理论力学8—点的合成运动

1、第 8 章点的合成运动8.1 相对运动牵连运动绝对运动8.2 点的速度合成定理一、方法及思想起源一、方法及思想起源 运动合成的思想我们运动合成的思想我们大家都很熟悉，比如说右大家都很熟悉，比如说右边直升飞机螺旋桨端的边直升飞机螺旋桨端的P点，其运动就可以分解为：点，其运动就可以分解为：“随螺旋桨一起相对飞机随螺旋桨一起相对飞机机身的运动机身的运动”和和“随机身随机身一起在空中的移动一起在空中的移动”。8.1 相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动二、两点两系二、两点两系图中转轮绕固定轴图中转轮绕固定轴o转动，轮上有一转动，轮上有一直线槽，动点直线槽，动点A沿槽向外运动。沿槽向外运动。

2、转轮转轮Aoxyoxy在在地面上建立一个坐标架地面上建立一个坐标架xoy，用此，用此标架代表地面这个参考系。在轮上固标架代表地面这个参考系。在轮上固定一个坐标架定一个坐标架xoy，用它表示转轮，用它表示转轮（及其扩展部分，可以扩展为整个空（及其扩展部分，可以扩展为整个空间）。间）。 动点动点A相对于坐标架相对于坐标架xoy的运动（螺旋线），可以分解为动点相的运动（螺旋线），可以分解为动点相对于坐标架对于坐标架xoy的运动（直线运动）和坐标架的运动（直线运动）和坐标架xoy相对于坐标架相对于坐标架xoy的运动（定轴转动）。的运动（定轴转动）。 这里涉及这里涉及“一点一点”（动点（动点A）、）、“

3、两系两系”（xoy和和xoy），下），下面给出具体定义。面给出具体定义。转轮转轮Aoxyoxy动点：有待研究的运动点动点：有待研究的运动点动（参考）系：参考系之一，固动（参考）系：参考系之一，固定在相对于静系有运动的物体上，定在相对于静系有运动的物体上，且动点有相对此参考系的运动。且动点有相对此参考系的运动。静（参考）系：参考系之一，动静（参考）系：参考系之一，动点和动系有相对此参考系的运动。点和动系有相对此参考系的运动。注：其实运动都是相对的，动系有相对静系的运动，静系则必有相对动系的注：其实运动都是相对的，动系有相对静系的运动，静系则必有相对动系的运动。但我们通常将静系固定在一个便于观察的

4、物体上（例如，工程中静系运动。但我们通常将静系固定在一个便于观察的物体上（例如，工程中静系一般取为地球），就好象此物体不动，故有上述说法。一般取为地球），就好象此物体不动，故有上述说法。上面定义了上面定义了“一点一点”和和“两系两系”，还有，还有“一点一点”要要定义。定义。上面两种情况，假设转轮的角速度上面两种情况，假设转轮的角速度和动点相对转轮的速度和动点相对转轮的速度u相同，相同，问动点相对地面的速度哪个更大？问动点相对地面的速度哪个更大？转轮转轮Aoxyoxyu转轮转轮Aoxyoxyu当然是右图中的动点速度更大。为什么呢？因为转轮上有一点牵着当然是右图中的动点速度更大。为什么呢？因为转轮

5、上有一点牵着动点，右图中那个牵着动点运动的点速度更大。动点，右图中那个牵着动点运动的点速度更大。牵连点：动系上的一点，与动点的空间位置重合。牵连点：动系上的一点，与动点的空间位置重合。转轮转轮Aoxyoxyu三、三种运动三、三种运动绝对运动：动点相对静系的运动绝对运动：动点相对静系的运动右图中右图中A相对地面的运动，轨迹为螺旋线相对地面的运动，轨迹为螺旋线相对运动：动点相对动系的运动相对运动：动点相对动系的运动右图中右图中A相对转轮的运动，轨迹为直线相对转轮的运动，轨迹为直线牵连运动：动系相对静系的运动牵连运动：动系相对静系的运动右图中转轮相对地面的运动，为定轴转动右图中转轮相对地面的运动，为

6、定轴转动注意：牵连运动是整个动系的运动，也就是说，指的是整个空间注意：牵连运动是整个动系的运动，也就是说，指的是整个空间相对静系的运动。例中所指为：绕相对静系的运动。例中所指为：绕o定轴转动的整个空间。因为定轴转动的整个空间。因为空间上各点的速度一般不同（除非动系相对定系作平动），故不空间上各点的速度一般不同（除非动系相对定系作平动），故不同牵连点的速度不同。同牵连点的速度不同。 (1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。 (2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。 动系是刚体的运

7、动，不是一个点的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的运动都不完全相同。动系与动点直接相关的是动系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此定义：动点的牵连速度(ve)：牵连点的速度。牵连加速度(ae) ：牵连点的加速度如果没有牵连运动，则动点的相对运动就是它的绝对运动；如果没有相对运动，则动点随同动参考系所作的运动就是它的绝对运动；动点的绝对运动既取决于动点的相对运动，也决定于动参考系的运动即牵连运动，它是两种运动的合成。例例 如图杆长如图杆长l，绕绕O轴以角速轴以角速度度 转动，圆盘半径为转动，圆盘半径为r，绕绕 轴以角速度轴以角速度 转动。转动。求圆盘边缘求圆盘边缘 和和 点的牵点的牵

8、连速度和加速度。连速度和加速度。o1M2M 解：静系取在地面上，动系静系取在地面上，动系取在杆上，则取在杆上，则)(1rlve21)(rlae222rlve2222rlaeoo1M2M1ev1ea2ev2ea重点要弄清楚牵重点要弄清楚牵连点的概念连点的概念aervvv 动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。8.2 点的速度合成定理处理具体问题时应注意：(1) 选取动点、动参考系和定参考系。 (2) 应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。 动点和动系应分别选择在两个不同的

9、刚体上。 动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。8.2 点的速度合成定理在有的机构中，一个构件上总有一个点被另一个构件所约束。这时，以被约束的点作为动点，在约束动点的构件上建立动系，相对运动轨迹便是约束构件的轮廓线或者约束动点的轨道。通常选动点和动系主要有以下几种情况：1. 有一个很明显的动点，在题中很容易发现；2. 有一个不变的接触点，可选该点为动点；3. 没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确定的点为动点；4. 必须选某点为动点，而动系要取两次；5. 根据题意，必须取两次动点和动系；6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；8.2 点的速度合成定理例1 如图所示，偏心距为e、半径为

10、R的凸轮，以匀角速度 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。 ABeCOqvevavrqcotaeevvOAeOAqtaneavvq解：因为杆AB作平动。选取杆AB的端点A作为研究的动点，动系随凸轮一起绕O轴转动。点A绝对运动：直线运动相对运动：以C为圆心的圆周运动，牵连运动：凸轮绕O轴的转动。aervvv例2 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度1。解： 在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。 点A的

11、绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。21122sinsin()eaevvrrvO Alr2221122()rO AlrlrAO1OBvevavr例3 水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。 解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。由图可得：sinsinuvveasineavvuABOMrvrvave例4 求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与已知，且设OA=a, ACb。 解：取套筒A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有v

12、AqBCOvavevrvCsinsineavvvqqOCsineOCvvOAaqsinCOCabvOCvaqaervvv例5 图示平底顶杆凸轮机构，顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心凸轮以等角速度绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮半径为R，偏心距OC=e ，OC 与水平线的夹角为a，试求当a =45时，顶杆AB的速度。 解：以凸轮圆心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上，动点的速度合成矢量图如图。coscos4522eavveeavavevraervvv例6 AB杆以速度v1向上作平动，CD杆斜向上以速度v2作平动，两条杆的夹角为a，求套在两杆上的小环M

13、的速度。MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解 取M为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。取M为动点，CD为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。由上面两式可得：11aervvv22aervvv1122erervvvv其中1122,eevvvv122212cossin(cos )/sinrrvvvvvvaaaa将等式两边同时向y轴投影：则动点M的绝对速度为：22221222222121 2cos()sin12cossinaervvvvvvvvv vaaaa=MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va1122erervvvvy例7 在水面上有两只舰艇A 和 B均以匀速度v =

14、36 km/h 行驶，A 舰艇向东开，B 舰艇沿以 O 为圆心、半径R =100 m的圆弧行驶。在图示瞬时，两艇的位置S=50m, =30 ，试求：（1） B艇相对 A艇的速度。（2）A艇相对B艇的速度。 东北BAROS东北=30BAROSVe1Va1Vr1303036(/ )10(/ )ABvvvkm hm s解：(1) 求B艇相对于是A艇的速度。以 B为动点，动系固连于A艇。由图（b）的速度矢量 111Baervvvv110(/ ),BAevvvm s12 cos3017.32(/ )rvvm s(2) 求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。smvOAve/5502smva/10

15、22222211.2/rervvvm s5 . 0105tan22aevva3426a东北=30BAROSV Va2V Vr2V Ve2可见，A相对B的速度并不一定等于B相对A的速度。OABAvBvR例9 如图车如图车A沿半径为沿半径为150m的圆弧的圆弧道路以匀速道路以匀速 行驶，车行驶，车B沿直线道路以匀速沿直线道路以匀速 行行驶驶 ，两车相距，两车相距30m，求：（，求：（1 1）A车相对车相对B车的速度；（车的速度；（2 2）B车相对车相对A车的速度。车的速度。 hkmvA45hkmvB60 解：（1）以车A为动点，静系取在地面上，动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：h

16、kmvvvvvBAeAr/75222216 . 07545sin11rAvva9 .361aOABAvBvRev1rv1axy（2）以车B为动点，静系取在地面上，动系取在车A上。动点的速度合成矢量图如图。OABAvBvRxyev2rv2asradRvA/083. 0150360010453skmsmve/54/15083. 0180hkmvvveBr/72.80222669. 072.8054sin22revva422a二、动点、动系选取的一般原则二、动点、动系选取的一般原则1、动点与动系不能选在同一物体上、动点与动系不能选在同一物体上遵循这两条原则，具体问题具体选取。下面分情遵循这两条原则，

17、具体问题具体选取。下面分情况讨论动点、动系的选取方法。况讨论动点、动系的选取方法。2、要使动点的相对轨迹易于确定、要使动点的相对轨迹易于确定1、有明显的动点、有明显的动点例如，矿砂从传送带例如，矿砂从传送带A落入到另一传送带落入到另一传送带B上，如上，如图所示。图所示。再例如，在运动的车上看雨滴再例如，在运动的车上看雨滴的运动。的运动。矿砂与雨滴都是明显的动点。矿砂与雨滴都是明显的动点。有明显动点时，就选该点为动有明显动点时，就选该点为动点，动系与另一运动着的物体点，动系与另一运动着的物体固连。固连。解：解：1 运动分析运动分析 牵连运动：绕牵连运动：绕O轴的定轴转动轴的定轴转动 相对运动：沿

18、半圆环的圆周运动相对运动：沿半圆环的圆周运动绝对运动：未知曲线运动绝对运动：未知曲线运动 动系：与半圆环固连动系：与半圆环固连动点：小圆环动点：小圆环M定系：与地基固连定系：与地基固连例例1、半径、半径r=1m的半圆环以转动方程的半圆环以转动方程 = t- t2 绕绕O轴转轴转动，小圆环套在半圆环上，以相对运动方程动，小圆环套在半圆环上，以相对运动方程s=r( t- t2) 运动。试求运动。试求t=1s时，小圆环的速度。时，小圆环的速度。 3 3 t=1s时，时， =2 3 q q= =sr2 3 所以所以vr= =dsdt 3vrveve= OM =d dt3 32 速度分析速度分析大小大小

19、 方向方向va= ve + vr? ? ? ? va2、主、从二件在接触点处有相对运动，且有不变的接、主、从二件在接触点处有相对运动，且有不变的接 触点。触点。例如，图中对例如，图中对O1A来讲，始终是来讲，始终是O1A 上的上的A点与点与AB杆接触。杆接触。 O1A 上的上的A点就是不变的接触点。点就是不变的接触点。此时，选不变的接触点为动点，动系与另一物体此时，选不变的接触点为动点，动系与另一物体固连。固连。解：解：1 运动分析运动分析 牵连运动：牵连运动：OA杆绕杆绕O轴的定轴转动轴的定轴转动 相对运动：沿相对运动：沿OA的直线运动的直线运动绝对运动：水平直线运动绝对运动：水平直线运动

20、动系：与动系：与OA杆固连杆固连动点：动点：BC杆杆B端端定系：与地基固连定系：与地基固连例例2、杆、杆OA长长l，由推杆推动在图面内绕，由推杆推动在图面内绕O点运动，点运动，已知图示瞬时推杆的速度为已知图示瞬时推杆的速度为u，弯头长为，弯头长为a，OC=s。求该瞬时杆端求该瞬时杆端A的速度。的速度。 于是于是 所以所以2 速度分析速度分析大小大小 方向方向va= ve + vr? ? u? ? 如图画出速度平行四边形。如图画出速度平行四边形。由图中的几何关系得：由图中的几何关系得：vavrveve = va sinq q= ua s2+a2 OA= ve OB= ua s2+a2vA= OA

21、 l = ual s2+a2vA3、主、从二件在接触点处有相对运动，没有不变的接、主、从二件在接触点处有相对运动，没有不变的接 触点。触点。例如，图中的接触点对主、从二件来讲，时时刻刻例如，图中的接触点对主、从二件来讲，时时刻刻在改变，没有不变的接触点。在改变，没有不变的接触点。此时，不能选接触点为动点。此时，不能选接触点为动点。应选机构上某一特殊点为动应选机构上某一特殊点为动点。（相对轨迹比较明显）点。（相对轨迹比较明显）解：解：1 运动分析运动分析 牵连运动：顶杆的直线平动牵连运动：顶杆的直线平动 相对运动：平行于相对运动：平行于MN的直线运动的直线运动绝对运动：以绝对运动：以O为圆心、为

22、圆心、e为半径的圆周运动为半径的圆周运动动系：与顶杆动系：与顶杆AB杆固连杆固连动点：轮心动点：轮心C定系：与地基固连定系：与地基固连例例3、已知、已知 、R、e，O、A、B在一条铅直线上。在一条铅直线上。求图示瞬时，求图示瞬时，AB杆的速度。杆的速度。2 速度分析速度分析大小大小 方向方向va= ve + vr? ? e? ? 如图画出速度平行四边形。如图画出速度平行四边形。由图中的几何关系得：由图中的几何关系得：vavrveve = va cosq q= e cosq q类似的有类似的有4、求两个不相关物体间的相对运动。、求两个不相关物体间的相对运动。动点、动系要依据题意选取。动点、动系要

23、依据题意选取。例例4、如图、如图A车、车、B车，车，vA=vB=v、R求求AO=s、q q=30 瞬时瞬时（1）B车相对于车相对于A车的速度车的速度（2）A车相对于车相对于B车的速度车的速度解（解（1）B车相对于车相对于A车的速度车的速度 牵连运动：牵连运动：A车的直线平动车的直线平动 相对运动：未知的曲线运动相对运动：未知的曲线运动绝对运动：以绝对运动：以O为圆心，为圆心，R为半径的圆周运动为半径的圆周运动动系：与动系：与A车固连车固连动点：动点：B车车定系：与地基固连定系：与地基固连vavrve如图画出速度平行四边形。如图画出速度平行四边形。由图中的几何关系得：由图中的几何关系得： vr

24、= 3 v =30（2） 牵连运动：绕牵连运动：绕O轴的定轴转动轴的定轴转动 相对运动：未知的曲线运动相对运动：未知的曲线运动绝对运动：水平向右的直线运动绝对运动：水平向右的直线运动动系：与动系：与B车固连车固连动点：动点：A车车定系：与地基固连定系：与地基固连va1vr1ve1如图画出速度平行四边形。如图画出速度平行四边形。由图中的几何关系得：由图中的几何关系得： vr1 = v1+s2R2 =arcsinsR2 +s25、已知两物体均在运动，求交点的运动。、已知两物体均在运动，求交点的运动。动点为交点，动系选取两次，进行两次运动分析，动点为交点，动系选取两次，进行两次运动分析，联立求解。联

25、立求解。分析：分析：交点交点M既不在既不在AB上，也不上，也不在在CD上，为便于想象，可上，为便于想象，可以把交点假想为套在两物以把交点假想为套在两物体上的小环。体上的小环。例例5、已知两直线速度为、已知两直线速度为v1、v2，求图示瞬时交点，求图示瞬时交点M的速度。的速度。解：解：动系：与动系：与AB杆固连杆固连动点：交点动点：交点M定系：与地基固连定系：与地基固连第一次运动分析第一次运动分析第一次速度分析第一次速度分析大小大小 方向方向va1= ve1 + vr1? ? v1（1）? ? ? ? ve1vr1动系：与动系：与CD杆固连杆固连动点：交点动点：交点M定系：与地基固连定系：与地基

26、固连第二次运动分析第二次运动分析第二次速度分析第二次速度分析大小大小 方向方向va2= ve2 + vr2? ? v2（2）? ? ? ? ve2vr2（1）、（）、（2）式联立得：）式联立得：画出速度矢量图如图画出速度矢量图如图a所示。所示。 方向方向v2（3）? ? 大小大小 = ve2 + vr2 ve1 + vr1v1? ? 将（将（3 3）式向）式向y y轴取投影得轴取投影得ve1 = ve2 cosq q+ vr2 sinq q解得解得vr2 = v1 - v2 cosq qsinq q（4）ve2vr2ve1vr1y y图图a将（将（4）式代入（）式代入（2）式得）式得由图中得几何关系得由图中得几何关系得 vM = va = v22 + vr22 = v12 + v22 -2v1v2cosq q1sinq q画出速度平行四边形如图画出速度平行四边形如图b所示所示大小大小 方向方向va2= ve2 + vr2vM? ? v2? ? vM方向方向 = arctanv1 - v2 cosq qv2 sinq q