第3-4章习题课

1、矩和相关阵矩和相关阵若若 ,2 , 1,)(kEEk存在，则称其为存在，则称其为 X 的的 k 阶中心矩阶中心矩。若若lkEEE)()( ,2,1, lk存在，则称其为存在，则称其为X 和和 Y 的的 阶混合中心矩阶混合中心矩。lk 定义定义 设设X与与Y 是随机变量，若是随机变量，若存在，则称其为存在，则称其为 X 的的 k 阶原点矩阶原点矩，简称，简称 k 阶矩。阶矩。 ,2 , 1),(kXEk若若存在，则称其为存在，则称其为 X 和和 Y 的的 阶混合矩阶混合矩。lk ,2 , 1,),(lkYXElk课前课前复习复习又记又记(,)ijijCov )(jjiiEEE . 2 , 1,

2、ji对于二维随机向量，有对于二维随机向量，有则称矩阵则称矩阵11122122 为随机向量为随机向量 X 的的协方差阵协方差阵。定义定义 设设 ，记，记 21XX称称 为为X 的的数学期望数学期望。,2121 EXEX ,21 xxx称矩阵称矩阵为为 X 的的相关阵相关阵。 112112 R附：附：n 维正态分布的一些重要性质：维正态分布的一些重要性质：服从服从 n 维正态分布维正态分布的的任任一一线线性性组组合合nXXX,21 122. (,)nXXX.2211服服从从一一维维正正态态分分布布nnXlXlXl 1. ),), ,( ( , , , ,221 iiinNXXXX 相互独立，且相互

3、独立，且设设 ).)., ,( ( 21211 iniiiniiniiiccNXc 则有则有3. 若若 服从服从n 维正态，维正态， 是是 的线性组合，则的线性组合，则 服从服从 m 维正态分布。维正态分布。 12(,)nXXX (1,2, )iXin 12,mY YY12(,)mY YY解解1)1)( , )(,4 )CovCov XY XY 练习练习 设设 X N(1, 42), Y N(1, 22), 且且 X 与与 Y 相互独立，相互独立， 设设 (1) 求求 的协方差阵和相关的协方差阵和相关 阵；（阵；（2）问）问 是否独立？是否独立？,4 ,XYXY( , ) , (,)4(, )

4、( ,)4( , )Cov X XCov X YCov Y XCov Y Y 160044=0 16004 ，相关阵为相关阵为10.01R 协方差阵为协方差阵为2）由于）由于 X, Y 独立，故（独立，故（X, Y）服从二维正态分布，）服从二维正态分布， 故知故知 也服从二维正态分布，又因也服从二维正态分布，又因 所以所以 独立。独立。(,) , 0, 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 只要只要EX，DX 存在，则存在，则 20, DXPEX 或者或者 21DXPEX 定理定理1 1（切比雪夫定理）（切比雪夫定理）1111lim1nnkknkkPEnn 设随机变量序列设随机变量序列 相互独立，且方

5、差相互独立，且方差一致有界，即存在常数一致有界，即存在常数C 使使 则对则对于任意于任意 有有 ,21nXXX() (1,2,),kD XCk0, lim 1nnPYa 定义定义 设设 是一个随机变量序列，是一个随机变量序列， a 为常为常 数，若对任意数，若对任意 ，有，有0 ,21nYYY则称序列则称序列 依概率收敛依概率收敛于于a 。记为。记为.PnYa ,21nYYY结论：设结论：设, aXPn, bYPn又设函数又设函数 g(x,y) 在在(a,b) 连续，连续，特特别别有有则则),(),( bagYXgPnn. , ,CaCXabYXbaYXPnPnnPnn 定理定理2 2（贝努利

6、定理）（贝努利定理）pAfPn)( 1)(lim pAfPnn定理定理3 3（辛钦定理）（辛钦定理）11lim1 niinnP 设设 是一列独立同分布的随机变量，且是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在，数学期望存在， 。则对任意。则对任意 ，有，有 iE0 ,21nXXX即即第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 本节论述的中心极限定理，从理论上阐述了为何正态分布本节论述的中心极限定理，从理论上阐述了为何正态分布应用十分广泛。应用十分广泛。简言之，如果一个随机现象是由众多的随机简言之，如果一个随机现象是由众多的随机因素引起，而各个因素在总的变化中所处的地位差不多，就因素引起，而各个因素在

7、总的变化中所处的地位差不多，就可以推断描述这个随机现象的随机变量近似地服从正态分布。可以推断描述这个随机现象的随机变量近似地服从正态分布。定理定理4 4（独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理） 设设 是一列独立同分布的随机变量，是一列独立同分布的随机变量， 存在，则对任意存在，则对任意 x，有，有 ,21n,iEX 2(0)iDX 2121lim2ntixinXnPxedtn 注注：由于由于 ， 故上述定故上述定 理的结论可写为理的结论可写为1()niiEXn 21()niiDXn 21121()1lim2()nntiixiinniiXEXPxedtDX 2121lim2ntixinX

8、nPxed tn （2 2）如果令）如果令 ，则，则 就是就是 的的 标准化随机变量。标准化随机变量。111()()nniiiinniiXEXDX nii1nY).(21)(lim22xdtexFxtnn ).()(,xxFnn 时时即即当当（读作（读作 Yn n 近似服从标准正态分布）。近似服从标准正态分布）。).1 ,0(NYn近近似似地地,时时亦亦即即当当 n2121lim2ntixinXnPxed tn 1niinXnYn （3）若记）若记的分布函数为的分布函数为 Fn(x), 则上式可记为则上式可记为, 21().niiXN nn 近近似似，(0 1)nYN近近似似，21()niiX

9、N nn 近近似似，1111(0,1),nnniiiiiinniiXEXXnYNnDX 近近似似211().niiXXNnn 近近似似，211()niiXXNnn 近近似似，证证 由前知，当充分大时，有由前知，当充分大时，有 21().niiXN nn 近近似似，定理定理5 5（二项分布的正态逼近二项分布的正态逼近）221lim()2txnXnpPxedtxnpq ( ,) (1,2,),Xb n pn 设随机变量设随机变量则对任意则对任意 x，有，有 (证明略证明略)。注意定理表明，若。注意定理表明，若 Xb(n, p), 则当则当 n 较大时，较大时，有有 (0,1)XnpNnpq 近近似

10、似于是我们可用正态分布对二项分布进行近似计算。于是我们可用正态分布对二项分布进行近似计算。注注由定理由定理 5 知：若知：若 ，则当，则当n充分大时，充分大时， ( ,)b n p ()()bnpanpP aXbnpqnpq 由于对于固定的由于对于固定的 k、p， 0 (),kkn knPkC p qn P abP abP abP ab 故当故当 n 充分大时，充分大时， (),xnpPXxnpq 解：记解：记X 表示在表示在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于3的次的次 数数, 则则 Xb(90000, 1/31/3).,20000 ,30000 npqnp)3050029

11、500( XP 305002950090000323190000kkkk显然直接计算很麻烦，现用正态逼近。显然直接计算很麻烦，现用正态逼近。例例1. 1. 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的 冲击，纵摇角大于冲击，纵摇角大于3 3的概率为的概率为 p=1/3,=1/3,若船舶遭受若船舶遭受 了了9000090000次波浪冲击，问其中有次波浪冲击，问其中有29500-3050029500-30500次纵摇次纵摇 角度大于角度大于3 3的概率是多少？的概率是多少？)29500()30500(npqnpnpqnp .9996.0 )3050029500(

12、 XP)225()225( 1)225(2 Xb(90000, 1/31/3)练习：练习：试用切比雪夫不等式估计此概率。试用切比雪夫不等式估计此概率。)3050029500( XP(|30000| 500 )P X .92. 05002000012 例例1. 1. 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的 冲击，纵摇角大于冲击，纵摇角大于3 3的概率为的概率为 p=1/3,=1/3,若船舶遭受若船舶遭受 了了9000090000次波浪冲击，问其中有次波浪冲击，问其中有29500-3050029500-30500次纵摇次纵摇 角度大于角度大于3 3的概率是

13、多少？的概率是多少？例例2. 2. 产品成箱包装，假设各箱的重量相互独立，且每箱产品成箱包装，假设各箱的重量相互独立，且每箱 平均重平均重5050千克，标准差为千克，标准差为5 5千克。若用最大载重量为千克。若用最大载重量为5 5吨吨 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以 装多少箱，才能保证不超载的概率大于装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.9772.0.9772.解：以解：以 Xi 表示第表示第 i 箱的重量，箱的重量，1,2, .in 250,5 ,iiEXDX 50500050500055nnTnnP TPnn 1 ,nnii

14、TX 总重量总重量250 ,5,nnETn DTn 由定理由定理4 4，有，有2 (50 , 5).nTNnn近近似似地地100010().nn (2)0.9772, 反查正态分布表，知反查正态分布表，知50000.9772,nP T 欲使欲使100010()(2),nn 1000102,nn 解得解得 98.0199,n 即每辆车最多可以装即每辆车最多可以装 98 箱，才能保证不超载的概率大箱，才能保证不超载的概率大于于0.9772.例例2. 2. 产品成箱包装，假设各箱的重量相互独立，且每箱产品成箱包装，假设各箱的重量相互独立，且每箱 平均重平均重5050千克，标准差为千克，标准差为5 5

15、千克。若用最大载重量为千克。若用最大载重量为5 5吨吨 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以 装多少箱，才能保证不超载的概率大于装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.9772.0.9772.,)( 0 iiipxXE离离散散型型情情形形一一. .数学期望的定义数学期望的定义二二. .方差的定义方差的定义 .)()( dxxxfXE连连续续型型情情形形 dxxfEXxXD)()( 2连连续续型型情情形形2)( EXXEXD 一一般般定定义义,)( 2 iiipEXxXD离离散散型型情情形形第第 3, 4 章小结章小结注：计算方差的常用公

16、式：注：计算方差的常用公式：22)()(EXXEDX 三三. .几种常用分布随机变量的期望和方差几种常用分布随机变量的期望和方差1. 设设 X 为为 r.v., 数学期望为数学期望为 EX, 则则Y=aX+b 的数学期望为的数学期望为 EY= aEY + b .特别特别 EC =C .即常数的期望是其自身即常数的期望是其自身.四、期望、方差的常用性质四、期望、方差的常用性质2. 设设 X为为 r.v., 方差方差 DX存在存在, 则则Y=aX+b 的方差为的方差为 特别特别 DC = 0 . 即常数的方差等于即常数的方差等于 0.).()(2XDabaXDDY niiiniiiXEcXcE11

17、).( niiniiXEXE11)(则则独独立立若若,21nXXX3. 4. ninjijijiiiniiiXXccXDcXcD121. ),cov()(5. niiiXDc12)(独立时独立时特别特别 D XYD XD Y 2cov(,)D XYD XD YX Y 独立时，有独立时，有 2XYD XD YDXDY 设设X为随机变量，为随机变量，c 为常数，若为常数，若 ，则，则 Ec2)(cED 6.6.方差的最小性方差的最小性. .五、随机变量函数的数学期望五、随机变量函数的数学期望 dxxfxgEgE)()()(一维情形一维情形 1)()(kkkpxgEgE 11),(),(ijijji

18、pyxgEgEdxdyyxfyxgEgE ),(),(),(二维情形二维情形六、协方差与相关系数六、协方差与相关系数)(),( EEECov DDCov),( 相关系数相关系数:协方差协方差:注：下列说法等价注：下列说法等价 (1) X与与Y 不相关不相关; 0)2( 0),()3( Cov EEE )4( DDD)( )5( EEE定理：定理：1) 1) ； 2) 2) ，其中，其中 为常数。为常数。1 11 bXaYP ba,七、一些结论七、一些结论1. 1. 若随机变量若随机变量X与与Y 相互独立，则相互独立，则 X与与Y 不相关；不相关； 但反之不真。但反之不真。2. 若（若（X，Y）

19、服从二维正态分布，则）服从二维正态分布，则 X与与Y 独立的独立的 充分必要条件是充分必要条件是X与与Y不相关。不相关。., ,), 2 , 1(),( . 31221112 niiiniiiniiiniiiccNXcXXniNX 则则相相互互独独立立且且设设4.4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 若若 r.v.r.v.X 具有数学期望具有数学期望 , ,方差方差 , ,则对任则对任意的意的 ，有，有 E2 D0 22 P或等价地或等价地 221 P为为阶阶中中心心矩矩的的则则设设kkXEkXNXvr)( ),(.2 , !)!1( 0 )(为为偶偶数数为为奇奇数数kkkXEkk 5. 正态分布

20、的各阶矩正态分布的各阶矩特别特别.3, 0, 0443221 补充补充例题例题例例1 1（1 1）已知）已知 , ,求求 。(),( )0,xexf xx EX解：解：( )EXxf x dx ()xxedx 1. 0()txtte dt 00ttte dte dt 例例1(2)1(2)设随机变量设随机变量 独立同分独立同分 布，布， 则行列式则行列式的数学期望的数学期望= 。( ,1,2, ;2)ijXi jn n2ijEX 111212122212nnnnnnXXXXXXYXXX 0例例2 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要 调整的

21、概率相应为调整的概率相应为 0.1,0.2,0.3 。假设各部件的状态相互独。假设各部件的状态相互独 立，以立，以 X 表示同时需要调整的部件数，试求表示同时需要调整的部件数，试求 X 的数学期的数学期 望望 EX 和方差和方差 DX。解解 令令Ai=“第第 i 个部件需要调整个部件需要调整”（i =1，2，3）).3 , 2 , 1( 0 , 1 iAAXiii不出现不出现若若出现出现若若记记),(iiAPEX 知知独立独立由由,321XXX 31iiEXEX 31iiDXDX.46. 07 . 03 . 08 . 02 . 09 . 01 . 0 , 6 . 03 . 02 . 01 .

22、0 ).3 , 2 , 1( )(1)( iAPAPDXiii,31 iiXX则则.1)( xEXxXP 有有例例3 3 设设 X 是非负连续型随机变量，证明对任意是非负连续型随机变量，证明对任意 x 0, 0, )()( xtdttfxXP证证 )(xtdttfxt )(1xtdtttfx 01dtttfx) )( (.xEX .1)( xEXxXP 例例4 设总体设总体 X 服从正态分布服从正态分布 , 试求试求 X 的的k 阶原点矩。阶原点矩。)1 , 0(N dxxxXEkk)()( dxexxk2221 ; 0)(, kXEk为为奇奇数数时时当当,为为偶偶数数时时当当kdxexXEx

23、kk202212)( . !)!1( , 0)( 为为偶偶数数为为奇奇数数kkkXEk2112()2kk 解解21222 202=kxtktte dx (1)!k 222)(2)( EYXYEEXYXE 解解DYDXYX),cov( 再再由由例例5 5 设随机变量设随机变量 X 和和 Y 的相关系数为的相关系数为0.5,0.5, 2)(YXE则则2, 022 EYEXEYEX .)(24XYE DYDXEYEXXYE )(5 . 0)( DYDXXYEDYDXXYE5 . 0)( 1225 . 0 624)( 2 YXE于于是是. 2 , 2)(22 DYEXEXDX6(03年考研题年考研题)

24、例例6 设随机变量设随机变量 X 和和 Y 的概率分布为的概率分布为解解 应填应填 -0.02-0.02。 ),cov(2222YXYX的的协协方方差差和和则则,6 . 04 . 0102 X由联合分布，可得由联合分布，可得28. 0, 5 . 0, 6 . 0 2222 YEXEYEX故故1 0 1 Y15.0 18.007.0020.0 32.008.01X 。,5 . 05 . 0102 Y,28. 072. 01022 YX222222),cov( EYEXYEXYX 从从而而02. 05 . 06 . 028. 0 -0.02-0.02解（解（1）先求）先求 (X, Y ) 的的 联

25、合分布律联合分布律, 如右表如右表例例7 已知随机变量已知随机变量 X, Y 以及以及Y 的分布律为如下：的分布律为如下：求（求（1）P( X=2Y )；(2) Cov(X-Y, Y)与与XY 。 0 1 2111 236Xp 0 1 2111 333Yp 0 1 2 4711 0 12312XYp 0 1 2 0 1 2 111 333YX1213161311200112001414 (2 )P XY (0,0)(2,1)P XYP XY 11+0=.44 2012年年考研题考研题解解(2)(,)Cov XY Y 由于由于(,)0,Cov X Y =(,)-( ,)Cov X YCov Y

26、Y22=-() EXYEXEYEYEY 225=1 133322=0,33 故故0.XY 例例7 已知随机变量已知随机变量 X, Y 以及以及Y 的分布律为如下：的分布律为如下：求（求（1）P( X=2Y )；(2) Cov(X-Y, Y)与与XY 。 0 1 2111 236Xp 0 1 2111 333Yp 0 1 2 4711 0 12312XYp2012年年考研题考研题例例8 设设 A, B 是试验是试验 E 的两个事件的两个事件, 且且 P(A)0, P(B)0, 并定义随机变量并定义随机变量 X, Y 如下如下; , 0 , 1 不发生不发生若若发生发生若若AAX, , 0 , 1

27、 不发生不发生若若发生发生若若BBY. , 0必必定定相相互互独独立立则则证证明明若若YXXY ),()1, 1(11)( ABPYXPXYE 易易知知证证),()1(APXPEX ),()1(BPYPEY , 0 XY 若若),1()1()1, 1( YPXPYXP故故有有.,),()()(独独立立即即事事件件BABPAPABP 由事件的独立性知由事件的独立性知,)(EXEYXYE 则则; , 0 , 1 不发生不发生若若发生发生若若AAX, , 0 , 1 不发生不发生若若发生发生若若BBY. , 0必必定定相相互互独独立立则则证证明明若若YXXY ),1()0()1, 0( YPXPYX

28、P于于是是, 成成立立对对一一切切jipppjiij . ,相相互互独独立立故故YX),0()1()0, 1( YPXPYXP),0()0()0, 0( YPXPYXP. , ,也也独独立立与与与与与与BABABA例例8 设设 A, B 是试验是试验 E 的两个事件的两个事件, 且且 P(A)0, P(B)0, 并定义随机变量并定义随机变量 X, Y 如下如下例例9 设设XN(0, 1)，Y=X2，求证，求证 X与与Y 不相关，但也不不相关，但也不 独立。独立。证证 30, 0,EXEXYEX 故故 (,)0,Cov X Y 所以所以 X, Y 不相关。不相关。 (1,1)P XY 2(1,1

29、)P XX 2(1)P X 2(1) (1)P XP X 由于由于（因为（因为(1)1.)P X 故故 X 与与 Y 也不独立。也不独立。例例10 连续掷一枚均匀硬币，问至少需要掷多少次才能保连续掷一枚均匀硬币，问至少需要掷多少次才能保 证正面向上的频率在证正面向上的频率在 0.4 与与 0.6 之间的概率不少于之间的概率不少于 90%。 （1）用切比雪夫不等式确定抛掷次数；）用切比雪夫不等式确定抛掷次数； （2）用正态逼近计算抛掷次数。）用正态逼近计算抛掷次数。解解),21 ,( nbX则则,数数次次硬硬币币中中正正面面出出现现的的次次表表示示掷掷记记nX)6 . 04 . 0( )1( n

30、XP,4,2nDXnEX )1 . 0|2(|nnXP ,251)1 . 0(4/12nnn .250 9 . 0251 nn由由, 9 . 0)1 . 0|5 . 0(| )2( nXP由由, 9 . 0) 41 . 04|5 . 0| ( nnnnXP由由, 9 . 01 )n(0.22 ,95. 0)n(0.2 .68,65. 1n0.2 n例例10 连续掷一枚均匀硬币，问至少需要掷多少次才能保连续掷一枚均匀硬币，问至少需要掷多少次才能保 证正面向上的频率在证正面向上的频率在 0.4 与与 0.6 之间的概率不少于之间的概率不少于 90%。 （1）用切比雪夫不等式确定抛掷次数；）用切比雪

31、夫不等式确定抛掷次数； （2）用正态逼近计算抛掷次数。）用正态逼近计算抛掷次数。第五章第五章 数理统计初步数理统计初步引言引言 概率论中讨论问题常常是假定概率论中讨论问题常常是假定r.v.的分布已知，去求的分布已知，去求 有关事件的概率或数字特征等等。有关事件的概率或数字特征等等。 但在实际中，但在实际中，r.v.的分布常常是未知的，或虽然知道其分的分布常常是未知的，或虽然知道其分布类型，但其中的参数值并不知道。布类型，但其中的参数值并不知道。如：一次考试过后，学生的成绩究竟服从什么分布？如：一次考试过后，学生的成绩究竟服从什么分布？ 若假定其服从正态分布，其中参数值又等于多少？若假定其服从正

32、态分布，其中参数值又等于多少？ 一批灯泡的寿命分布如何？次品率是多少？一批灯泡的寿命分布如何？次品率是多少？回答这些问题，正是数理统计的内容。回答这些问题，正是数理统计的内容。数理统计的任务数理统计的任务 以概率论为理论基础，研究如何用有效的方法去收集、以概率论为理论基础，研究如何用有效的方法去收集、整理和分析带有随机性影响的数据，并对所提出的问题作整理和分析带有随机性影响的数据，并对所提出的问题作出推断和预测，为决策提供依据和建议。出推断和预测，为决策提供依据和建议。数理统计的主要内容包括：数理统计的主要内容包括： 数据收集数据收集：抽样调查，怎样有效地得到一批数据；：抽样调查，怎样有效地得

33、到一批数据； 数据整理数据整理：建立一种方法，提取数据中包含的信息；：建立一种方法，提取数据中包含的信息； 统计推断统计推断：回答要解决的问题，如参数的估计，假设：回答要解决的问题，如参数的估计，假设 检验、趋势预测等。检验、趋势预测等。 一一.总体与样本总体与样本第一节第一节 样本、总体、统计量样本、总体、统计量本节主要介绍一些概念。本节主要介绍一些概念。总体的总体的r.v.表示：表示：以以 X 表示总体的该数量指标，则研究总体表示总体的该数量指标，则研究总体 就相当于研究就相当于研究 X ，故就把，故就把X视为总体，常称为视为总体，常称为总体总体 X。 在实际中，我们研究某一随机试验时，总

34、是研究有关在实际中，我们研究某一随机试验时，总是研究有关对象的某一个（或某几个）数量指标。对象的某一个（或某几个）数量指标。 我们将试验的全部观察值称为我们将试验的全部观察值称为总体总体。而将每一个观察而将每一个观察值称为值称为个体个体。总体中包含的个体的个数称为总体中包含的个体的个数称为总体的容量总体的容量。容量为有限的总体称为容量为有限的总体称为有限总体有限总体，容量为无限的总体称，容量为无限的总体称为为无限总体无限总体。二、样本及样本的联合分布二、样本及样本的联合分布.,:21维随机变量维随机变量实质上是一个实质上是一个样本样本注注nXXXn 对总体对总体 X 进行进行n次观察，将次观察

35、，将n次观察的结果依次记为次观察的结果依次记为,2nXX 称称 为来自总体为来自总体 X 的一个的一个样本样本，nXXX,21 ,1X称称 n 为为样本容量样本容量（或（或样本长度样本长度）。）。 在在 n 次观察具体完成后，得到次观察具体完成后，得到 的具体的具体的值，记为的值，记为 ，称，称 为为样本观察值样本观察值或或样本值样本值。nXXX,21 nxxx,21 nxxx,21 注意样本的二重性注意样本的二重性.定义（简单随机样本）定义（简单随机样本） 设设 X 是具有分布函数是具有分布函数 F 的随机变量，若的随机变量，若是具有同一分布函数是具有同一分布函数 F 的、相互独立的随机变量

36、，则称的、相互独立的随机变量，则称 为从分布函数为从分布函数 F（或总体（或总体 F，或总体，或总体 X）得）得到的容量为到的容量为 n的的简单随机样本简单随机样本，简称，简称样本样本，它们的观察值，它们的观察值， 称为称为样本值样本值，又称为，又称为 X 的的n 个独立观察值个独立观察值。nxxx,21 nXXX,21 nXXX,21 注：根据样本独立同分布的性质，可写出样本的联合分布。注：根据样本独立同分布的性质，可写出样本的联合分布。三、简单随机样本：三、简单随机样本： 我们的目的是要依据所进行的我们的目的是要依据所进行的n次观察（即样本），能次观察（即样本），能对总体对总体 X 的情况

37、作一个推断，因此就要对样本有一定的要的情况作一个推断，因此就要对样本有一定的要求。一般要求样本具有：求。一般要求样本具有：一、代表性；二、独立性一、代表性；二、独立性。 设设 X 为一个总体，为一个总体， 为从此总体中抽取的为从此总体中抽取的一个容量为一个容量为 n 的样本，它们的观察值为的样本，它们的观察值为 。nXXX,21 nxxx,21 12(,)nf x xx 若若X 的分布密度为的分布密度为 ，则，则 的联合的联合密度为密度为)(xfn, 21 若若 X 的分布列为的分布列为 ，则，则 的联合的联合分布律为分布律为P Xx n, 211122 ,nnP Xx XxXx 11221 nnniiP Xx P XxP XxP Xx 1212()()()nXXXnfxfxfx 1()niif x 的的联联合