第3节弯曲应力

1、弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束各横截面上同时有弯矩各横截面上同时有弯矩M和剪力和剪力Q，称为称为。各横截面只有弯矩各横截面只有弯矩M，而无剪力而无剪力Q，称为称为。弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，称为为一平面，称为。既不伸长也不缩短的纤维面既不伸长也不缩短的纤维面，称为称为，中性层与横截面，中性层与横截面的交线称为的交线称为。中中性性层层中中性性轴轴 dyabddxabdxdOO)(21 )()(aydddyababab 弯曲应力惯性矩计算弯曲强

2、度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束0AdA 首首先先 yEE 将将(a)代入代入(b) 0, AAydAEydAEb 得得代代入入上上式式将将式式0 AydA000 cczcAyAAySAyydA弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束抗弯刚度zzIyM 正应力到中性轴距离弯矩惯性矩zAMdAy 其其次次 zAAMdAyEdAyEyb2)( 式式代代入入得得将将zzzzAzEIMMEIdAyI 12或或令令弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束：Y 1 、不能用于斜弯曲梁、不能用于斜弯曲梁zzIyM Y 2 、可用

3、于具有纵向对称面的其它截、可用于具有纵向对称面的其它截面形式的梁面形式的梁Y 3、 当当l/h5时时,可用于横向弯曲梁可用于横向弯曲梁Y 4 、在材料的比例极限范围内使用、在材料的比例极限范围内使用Y 5 、可近似用于变截面梁、可近似用于变截面梁Y 6 、可近似用于曲率半径比梁高度大、可近似用于曲率半径比梁高度大得多的曲梁得多的曲梁弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束解：解：（1）作弯矩图，求最大弯矩）作弯矩图，求最大弯矩梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图5-8b所示，由图知所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为其值为 mN

4、3000216000222max qlM （2）求最大应力）求最大应力 因危险截面上的弯矩为负，故截因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为面上缘受最大拉应力，其值为MPa178Pa101780152. 0106 .253000681maxmax yIMzT 在截面的下端受最大压应力，其值在截面的下端受最大压应力，其值为为MPa385Pa103850328. 0106 .253000682maxmax yIMzC 图图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度均布载荷集度q=6kN/m；梁由梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的

5、惯性矩号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求试求此梁的最大拉应力和最大压应力。此梁的最大拉应力和最大压应力。弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束（1）矩形截面）矩形截面12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh 3242DdAIAp yzPyAzAAAPIIIIIdAzdAydAzydAI22)(22222 123bhIz 123hbIy （2）圆形与圆环截面）圆形与圆环截面Dd)(164DII)d(D642III64D2III44yz44pyz4pyz 式式中中或或圆圆环环形形截截面面圆圆形形截截面面弯曲应力惯性矩

6、计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束(1)组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩zzAAzIIdAydAyI 1222 AAAAzAzdAaydAadAydAayIdAyI222212)(11平行移轴公式(2)平行移轴公式平行移轴公式AbIIAaIIyyzz2211 AAcczydAyAySydA00且且弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 求求T字形截面对中性轴字形截面对中性轴 z的惯性矩的惯性矩.：（：（1） 确定形心和中性轴的位置确定形心和中性轴的位置 将截面划分为将截面划分为 、两矩形，取与截两矩形，取与截面底边相重合的面底边相重合的

7、z 轴为参考轴，则两轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至矩形的面积及其形心至z 轴的距离分轴的距离分别为：别为：cm122cm1226cm5262cm126222 IIIIIIyAyA整个截面的形心整个截面的形心C在对称轴在对称轴y上的位置则为：上的位置则为：cm31212112512 IIIIIIIIIiiCAAyAyAAyAy即中性轴即中性轴z与轴与轴z 的距离为的距离为3cm。弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束（2）求各组合部分对中性轴）求各组合部分对中性轴z的惯性矩的惯性矩 设两矩形的形心设两矩形的形心C和和C；其形心轴为其形心轴为z1和和z2，它

8、们距它们距z轴的距离分别为：轴的距离分别为：cm2,cm2 IIIIIICCaCCa由平行移轴公式，两矩形对中由平行移轴公式，两矩形对中性轴性轴z的惯性矩为：的惯性矩为：4232242321cm521221226cm841221262 IIIIIIzzIIIIIzzIAaIIAaII（3）求整个截面对中性轴的惯性矩）求整个截面对中性轴的惯性矩 将两矩形对将两矩形对z轴的惯性矩相加，得轴的惯性矩相加，得4cm1365284 zIIzIzIII弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束zIyMma

9、xmaxmax zzWyI max621223maxbhhbhyIWzz )1(1 . 0)1(321 . 0322644343334max DDWddddyIWzzz hbzy抗弯截面模量抗弯截面模量弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束最大正应力的计算式：最大正应力的计算式： 一矩形截面木梁如图一矩形截面木梁如图 所示，已知所示，已知P=10kN，a=1.2m，木材的许用应木材的许用应力力 =10MPa 。设梁横截面的高宽比为设梁横截面的高宽比为h/b =2，试选梁的截面尺寸。试选梁的截面尺寸。zWMmaxmax (5-13) zWMmaxmax梁弯曲时的

10、正应力强度条件：梁弯曲时的正应力强度条件：弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束：（：（1） 作弯矩图，求最大弯矩作弯矩图，求最大弯矩 用叠加法作出梁的弯矩图如图用叠加法作出梁的弯矩图如图5-14b所示，由图知最大弯矩为所示，由图知最大弯矩为mkN122 . 110max PaM（2）选择截面尺寸）选择截面尺寸 3366maxmaxcm1200m1012001010100012 zzzWMWWM即即得得由强度条件由强度条件 截面的抗弯截面模量截面的抗弯截面模量 120032326263322 bbbbbhWz最后选用最后选用12.5 25cm2的截面。的截面。

11、cm4 .242 bhcm2 .122120033 b由此得由此得弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束解：解：（1）作弯矩图，求最大弯矩）作弯矩图，求最大弯矩 如图如图5-15c所示，最大弯矩为所示，最大弯矩为mkN36 . 05max PaM（2）选择截面尺寸）选择截面尺寸 由强度条件由强度条件 336maxcm5 .37m108010003 MWz cm9)(11 . 05 .3711 . 05 .37 cm5 .3711 . 0346534343 DDWz则则 加热炉的水管横梁两端支于炉壁上，通过纵向水管作用于其上的钢加热炉的水管横梁两端支于炉壁上，通

12、过纵向水管作用于其上的钢坯压力坯压力P=5KN，如图如图5-15a所示。已知所示。已知 l=1.8m, a=0.6m;水管的许用压力水管的许用压力 =80MPa。设钢管的内径与外径之比。设钢管的内径与外径之比 ，试选，试选择择水管的截面尺寸。水管的截面尺寸。65 Dd 查规范，选用外径查规范，选用外径D=89mm,壁厚壁厚 =7mm的钢管。的钢管。弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 一起重量原为一起重量原为50kN的单臂吊的单臂吊车，其跨度车，其跨度 l=10.5m, 由由45a号工字号工字钢制成。现拟将起重量提高到钢制成。现拟将起重量提高到Q=70kN,

13、 试校核梁的强度。若强度试校核梁的强度。若强度不够，再计算可能承载的起重量。不够，再计算可能承载的起重量。梁的材料为梁的材料为Q235钢，许用应力钢，许用应力 =140MPa;电葫芦自重电葫芦自重G=15kN,梁的自重暂不考虑。梁的自重暂不考虑。 mkN2235 .101570414max lGQM（2）校核强度）校核强度 查表得抗弯截面模量为查表得抗弯截面模量为3cm1430 zW故梁的最大工作应力为故梁的最大工作应力为MPa140MPa156Pa10156101430100022366maxmax zWM 故不安全，不能将起重量提高到故不安全，不能将起重量提高到70kN。解：解：（1）作弯

14、矩图，求最大弯矩）作弯矩图，求最大弯矩弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束（3）计算承载能力计算承载能力 梁允许的最大弯矩为梁允许的最大弯矩为 kN3 .61155 .10200444mkN200mN10210143010140maxmax566max GlMQlGQMWMz得得则由则由 弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 在上例中，为使吊车的起重量提高到在上例中，为使吊车的起重量提高到70kN.可在工字梁的上、下可在工字梁的上、下翼缘上加焊两块盖板。现设盖板的截面尺寸为翼缘上加焊两块盖板。现设盖板的截面尺寸为10010

15、mm2,试校核加试校核加焊盖板后梁的强度。有关数据仍如上例。焊盖板后梁的强度。有关数据仍如上例。zzzIII 2自型钢规格表查得自型钢规格表查得4cm32240 zI由平行移轴公式，由平行移轴公式，44232cm428205290232240cm529011023121101 zzzIAaII得得解解: 吊车梁加焊盖板后，截面的惯性矩改变，吊车梁加焊盖板后，截面的惯性矩改变，为进行强度校核，首先计算截面的惯性矩。为进行强度校核，首先计算截面的惯性矩。 （1）计算截面的惯性矩）计算截面的惯性矩 加焊两块盖板后，加焊两块盖板后，中性轴中性轴z的位置保持不变。设工字钢对的位置保持不变。设工字钢对z轴

16、的轴的惯性矩为惯性矩为Iz ，每个盖板对每个盖板对z轴的惯性矩为轴的惯性矩为Iz ，则整个截面对则整个截面对z轴的惯性矩为轴的惯性矩为弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 （2）校核强度）校核强度 由前例已知梁的最大弯矩为由前例已知梁的最大弯矩为mkN223maxM截面上下缘距中性轴的距离为截面上下缘距中性轴的距离为cm5 .231245maxy则则 140MPaMPa122Pa101221042820235. 0100022368maxmaxmaxzIyM计算表明，经加固后起重量可提高到计算表明，经加固后起重量可提高到70kN.弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提

17、高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束解解：（：（1）作弯矩图，求最大弯矩）作弯矩图，求最大弯矩 梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图5-18c所示，最大所示，最大弯矩为弯矩为mkN5 . 35 . 05 . 322max PaM （2）确定许用应力）确定许用应力 由由 材料的许用拉材料的许用拉应力和许用压应力分别为：应力和许用压应力分别为： ,nu MPa1884750MPa804320 nnCCbT （3）计算惯性矩）计算惯性矩 梁的横截面尺寸与例梁的横截面尺寸与例5-2中的截面相同，中的截面相同，在例在例5-2中已经求得，中性轴距截面的上、中已经求得，中性轴距截面的上、下边缘分别为：下边缘

18、分别为：cm5,cm312 yy 一一T字形截面铸铁梁，已知字形截面铸铁梁，已知P=3.5kN, a=0.5m, 截面尺寸及搁置方式如截面尺寸及搁置方式如图示，材料的抗拉强度图示，材料的抗拉强度 b=320MPa, 抗压强度抗压强度 C=750MPa,取安全系数取安全系数n=4, 试校核梁的强度。试校核梁的强度。弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束截面对中性轴截面对中性轴z的惯性矩为的惯性矩为4cm136 zI （4）校核强度）校核强度 因危险截面上的弯矩为正，因危险截面上的弯矩为正，故最大拉应力位于横截面的下缘，最大压应力故最大拉应力位于横截面的下缘，最大

19、压应力位于横截面的上缘，其值分别为：位于横截面的上缘，其值分别为： T681maxmax80MPa129MPaPa1012905.01013610005 .3 yIMzT188MPaMPa7703. 01013610005 . 382maxmaxCzCyIM 结果说明，梁的强度不够。如果将梁的搁置结果说明，梁的强度不够。如果将梁的搁置方式颠倒一下，如图所示，这时梁的最大拉应力方式颠倒一下，如图所示，这时梁的最大拉应力和最大压应力则分别为：和最大压应力则分别为： CCTT 188MPaMPa12980MPaMPa77maxmax弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页

20、结束1 选用合理的截面选用合理的截面 TCTCzzTcyyIMyIMy 2121maxmax即即Wz/A愈大，截面越合理。愈大，截面越合理。 对于抗拉与抗压能力不相同对于抗拉与抗压能力不相同的材料，则应采用不对称于中的材料，则应采用不对称于中性轴的截面，并使中性轴偏于性轴的截面，并使中性轴偏于受拉的一侧。受拉的一侧。弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 2 采用变截面梁采用变截面梁 横截面尺寸沿梁轴线方向变化的横截面尺寸沿梁轴线方向变化的梁，称为梁，称为变截面梁变截面梁。 每个横截面上的最大正应力每个横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力值，称为都等于材料

21、的许用应力值，称为等强度梁等强度梁。弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束3.适当布置载荷和支座位置适当布置载荷和支座位置弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 WMmaxmax 认为当危险截面上、下边缘处的认为当危险截面上、下边缘处的最大应力最大应力 max到到 达屈服点达屈服点 s时，整个梁时，整个梁处于危险状态，这种方法称为处于危险状态，这种方法称为 静载下准许部分材料进入塑性阶静载下准许部分材料进入塑性阶段，不让塑性区扩展到整个横截面来段，不让塑性区扩展到整个横截面来建立强度条件的方法叫建立强度条件的方法叫5 . 16

22、46,44222222bhbhWWbhWbhhbhWssSSSydAydAydAydAMssAAAssAsS 2)(212121 图图5-26Ms为为极限弯矩极限弯矩 ssssWMMWM max塑性抗弯截面模量塑性抗弯截面模量强度条件矩形截面弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束66. 1434434342233332 rrWWrWrrrWss 圆形截面圆形截面残残余余应应力力卸卸载载后后加加载载M弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束1 矩形截面梁矩形截面梁2 工字形截面梁工字形截面梁bhQbhQhhIQyhIQbIQSzz

23、zz 2312842.,)4(2222max22 其其值值为为剪剪应应力力最最大大在在中中性性轴轴上上力力的的计计算算公公式式横横截截面面上上任任意意点点处处剪剪应应1maxzzmaxmaxdhQdIQS :腹腹板板AQ34max AQ2max 3 圆形、圆环形截面梁圆形、圆环形截面梁AQ23max 弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 下列情况须进行剪应力强度校核：下列情况须进行剪应力强度校核： 1. 若梁较短或载荷很靠近支座，梁的最大弯矩若梁较短或载荷很靠近支座，梁的最大弯矩Mmax可能很可能很小而最大剪力小而最大剪力Qmax却相对较大，如果据此时的却相

24、对较大，如果据此时的Mmax选择截面尺寸选择截面尺寸,就不一定能满足剪应力强度条件。就不一定能满足剪应力强度条件。 2. 对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度b相对于截面高度相对于截面高度很小时，横截面上可能产生较大的剪应力。很小时，横截面上可能产生较大的剪应力。 3. 对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由剪应力对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由剪应力互等定理，在中性层上也同时有互等定理，在中性层上也同时有 max作用，因而可能沿中性层发作用，因而可能沿中性层发生剪切破坏，所以需要校核其剪应力强度条件。生剪切破坏，所以需要校核其剪应力强度条件。 bISQzzmaxmaxmax梁的剪应力强度条件是：梁的剪应力强度条件是：弯曲应力惯性矩计算弯曲强度提高抗弯能力塑性弯曲弯曲剪应力小结返回上页结束 例例7-8 一外伸梁如图所示，一外伸梁如图所示，P=50kN，a=0.15m，l=1m，梁由工梁由工字钢制成，字钢制成， =160MPa， =100MPa，试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。解解：此梁的载荷比较靠近支座，故：此梁的载荷比较靠近支座，故其弯矩较小，剪力则相对的较大，其弯矩较小，剪力则相对的较大，且工字钢的腹板比较狭窄，因此，且工字钢的腹板比较狭窄，因此，除考虑正应力强度之外，还需校核除