，但不是唯一的方法。还可以用图象（如书上的例2），表格（如学生成绩表），或语言叙述来表示函数。借助于图形的直观形象有助于掌握函数的变化规律。 v(t)例如汽车的计速器把车轮转动的角速度转换为表盘上指针的相应位置，即指示汽车的速度。画出车速关于 时间的图形，得到车辆起步后的速度图（图3）从图中可以清晰地看到车加速和减速的全过程：起步后迅速加 0 10 40 t速，至10分钟后又缓缓减速，直至40分钟时停下。 图1-3如何得到这40分钟间汽车经过的路程，并把它显示在 里程表上？一般是通过

10、机械装置的运转实现的，这个装置的运转结果实际上是计算出了图中阴影的面积，学了积分后即可以知道这部分面积恰恰就是汽车经过的里程。由此可见反映变量间依赖关系的几何图形对研究变量的关系起着十分重要的作用，这种图形就是函数的图像。 定义 设函数的定义域为D，对任一xD，对应的函数值为，这在xO y面上就确定了一点 (x, y)，我们称这种有序对点全体的集合：为f 的图形(图象)。 图1-4 下面介绍几个重要的函数： 例1 绝对值函数 其定义域是，值域是，（图1-5）。 图1-5例2 符号函数 其定义域是，值域是三个点的集合（图1-6）。. 。.。 . 。. 。1. 。 0 -3 -2 -1 0 1 2

11、 3 . 。 -1 图1-6 图1-7例3 取整函数 =表示不超过的最大整数。如 3.01 = 3 = = 3.99999 = 3, -3.01 = - = -3.999 = -4 = 4.其定义域是，值域是全体整数的集合，（图1-6）。 例4 狄里克利（Dirichlet）函数表示：当的有理数时1，当是无理数时0.以上四个函数的定义域都是全体实数。它们在坐标平面上都有自己的图象；但例4的图象是画不出来的。例2和例3中的函数在自变量的不同变化区间中，函数的表达式也不同，通常称之为分段函数。在自然科学、工程技术社会科学中，经常会遇到分段函数的情形。三、 函数的几种特性1、 有界性定义2 设函数在

12、I上有定义。如果$正数M，D，则称是在I上的有界函数，正数M称为在I上的界。否则就称f在I上无界。函数的有界性实际上就是它的值域集合的有界性。如都是（-，+）上的有界函数；符号函数和取整函数则是无界函数。无界函数定量性质的数学定义的叙述？2、 单调性定义3 设函数的定义域为D, 区间I D， x1,x2 I。若x1 x2 ，则称在区间I上单调增加；若x1 N，我们再用宽泛的“存在”取代“找到”，上面的表述就变为：存在正整数N，当n N时，就有.现在我们可以从对实例的分析抽象出一般数列极限的定量性质的定义了：定义 设有数列与常数，如果对于任意给定的正数e（无论它多么小），总存在正整数N，使得n

13、N时，恒有|-|N|-|N ”刻画n足够大。N的存在性是保证|-|N时|-| .2、数列极限的几何解释 把数列的项都摆在数轴上（图-7），于是，都是数轴上的点。设有一个动点在数轴上跳动，动点的第一个位置在点，第二个位置在点x1，第个位置在点xn，。根据=的定义，再由 |-|0）之内。所以，可以说是用一个数极限数值，把握住了一系列无限多个数中除去有限个之后的所有的数，高度实现了由简驭繁的功效。极限问题，是有限与无限、量变与质变的辨证统一。 3、用定义证明数列极限例题例1 试证明数列的极限为1.证 |-|=|-1|=. 0,要使|-1|,只要，取自然数N为的整数部，即取N=，则当N时，|-1|.

14、.注 用数列极限的定义来证明某个数列以某个常数为极限时（或说用数列极限定义来验证已知数列和已知常数的极限关系），关键是证明N的存在性，找到了就证明了存在。通常是从要满足的不等式|-|0, 要使，只要，即，取N =，则时，0,不等式|- |0 N |-|. 由例3可以得出一般性结论：恒取常值的数列，以这个常值为极限。 例4 设|q|1，证明.证 q = 0时，结论显然成立。以下设 0|q| 0,要使，只要，两边取自然对数，得，即，取N =，取，则，. 4、收敛数列的有界性有界数列 如果$正数M， n，恒有.定理（收敛数列的有界性） 若数列收敛，则是有界数列。 分析 求证数列有界，即证明 MR+，

15、使得N | M.要从数列极限定义入手，寻找合适的常数M. 证 设=，则对于=1，N N，使得N|N| 0, X 0，xX时，恒有称A为函数当时的极限,记为，或A（x）yy=A+ y=Ay=A-X X x 注 对定义中的的理解完全同于数列极限定义中的。X是相应存在的充分大的实数，用来限制自变量的范围，以保证。几何解释 |-A|0，$X0，使得当x X时，函数y = f(x)的图形位于这两条直线y = A与y =A + 之间（图110）. 图110从直观上看，函数f(x)的图形与直线y = A可以无限接近，称直线y = A为函数f(x)图形的水平渐近线。即，若，则直线y = A就是函数f(x)的图

16、形的水平渐近线。例1(P17例1) 证明.证 |-0|=，若要|-0|，即要，取X=，则当xX时，恒有|-0|. 0（x）.直线y = 0是函数y = 的一条水平渐近线。例2 试证明 = 1. 证明 因为不妨设 x，又因为=X时，恒有.由定义知=1.证明函数存在极限与证明数列存在极限时所采用的方法与技巧完全类似函数自变量趋于无穷的方式还有以下两种。 0且无限增大：记为. 若时，函数与定值A无限接近，称函数当时以数A为极限。记为=A 或A（）.这个定义与x时函数极限的定义区别仅在于自变量的变化趋势不同，所以只需将定义1中关于自变量变化趋势的描述“xX ”相应地改变为“ xX ”，即可得时函数极限

17、的精确定义：定义1/ 设函数f(x)当x充分大时有定义，A为常数。若0, X 0， xX时，恒有称A为函数当时的极限,记为，或A（x+） x0, X 0，使得- X |-A|0，使得当时，恒有.yy=A+ y=Ay=A-x0- x0 x0+ x 则称常数A为函数f(x)当xx 0时的极限。记为=A，或 A（）. =的几何解释：注意到，|-A|0，$d 0，使得对于位于点的去心邻域内的任何，函数曲线y = f(x)的图形位于这两条直线 y = A与y =A + 之间。参看图1-11。 图1-11例3(P19例2) 证明 =.证 因为=，所以，取 d = ，当时，就恒有，所以=. 例4(P19例3

18、) 证明 .证 = (3x-1)-2 = 3x-1.0，若要，只要3x-1，即 x-1.取 d =，则当0x-1 0，若要，只要 x-2，取 d = ，则当0 x-2，且趋向于，记为+ 0 .若x仅从左侧趋于x0，即x0（或A0（或0, =A，对于正数 A，$ d 0，当,即xU 0(x0,d)时, 恒有 . 即 ， A- 0， . 从几何上看也十分明显。因为有极限时，函数图像必落在带状区域与内，只要取得足够小，就可使得与同号，从而f(x)与A同号。 定理2 设=A，如果在x0的某去心邻域内（或），则A0（或0）. 推论(局部保序性) 如果函数f (x)、g (x)在同一极限过程中有极限: =

19、A， =B.则在相应区间有: AB时， f (x)0，$d 0，当时,|f(x)| 0，使得当时，恒有. xx0时，f(x) - A是无穷小，表示为f(x)- A =a .定理1 若=A，则= A + a，其中a 是当xx0时的无穷小。反之，若= A +a ，其中A是常数，a 是当xx0时的无穷小，则=A.简言之，有了前面的分析后，定理的证明应不困难，请自读。这个定理表明极限存在问题都可归结为无穷小量问题，可见无穷小在极限理论中的重要性。有必要对其性质加以研究。性质1 自变量同一变化趋势下的有限个无穷小的代数和是无穷小。分析 3可化为2加1，关键是证两个无穷小的和还是无穷小。且仅以过程xx0为

20、例证明。证 设 g =a+b，其中a 与b 均是xx0时的无穷小，则 0，$ d 1 0，时a 0，时b / 2，取 d= mind 1, d 2 ，则当时，有 | g | = |a + b |a + b 0， xU 0(x0 , d 1)，恒有 f (x) M；设a 是xx0时的无穷小 0，$ d 2 0， xU 0(x0 , d 2)，恒有 |a | /M. 取d = mind 1, d 2 ，则当时，有 f (x) a = | f (x) | |a | 0，$ X 0， |x| X f (x) M，则称函数f (x)当x时为无穷大量，记为或. 注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也

21、不是无穷大。且若函数是无穷大，则函数必无极限。但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。如：x0时，是无穷大；x -1时，也是无穷大；x时，1-ln x是无穷大。显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x， 的值非负且越来越大，而1-ln x则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+与负无穷大-。将定义2中的“|x| X”相应地改为“x-X ”即可得到x时正无穷大和负无穷大的定义。共有21种无穷大的定义。y y=11 x例2 证明.证 M 0，要使f (x) =M，只要| x -1|M， .注 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。 从图形(图1013)上看直线

22、x =1是曲线y = 的垂直渐近线。 图1013 一般地，如果xx0时f(x)为无穷大，即若，则直线x = x0就是函数y =f(x)的图形的一条垂直渐近线，这就是xx0时无穷大的几何解释。无穷大与无穷小的关系：定理2 在自变量同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则 为无穷小；反之，若f(x)为非零无穷小，则 为无穷大。 简言之：无穷小与无穷大是互为倒数的，但分母不得为0。证 仅就过程xx0给出证明。设，则0，对于正数M=1/，$ d 0， 0| x-x0 M = 1/， 0， ，对于 =，$ d 0，使得当时，恒有f(x) M， .无穷大与无界的关系：由无穷大的定义知，若函数是某过程时的无穷

23、大，则它必是此变化范围上的无界函数。反之呢？例3（P27题6） 函数f(x) = x cosx是（-，+）上的无界函数(图1-14)： 正整数M， 都有xM = 2Mp，使得f(xM)= 2Mp cos 2Mp =2M M，f(x)是无界函数。直观上看，对于再高的直线y = M；直线的上方都有函数的图像。但x时它不是无穷大： 对于正整数M， X 0， $ xX =X， 使得f(xM)=cos= 00，( 0， 当 0| x -a| 时，恒有 | f (u)- A|0，当0x-x0 d 时，恒有 (x)-a =u-a 0时，必有 u-a 0. 0x-x0 d 时，必有0u-a . 从而就有 f

24、(u) - A . 所以. 注 Th2表明 ，即在里、外层函数的极限都存在的条件下，求复合函数的极限可转化为求极限. 这是个很重要的等式； Th2对于极限过程也成立；且可以将Th2推广到“，”的情形。例9 求极限 .证 令，则；又( P.21, 1 (5)，原式=. 注 熟练后不必写代换过程，只要里、外层函数的极限都存在，尤其是可用代入法的，则直接用代入法即可。例10 求极限 .证 x时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式 = . （有理化法） 例11 求极限 .证 原式 =. 注 反向思维理解等式，它蕴含了“变量代换”的思想，即可用变量代换的方法求极限：设，而xx0时tt0，则有.在，则存在，且 = .证 . 例8 求极限. 解 x0时，tan x x，sin x x，所以 原式. 注 等价无穷小的替换在极限运算中有着重要作用，应用的前提是掌握一定量的等价无穷小，因此应注意收集一些