第七章应力状态分析-r

1、第七章第七章 应力状态分析应力状态分析低碳钢拉伸低碳钢拉伸铸铁扭转铸铁扭转物体上一物体上一点点处所有处所有截面截面上应力的集合上应力的集合 取单元体取单元体物体上某物体上某点点周围截取的周围截取的长方体。各截面上应力长方体。各截面上应力均匀，对应截面上应力等值反向，相互垂直截面上切均匀，对应截面上应力等值反向，相互垂直截面上切应力互等。应力互等。 一般应力状态一般应力状态zxyx y z xy yx zx xz yz zy 平面应力状态平面应力状态xyx y xy yx x x y y yzxy y x y x x y x一、解析法一、解析法abcdfena aa ayx x x y y y

2、y x xtnbfe a a a aa a x y x y(设设ef的面积为的面积为dA)1. 斜截面上的应力斜截面上的应力 平面应力状态下任意斜截面（其法线平面应力状态下任意斜截面（其法线在在xy平面内）上的平面内）上的和和计算公式。计算公式。列平衡方程：列平衡方程：0sin)sind(cos)cosd(cos)sind(sin)cosd(daaaaaaaaaAAAAAyxyx 0cos)sind(sin)sind(sin)cosd(cos)cosd(daaaaaaaaaAAAAAyyxx :0 nF:0 tFtnbfe a a a aa a x y x y(设设ef的面积为的面积为dA)v

3、对于对于与与ef 垂直的截面上的应力，垂直的截面上的应力，a a a a a a2222090sincosxyxyxa a a a a a222090cossinxyxabcdfena aa ayx x x y y y y x x 平面应力状态下任意斜截面（其法线平面应力状态下任意斜截面（其法线在在xy平面内）上的平面内）上的和和计算公式。计算公式。tnbfe a a a aa a x y x y(设设ef的面积为的面积为dA)常常数数 yx90o a aa ao90 a aa a 过一点任意过一点任意两个互相垂两个互相垂直直的截面上的的截面上的正应力之和正应力之和 为常数为常数，切应力服从切

4、应力互等定理切应力服从切应力互等定理。xy a a a a090 a y y x xa a 090 a a xy a a a a090 a y y x xa a 090 a a yx 1 2a a0 y y x xyxx a a 220tan22022xyxyx a a )(22900220 xyxyx a a )(00 a a 2x2yxyx)2(2 12主应力公式：主应力公式：yxx a a 220tan主平面方位：主平面方位：主单元体主单元体主方向主方向（主平面的法线方向）（主平面的法线方向）二、图解法二、图解法a a a a a a2Sin2Cos22xyxyx 222222xyxyx

5、 a aa a a a a a a a2Sin2Cos22xyxyx a a a a a a2Cos2Sin2xyx 若以若以为横轴，为横轴，为纵轴，则该圆的圆心在为纵轴，则该圆的圆心在 处，半径为处，半径为 。)0 ,2(yx 2x2yx)2( 222222xyxyx a aa a 这样的圆这样的圆。yx y y x xD1 x应力圆的作法：应力圆的作法：CO B1 xB2D2 y yF 应力圆上点应力圆上点 的坐标的坐标 和斜截面上的应力有和斜截面上的应力有 着着 一一 一对应的关系。一对应的关系。na aa aa a a a a a2E 1 A1 2 A2 起始半径；起始半径； 2倍角对

6、应关系。倍角对应关系。 转向一致；转向一致；222222xyxyx a aa a yx y y x xD1 x应力圆的作法：应力圆的作法：CO B1 xB2D2 y y 1 2 1 2a a002a aA1A2点点面面222222xyxyx a aa a y x y x3040例例1：单元体单元体x=-30MPa， y=60MPa， x=-40MPa。（a）试用解析法和图解法确定试用解析法和图解法确定1=30和和2=-40两截面两截面 上的应力；上的应力； 030 030 040 040 030 MPa1427.030 MPa97.58MPa2 .3240MPa3 .3740003060602

7、20sincosxyxyx （b）求主应力，确定主平面的位置。求主应力，确定主平面的位置。解解： 解析法解析法（a）D1D2B2B1C O 60OE180OE2 y x y x3040例例1：单元体单元体x=-30MPa， y=60MPa， x=-40MPa。（a）试用解析法和图解法确定试用解析法和图解法确定1=30和和2=-40两截面两截面 上的应力；上的应力； 030 030 040 040（b）求主应力，确定主平面的位置。求主应力，确定主平面的位置。解解： 图解法图解法（a）D1D2B2B1C O 例例1：单元体单元体x=-30MPa， y=60MPa， x=-40MPa。（a）试用解析

8、法和图解法确定试用解析法和图解法确定1=30和和2=-40两截面两截面 上的应力；上的应力；（b）求主应力，确定主平面的位置。求主应力，确定主平面的位置。解解：（b） y x x y0a a1 3 02a a9080220yxxtan a a0063412. a a037138.0 =69.2 o例例2：一：一的单元体如图所示。求主应的单元体如图所示。求主应力大小和方向。力大小和方向。解：解：1 = OA 1 =， 3 = OA2 = - D1D2O A1A2 1 3 3 1 铸铁扭转铸铁扭转 图示单元体上，图示单元体上，x=-6MPa， x=-3MPa，求主应力大小求主应力大小和主平面位置。

9、和主平面位置。 x x02a aA1A2OCB1D1D2 1 322.522.5 67.567.5 解解：2222xxx)( 1 3 1.24-7.24MPatan20 = -2x /x = -1，0 =67.5 o一、关于下图四个应力状态，说法正确的是：一、关于下图四个应力状态，说法正确的是： A: 四者均等价；四者均等价； B：a和和b等价；等价；C：b和和c等价；等价； D：a和和c等价。等价。 (a) (b) (c)450 (d)450二、该单元体是二向应力状态吗？二、该单元体是二向应力状态吗？ （其中（其中 ） 450 yx y y x xCO 1 2D1D2abc 1 2 3 1

10、2 3 2 1 3 3 1 2 3 3 1 24545B maxEB/FEA 1 2 3 O231 max31 minmax;MPa40MPa60(a)MPa40MPa60(b)(a)图中，已知图中，已知1=40MPa， 2=0， 3=-60MPa。得：得：MPa5021060104066max ）（ (b)图中，已知图中，已知1=60MPa， 2=40MPa， 3=0。得：得：MPa302010606max 231 max31 minmaxFF一、拉压杆件应力状态分析一、拉压杆件应力状态分析n a a a aa ax x x0,0,xyx a a a a a a2222SinCosxyxyx

11、 a2Cosa a a a a a2Cos2Sin2xyx a a 2Sin2 拉压杆件斜截面应力公式拉压杆件斜截面应力公式2 max低碳钢拉伸低碳钢拉伸二、扭转杆件应力状态分析二、扭转杆件应力状态分析TTnx a a a aa a任意任意斜截面上的应力：斜截面上的应力：a a a a2sin a a a a2cos 三、梁的应力状态分析三、梁的应力状态分析qabcdebedcayyyyyeabcddbxxxxx 在一组曲线上每一点切线的方向是该点在一组曲线上每一点切线的方向是该点主拉应力的方向（主拉应力的方向（主拉应力轨迹线主拉应力轨迹线），而在另一组曲线上），而在另一组曲线上每一点切线的方

12、向则是主压应力的方向（每一点切线的方向则是主压应力的方向（主压应力轨迹线主压应力轨迹线）。）。 梁的梁的 （两组正交曲线）（两组正交曲线）22)2(2 13梁内任意一点的主应力为：梁内任意一点的主应力为：45o弯起钢筋弯起钢筋纵向钢筋纵向钢筋q-+ b 1 1 3 3a a0d 1 1 3 3a a0c 1 1 3 3450 a a草绘下列杆件内两组主应力轨迹线的大致形状。草绘下列杆件内两组主应力轨迹线的大致形状。FFaaFFTTMM E 单向应力状态下的虎克定律：单向应力状态下的虎克定律：:方向的线应变求沿1E11 E21)(1321EE311111 E 1 2 3 3 1 2 1 3 2

13、三向应力状态下的虎克定律：三向应力状态下的虎克定律：)(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzEGxyxy Gzxzx Gyzyz x z yxy yx xz zx yz zy xzy润扬大桥桥底润扬大桥桥底力学测试现场力学测试现场 x z yxy yx xz zx yz zy xzy)(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzE)(13211E)(11322E)(12133E特例：特例：)(1211E)(1122E)(213E如二向应力状态，令如二向应力状态，令3=0)(12121E)(11222E1010 y x例例1：在一槽形钢块内，放置一边长为在一槽形钢块内，放置一边长为10mm

14、的立方体铝块。的立方体铝块。铝块与槽壁间无间隙。当铝块受到合力为铝块与槽壁间无间隙。当铝块受到合力为F=6KN的压力时，试求铝块内任一点的压力时，试求铝块内任一点的应力。设铝块的泊松比的应力。设铝块的泊松比 =0.33。解：解：AFy 由已知：由已知：MPa.6001001010630)(1yxxEMPayx8 .19)1060(33. 06或可以表为：或可以表为：MPaMPa.608190321 ，?z 例例2：直径为直径为80mm的圆轴受外力偶的圆轴受外力偶T作用。若在圆轴表面作用。若在圆轴表面沿与母线成沿与母线成450方向测得线应变为方向测得线应变为260 ，求求T的大小。的大小。已知已

15、知E2.0 105MPa，泊松比泊松比 0.3。 3 1 解：解：TT450二、体积应变二、体积应变 1 2dxdzdy 30VVV zyxVddd0zyxzzyyxxddd)d)(dd)(dd(d321zyxzyxdddddd)1)(1)(1 (321zyxVddd)(321）（32121 E3210 VV单位体积的改变单位体积的改变 对于纯切应力状态：对于纯切应力状态：, 3210)Ezyx （21：在任意应力状态下，一点处的体积应变与切在任意应力状态下，一点处的体积应变与切应力无关，而与通过该点的任意三个相互垂直平面上的正应力无关，而与通过该点的任意三个相互垂直平面上的正应力之和成正比。

16、应力之和成正比。）（32121 E切应力不会引起体积改变切应力不会引起体积改变0321 pp 321 的的静静水水压压力力作作用用。单单元元体体上上，受受压压强强例例如如物物体体内内一一点点处处的的pE213则：)21 ( 3Ep)（21zyxE（V）EAlFN22 一、轴向拉压杆件的应变能和应变能密度一、轴向拉压杆件的应变能和应变能密度Fll1lFW 21lFWVN 21 AOBFll 应变能应变能 应变能密度应变能密度AllFVVvN 21 21 Fd(l)二、三向应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度 1 2 3（a）332211212121v)(2 21133221232221E与单元体体积变化相应的那一部分应变能密度与单元体体积变化相应的那一部分应变能密度 体积改变能密度体积改变能密度vV ；与单元体形状改变相应的那一部分应变能密度与