第11章滤波器设计

1、DIP第第9、10章是分析设计线性滤波器的基础，本章章是分析设计线性滤波器的基础，本章则是讨论设计实现特定目标的滤波器。则是讨论设计实现特定目标的滤波器。让信号与矩形脉冲做卷积，让信号与矩形脉冲做卷积，能实现局部平均，从而减弱高频噪声的影响。它称为能实现局部平均，从而减弱高频噪声的影响。它称为滑动平均滤波器滑动平均滤波器。DIP矩形脉冲信号的傅立叶变换为内插函数，矩形脉冲信号的傅立叶变换为内插函数，谱的过零点就会高于信号最高频率，谱的过零点就会高于信号最高频率2倍。倍。10 a( )()2xf xa sin(2)( )22asF saas2a01/as见图，由于负旁瓣的见图，由于负旁瓣的影响，

2、使不同频率的影响，使不同频率的垂直棒状图案的黑白垂直棒状图案的黑白极性出现反转。极性出现反转。DIP根据相似理论，只要矩形滤波器不超过两个像根据相似理论，只要矩形滤波器不超过两个像素宽度（够窄），它的传递函数的过零点就会落在素宽度（够窄），它的传递函数的过零点就会落在被采样数据的最高频率以外，否则图像中的细微结被采样数据的最高频率以外，否则图像中的细微结构（高频成分）就存在极性反转危险。构（高频成分）就存在极性反转危险。DIP高斯函数的傅立叶变换仍为高斯函数，因此高斯函高斯函数的傅立叶变换仍为高斯函数，因此高斯函数能构成一个在时域和频域都具有平滑性能的低通滤波数能构成一个在时域和频域都具有平滑

3、性能的低通滤波器。可通过在时空域卷积或频域相乘来实现高斯滤波。器。可通过在时空域卷积或频域相乘来实现高斯滤波。DIP用三角脉冲用三角脉冲 (x)做为低通滤波器做为低通滤波器的冲激响应，又称为的冲激响应，又称为加权平均滤波器加权平均滤波器。三角脉冲的谱具有的形式，不会变负（不三角脉冲的谱具有的形式，不会变负（不反转），随频率提高，衰减速度快。反转），随频率提高，衰减速度快。连续两次矩形滤波可得到三角波同样的效果。连续两次矩形滤波可得到三角波同样的效果。2sin xx这种方式的低通滤波方法由三步组成这种方式的低通滤波方法由三步组成a)计算信号的傅立叶变换；计算信号的傅立叶变换；b)将幅度谱的高频部

4、分置将幅度谱的高频部分置0（频域截取）；（频域截取）；c)求傅立叶反变换。求傅立叶反变换。这种做法等同于用一个矩形脉冲去乘幅度谱，也这种做法等同于用一个矩形脉冲去乘幅度谱，也可认为是用与信号卷积。但它会在尖峰或边界可认为是用与信号卷积。但它会在尖峰或边界附近出现振铃，因此高频截止滤波的用途有限。附近出现振铃，因此高频截止滤波的用途有限。sin xxDIP带通和带阻是实用中的需求，保留或去掉频谱带通和带阻是实用中的需求，保留或去掉频谱中不同频段内的成分。中不同频段内的成分。00( )()()()sG ssssss 00sin()sin()( )2cos(2)2cos(2)ststg tss ts

5、s tstst s s-f11s0-f2G(s)f2f1121( )0fsfG selse由于由于G(s)是一对矩形脉冲，可令：是一对矩形脉冲，可令：012211(),2sffsff DIP理想带通滤波器的冲激响应理想带通滤波器的冲激响应DIP当当 (s)很小时，为很小时，为“切口切口”滤波器（滤波器（notch filter），），也叫陷波器。也叫陷波器。s s-f11s0-f2G(s)f2f1120( )1fsfG selse00( )1()()()sG ssssss 0sin()( )( )2cos(2)stg ttss tst DIP理想带阻滤波器的冲激响应理想带阻滤波器的冲激响应DI

6、P用一个非负单峰函数用一个非负单峰函数K(s)与与s0处的冲激偶作卷积。处的冲激偶作卷积。00( )( )()()G sK sssss0( )2 ( )cos(2)g tk ts t假定假定K(s)是高斯函数，则是高斯函数，则22/200( )()()saG sAessss22/2022( )cos(2)2tAg tes t12 a其中：其中：4s0G(s)-s0DIP高斯带通滤波器的冲激响应高斯带通滤波器的冲激响应显然，利用上述技术也可以很容易地构造带阻滤波器。显然，利用上述技术也可以很容易地构造带阻滤波器。DIP传递函数在零频处为传递函数在零频处为1，频率升高则，频率升高则H(s)增长，增

7、长，（由于不能无限增长），至某个频率值后开始衰减，直（由于不能无限增长），至某个频率值后开始衰减，直至至0。用两个不同宽度的高斯函数的差分来产生用两个不同宽度的高斯函数的差分来产生222212/2/212( ),ssG sAeBeAB222212/2/222121( ),222ttiiABg teeDIP高斯高频增强滤波器的传递函数高斯高频增强滤波器的传递函数DIP高斯高频增强滤波器的冲激响应高斯高频增强滤波器的冲激响应DIP假定滤波器的冲激响应是假定滤波器的冲激响应是脉冲脉冲减减脉冲，则其脉冲，则其G(s)具有高频增强具有高频增强滤波器的形状。下面要估算滤波器的形状。下面要估算G(s)在在s

8、=0处的值处的值及及s=?时时G(s)最大最大。12( )( )( )g tg tg t脉冲脉冲脉冲脉冲：对：对g(t)做傅立叶变换并令做傅立叶变换并令s=02 01212(0)( )( )( )jtGg t edtg t dtg t dtAA这个值恰好相当于两个这个值恰好相当于两个s=0时的时的G(s)的幅度差的幅度差12(0)(0)GG由于由于G(s)非负，最大值出现在非负，最大值出现在G2(0)=0时，于是时，于是max111(0)( )GGg t dtADIP：指滤波器对图像中：指滤波器对图像中较大物体较大物体和和恒值灰度区恒值灰度区域域的响应。假定冲激响应的响应。假定冲激响应g(t)

9、的持续时间有限，而输的持续时间有限，而输入信号入信号f(t)在在g(t)期间恒定。于是系统输出：期间恒定。于是系统输出：( )( ) ()()( )h xfg xdcg xdcgd由于由于s0时的傅立叶变换：时的傅立叶变换：(0)( )Gg t dt( )(0)h xcG因此，如果因此，如果G(0)=1，那么滤波器将不改变那么滤波器将不改变f(x)中的大中的大而且恒定区域的幅度（低频响应为而且恒定区域的幅度（低频响应为1，即低频无改变），即低频无改变）对二维场合，滤波器不改变输入图像中大而平坦区域对二维场合，滤波器不改变输入图像中大而平坦区域的对比度。如果的对比度。如果G(0) 1，则该参数成

10、为增益因子，控则该参数成为增益因子，控制着制着h(t)和和f(t)的较大分量的总体幅度关系。的较大分量的总体幅度关系。DIP在数字图像处理中曾经出现非常多的滤波器设在数字图像处理中曾经出现非常多的滤波器设计，但很多都是次优的，计，但很多都是次优的，并不是最优并不是最优。次优滤波器（易于用计算机实现）可能会给图次优滤波器（易于用计算机实现）可能会给图像引入人为的现象，而且常常是不可预料的。例如像引入人为的现象，而且常常是不可预料的。例如在一个域为矩形的滤波器，在对应的域中则会产生在一个域为矩形的滤波器，在对应的域中则会产生减幅振荡（振铃）。减幅振荡（振铃）。对于对于是是最优的，而最优的，而对于对

11、于是最优的。是最优的。DIP用用来描述未知的受到噪声污染的信号，即只来描述未知的受到噪声污染的信号，即只有关于某信号的一些一般知识而缺乏具体了解。有关于某信号的一些一般知识而缺乏具体了解。：对：对某成员某成员在时间区间上作积分来计算随机在时间区间上作积分来计算随机变量。变量。：计算：计算所有成员所有成员函数在某个特定时函数在某个特定时间点取值的平均值。间点取值的平均值。：(1)所有成员函数的时间均值相等；所有成员函数的时间均值相等；(2)样本集均值不随时间而改变；样本集均值不随时间而改变；(3)时间均值和样本集时间均值和样本集均值在数值上相等均值在数值上相等。因此，。因此，。DIP期望算子期望

12、算子 x(t)是随机变量是随机变量x在在t时刻的时刻的样本集均值样本集均值，在，在遍历性条件下，它也可表示随机变量的任一个特定样遍历性条件下，它也可表示随机变量的任一个特定样本的本的时间均值时间均值：( )( )x tx t dt遍历性随机变量的所有成员函数的自相关函数是一样遍历性随机变量的所有成员函数的自相关函数是一样的，因此的，因此自相关函数也可以作为成员函数自相关函数也可以作为成员函数样本集的特样本集的特征征。因此，若。因此，若n(t)是遍历性随机变量，则它是一个有着是遍历性随机变量，则它是一个有着已知自相关函数已知自相关函数的的未知函数未知函数。n(t)的自相关函数为：的自相关函数为：

13、( )( ) ()nRn t n tdt则功率谱为：则功率谱为：( )( )nnP sRF也就是说，也就是说，知道知道n(t)的幅度谱的幅度谱，但，但不知其相位谱不知其相位谱。实。实际上，成员函数集由无限多的仅在相位谱上有区别的际上，成员函数集由无限多的仅在相位谱上有区别的函数均值构成。函数均值构成。DIP维纳滤波器（维纳滤波器（Wiener filter）是经典的线性降噪是经典的线性降噪滤波器。滤波器。s(t)n(t)x(t)h(t)y(t)+定义定义误差信号误差信号，它是遍历性随机变量的它是遍历性随机变量的线性组合。显然，如果线性组合。显然，如果h(t)合理，则合理，则e(t)能尽可能地小

14、。能尽可能地小。用用作为作为平均误差平均误差的度量：的度量：22( )( )MSEe te t dt选取选取作为设计维纳估计器的作为设计维纳估计器的DIP因为因为是是x(t)和和h(t)的卷积，因此的卷积，因此222222123( )( )( )( )2 ( ) ( )( )( )2( ) ( )( )MSEe ts ty ts ts t y ty ts ts t y ty tTTT221( )( )(0)sTs ts t dtR其中：其中：22( ) ( )2( )( ) ()2( )( ) ()2( )( )xsTs t y ts thx tdhs t x tdhRd 期望算子是对时间的积

15、分期望算子是对时间的积分DIP23( )( ) ( )( ) ()( ) ()( ) ( )() ()Ty ty t y thx tdh u x tu duhh ux tx tud du vtu () ()() ( )x tx tux vux v3( ) ( )()xThh u R ud du 因此，上述因此，上述为：为：(0)2( )( )( ) ( )()sxsxMSERhRdhh u R ud du 上式即为用上式即为用以及以及表示的表示的，它显然是它显然是h(t)的函数。的函数。希望找到希望找到h0(t)使使MSE最小最小。DIP用用ho(t)表示使表示使MSE达到最小的特定函数。则：

16、达到最小的特定函数。则：( )( )( )oh th tg t(0)2( )( )( ) ( )()(0)2( )( )( )( )( )( )( )()(0)2( )( )( )( )()( ) ( )()sxsxsoxsooxsoxsooxoxMSERhRdhh u R ud duRhgRdhgh ug uR ud duRhRdhh u R ud duhg u R ud d ( ) ( )()2( )( )( ) ( )()oxxsxuh u gR ud dugRdgg u R ud du 2( )( )()( )( ) ( )()ooxxsxMSEMSEg uhR udRudugg u

17、R udud ，否则与，否则与g(u)相乘后可能为负，相乘后可能为负，使使MSE小于小于MSEo，不合理。不合理。DIP2( ) ( )()( ) ( )() ()( ) ()( ) ()( )oxoooMSEMSEgg u R ududMSEgg ux tu x tdtdudMSEg u x tu dugx td dtMSEzt dt 0( )( )()xsoxRh u R udu因此，是均方误差最小的因此，是均方误差最小的必要条件必要条件该式该式也是滤波器最优的也是滤波器最优的充分条件充分条件（不再需要其他条件了）（不再需要其他条件了）于是：于是：该式从均方该式从均方意义上定义了意义上定义

18、了最优线性估值器最优线性估值器的冲激响应。的冲激响应。DIP对任何线性系统，输入和输出之间的互相关由下式给出对任何线性系统，输入和输出之间的互相关由下式给出( )( )( )xyxRh uR u0( )( )( )( )xsxxyRh uR uR输入输入输出输出的互相关函数的互相关函数信号信号 (信号信号+噪声噪声)的互相关函数的互相关函数。0( )( )( )( )xsxxyPsHs P sPs0( )( )( )xyxPsHsP s频域：频域：DIP(1)对输入信号对输入信号的样本进行数字化。的样本进行数字化。(2)求输入求输入样本的自相关得到样本的自相关得到的一个估值。的一个估值。(3)

19、计算计算的傅的傅立叶变换得到立叶变换得到。(4)在无噪声的情况下对取得输入在无噪声的情况下对取得输入信号的一个样本进行数字化。信号的一个样本进行数字化。(5)求信号样本与输入样求信号样本与输入样本的互相关来估计本的互相关来估计 。(6)计算计算的的傅立叶变换傅立叶变换得到得到 。(7)计算最优滤波器的传递函数计算最优滤波器的传递函数 。(8)如果要用卷积运算来实现滤波器，则计算如果要用卷积运算来实现滤波器，则计算的傅立的傅立叶反变换得到最优线性估值器的冲激响应叶反变换得到最优线性估值器的冲激响应。0( )( )( )xyxPsHsP s根据：根据：DIP ( ) ( )( )( )s t n

20、ts tn t ( )( ) ()( )( )()( ) ()( ) ()( )( )()( )( )()( )(0) (0)xssssRx t s ts tn ts ts t s tn t s tRn ts tRn t dts tdtRNSDIP ( )( ) ()( )( )()()( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()( )( )( )()( )()( )( )( )()( )()( )( )2xsnsnsnRx t x ts tn ts tn ts t s tn t n tn t s ts t n tRRn ts ts tn tRRn t dts tdts t dtn tdt

21、RRN(0) (0)S0( )( )( )(0) (0) ( )( )( )( )( )( )2(0) (0) ( )xyxysxxsnRPsP sNSsHsP sRP sP sNSsFF因此：因此：0( )( )0( )( )ssnP sHssP sP s忽略忽略0频：频：DIPx(t)n(t)F(s)s(t)w(t)F(s)1y(t)H0(s)z(t)G(s)( )( )( )( ) ( )( )X sW sN sF s S sN s( )( )( )( )( )( )( )( )X sN sY sS sS sK sF sF s2022( )( )( )( )( )( )( )( )ssk

22、S sP sHsP sP sN sS sF s信号与噪声无关时，维纳滤波器的传递函数为：信号与噪声无关时，维纳滤波器的传递函数为：则则均方最优均方最优去卷积滤波器的传递函数为：去卷积滤波器的传递函数为：02( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )sssksnHsP sFs P sG sF sF sP sP sF sP sP sDIP是从噪声污染的信号中是从噪声污染的信号中恢复未知恢复未知的原信号，的原信号，而而是从背景中是从背景中找出已知找出已知信号的位置。信号的位置。因此，匹配检测是要检出在有噪声的情况下是否存因此，匹配检测是要检出在有噪声的情况下是否存在在

23、形状被事先说明的信号。形状被事先说明的信号。m(t)n(t)x(t)k(t)y(t)+匹配检测匹配检测模型与模型与维纳滤波器维纳滤波器的模型一样，的模型一样，但这里是要根据但这里是要根据y(t)来检测是否出现了已知形式的特来检测是否出现了已知形式的特定信号定信号m(t)。因此，要设计合适的冲激响应因此，要设计合适的冲激响应k(t)。DIPm(t)n(t)x(t)k(t)y(t)+( ) ( )( )* ( )( )* ( )( )* ( )y tm tn tk tm tk tn tk tm(t)n(t)y(t)k(t)u(t)+k(t)v(t)( )( )* ( )( )( )* ( )u t

24、m tk tv tn tk t显然，显然，u(t)是滤波后的信号是滤波后的信号，v(t)是滤波后的噪声是滤波后的噪声。假定知道假定知道m(t)的函数形式，但不知道信号将会在何时出现。的函数形式，但不知道信号将会在何时出现。检测反射回来的雷达脉冲（反射的与发出的形式检测反射回来的雷达脉冲（反射的与发出的形式一样，但不知何时出现）。一样，但不知何时出现）。在在DIP中，匹配检测器中，匹配检测器DIP把输出端的把输出端的在在0时刻的取值作为衡时刻的取值作为衡量滤波器性能的一种度量：量滤波器性能的一种度量：22(0)(0)uv原型信号原型信号m(t)通常是以原点为中心的相当窄的函数。通常是以原点为中心

25、的相当窄的函数。希望输出功率在希望输出功率在t=0时刻（信号出现的时刻）变大，而在时刻（信号出现的时刻）变大，而在这之前和之后，当信号不存在时，输出幅度相当小。这之前和之后，当信号不存在时，输出幅度相当小。根据移不变性质，如果根据移不变性质，如果m(t-t1)在在t1时刻到达，那么滤时刻到达，那么滤波器的输出幅度将在波器的输出幅度将在t1时刻增大，即表示信号出现了。时刻增大，即表示信号出现了。 越大，越大， y(t)的幅度越依赖于的幅度越依赖于m(t)是否出现，而对噪是否出现，而对噪声声n(t)的波动越不敏感的波动越不敏感 。DIP因为已知因为已知m(t)的函数形式，因此的函数形式，因此u(t

26、)是确定性的，是确定性的，可去掉期望算子：可去掉期望算子：2212222( )( )( )( )(0)(0)( )( )( )( )ndM s K sm tk tuvn tk tn tk tF22( )( )( )( )nK s M s dsK sP s ds经化简，对其最大化即可。经化简，对其最大化即可。DIP222( )( )( ) ( )ft dt gt dtf t g t dt2( )( )nM sdsP s2max( )( )nM sdsP s0( )( )( )nM sKsCP s传递函数的幅度与传递函数的幅度与信号幅度与噪声功率之比信号幅度与噪声功率之比成正比，成正比，是频率的函数。是频率的函数。C为任意常数。为任意常数。DIP略略DIP是非线性滤波器的一种，它基于对集合中的元素排是非线性滤波器的一种，它基于对集合中的元素排序以后得到的统计量进行滤波，常见的是中值滤波。序以后得到的统计量进行滤波，常见的是中值滤波。中值滤波类似于卷积，但它计算的不是加权求和，中值滤波类似于卷积，但它计算的不是加权求和，而是把邻域中的而是把邻域中的，然后，然后。1)用一个的窗口（用一个的窗口（N=3