第十二章.动力学运动微分方程

1、1.1.研究内容研究内容: : 建立物体运动状态变化与力的建立物体运动状态变化与力的关系关系, ,研究运动状态变化的原因研究运动状态变化的原因. . 进一步解决已知受力进一步解决已知受力, ,如何确如何确定物体的运动定物体的运动, ,或已知物体运动状或已知物体运动状态的变化态的变化, ,如何来确定作用在物体如何来确定作用在物体上的力上的力 运动和受力的关系运动和受力的关系2. 质点质点.质点系质点系.刚体刚体:.质点质点:具有一定质量的几何点具有一定质量的几何点. 物体在以下两种情况下可看成质点物体在以下两种情况下可看成质点:物体尺寸远小于其运动范围物体尺寸远小于其运动范围物体各点运动情况相同

2、物体各点运动情况相同平动平动.质点系质点系:由许多相互联系着的质点组成的系统由许多相互联系着的质点组成的系统.刚体刚体:质点系中质点系中,任意两个质点之间的距离都任意两个质点之间的距离都 保持不变保持不变.这样的质点系叫刚体这样的质点系叫刚体.1 牛顿第一定律牛顿第一定律:(惯性定律惯性定律)质点如不受外力的作用质点如不受外力的作用,将保持其原有的静止或将保持其原有的静止或匀速直线运动状态匀速直线运动状态定律内容定律内容:定律的意义定律的意义:指出物体具有惯性指出物体具有惯性 (物体保持运动状态物体保持运动状态 不变的性质不变的性质惯性惯性) 定性地指出了力和运动状态发生变化定性地指出了力和运

3、动状态发生变化之间的关系之间的关系即力是产生加速度的原因即力是产生加速度的原因2.牛顿第二定律牛顿第二定律:(力与加速度的关系定律力与加速度的关系定律)定律内容定律内容:质点质点受受外力作用时外力作用时,将产生运动加速度将产生运动加速度,加速度的方向与加速度的方向与外外力力合合力的方向一致力的方向一致,其大小与合力的大小成正比其大小与合力的大小成正比,与质点的与质点的质量成反比质量成反比.定律的数学形式定律的数学形式:F = m a注意理解注意理解:矢量性矢量性: 力和加速度都是矢量力和加速度都是矢量; 力的方向始终与加速力的方向始终与加速 度方向一致度方向一致瞬时性瞬时性: 加速度随力的产生

4、而产生加速度随力的产生而产生;随力的消失而消失随力的消失而消失;随力的变化随力的变化而变化而变化 .F(“受受”.“外外”.“合合”):F是研究对象受到的力是研究对象受到的力;F是外力是外力,不是内力不是内力;F是所有作用于对象外力的合力是所有作用于对象外力的合力3 牛顿第三定律牛顿第三定律(作用力作用力,反作用力定律反作用力定律):定律内容定律内容:两物体之间的相互作用力两物体之间的相互作用力,总是总是大小相等方向相反大小相等方向相反,沿着同一沿着同一作用线且作用于两个物体上作用线且作用于两个物体上.作用力作用力.反作用力的特性反作用力的特性:作用力和反作用力性质相同作用力和反作用力性质相同

5、: 作用力如果是引力作用力如果是引力,那么反作用力那么反作用力也必然是引力也必然是引力; 作用力为弹力作用力为弹力,则反作用力也为弹力则反作用力也为弹力作用力作用力.反作用力总是反作用力总是 同时产生同时产生,同时消失同时消失.作用力和反作用力总是作用在作用力和反作用力总是作用在不同的物体上不同的物体上,不会抵消不会抵消.4 牛顿定律的适用范围牛顿定律的适用范围牛顿定律适用牛顿定律适用 于惯性参考系于惯性参考系能使牛顿第一定律成立的能使牛顿第一定律成立的参考系参考系,称为惯性参考系称为惯性参考系.(一般工程问题一般工程问题,以固结在地球或相对地球以固结在地球或相对地球作匀速直线运动的物体上的坐

6、标系作为作匀速直线运动的物体上的坐标系作为惯性参考系惯性参考系.)例如例如:加速启动的汽车靠背对人有推力加速启动的汽车靠背对人有推力对于惯性参考系对于惯性参考系(地面地面):推力导致人产生加速度推力导致人产生加速度这一现象可以用牛顿定律来研究这一现象可以用牛顿定律来研究,解释解释.而对于非惯性参考系而对于非惯性参考系(加速的汽车加速的汽车):人受力人受力但却相对汽车静止但却相对汽车静止.无法用牛顿定律来解释无法用牛顿定律来解释这一现象这一现象.牛顿定律适用于低速牛顿定律适用于低速,宏观物体宏观物体:根据爱因斯坦的相对论根据爱因斯坦的相对论,物体高速运动时物体高速运动时,其长度和质量都有明显的变

7、化其长度和质量都有明显的变化,且这一运动且这一运动过程所花的时间对于不同的参考系有不同过程所花的时间对于不同的参考系有不同的值的值而对于微观物质的运动也只能用量子力学而对于微观物质的运动也只能用量子力学来研究来研究1 质点运动微分方程的基本方程质点运动微分方程的基本方程由方程由方程:m a = Fm(d2r)/(dt2)=F2 质点运动微分方程的直角坐标形式质点运动微分方程的直角坐标形式:MVaFYX在平面内取直角坐标系在平面内取直角坐标系将式子将式子ma=F两边两边分别投影到分别投影到X.Y轴上得到轴上得到max=Xmay=YMVaFYX其中其中:ax = (d2x)/(dt2)ay = (

8、d2y)/(dt2)m (d2x)/(dt2)=XM (d2y)/(dt2)=Y上式即为直角坐标下的质点运动微分方程上式即为直角坐标下的质点运动微分方程max=X may=Y(X. Y为为F在在坐标轴上的投影坐标轴上的投影)可以得到可以得到:3质点运动微分方程的自然坐标形式质点运动微分方程的自然坐标形式:如图如图:选择自然坐标形式选择自然坐标形式,将动力学基本方程将动力学基本方程ma=F投影到该瞬时质点所在位置轨迹投影到该瞬时质点所在位置轨迹曲线的切线方向和法线方向上曲线的切线方向和法线方向上.得得:P nvFasma = F man = Fn m (d2s)/(dt2)= F m v2/ =

9、 Fn由运动学由运动学: a =(d2s)/(dt2) an = v2/ (s为弧坐标为弧坐标, 为曲率半径为曲率半径)1 已知质点的运动已知质点的运动,求作用于质点的力求作用于质点的力建立质点运动方程建立质点运动方程;通过微分运算通过微分运算,求力在坐标轴上的投影求力在坐标轴上的投影;由静力学的知识求力的大小由静力学的知识求力的大小,方向方向.2.已知作用在物体上的力已知作用在物体上的力,求运动情况求运动情况. 确定研究对象确定研究对象;列运动微分方程列运动微分方程,并积分并积分;由初始条件确定积分常数由初始条件确定积分常数;最后计算出特征量最后计算出特征量V0.a等等确定研究对象确定研究对

10、象受力分析受力分析运动分析运动分析选取坐标系选取坐标系第一类问题第一类问题由已知条件确定加速度由已知条件确定加速度建立质点运动微分方程建立质点运动微分方程解方程求未知力解方程求未知力第二类问题第二类问题将研究对象置于运动将研究对象置于运动过程的一般位置过程的一般位置建立质点运动微分方程建立质点运动微分方程进行积分运算求解进行积分运算求解 如图如图:电梯以匀加速电梯以匀加速a上升上升.求放在电梯地板上重量为求放在电梯地板上重量为G的物体的物体A对地板对地板的压力的压力N .解解: 以物体以物体A为研究对象为研究对象 作受力分析图作受力分析图:AaANGaY以物体以物体A的位置为的位置为原点建立坐

11、标轴原点建立坐标轴Y列运动微分方程列运动微分方程 may = Y (G/g) a = N G N = G (1 + a/g)物体物体A对地板的压力对地板的压力N = N = G (1 + a/g)Aa讨论讨论: 物体物体A对地板的压力对地板的压力 N = N = G (1 + a/g) 当电梯的加速度方向当电梯的加速度方向 向上时向上时, a 0. N = G (1 + a/g) G 支持力超过重力支持力超过重力超重超重当电梯的加速度方向当电梯的加速度方向 向下时向下时, a 0. N = G (1 + a/g) G 支持力小于重力支持力小于重力失重失重ANGaY当电梯静止时当电梯静止时: 支

12、持力等于重力支持力等于重力 质量为质量为1公斤的质点公斤的质点M用两根细绳系住用两根细绳系住,另一端分别固定在另一端分别固定在A.B,如图如图.已知质点已知质点M以速度以速度 v=2.5(m/s)在水平面内作匀速圆周运动在水平面内作匀速圆周运动,半径半径r=0.5(m)求两绳的拉力求两绳的拉力.ABOM4560解解: 解题思路解题思路.本题是动力学本题是动力学第一类问题第一类问题.因已知因已知质点运动轨迹质点运动轨迹,采用采用自然坐标形式的运自然坐标形式的运动微分方程动微分方程.ABOM45601.质点质点M为研究对象为研究对象2.受力分析如图受力分析如图WTATBvnr3.运动情况分析运动情

13、况分析质点在水平面内质点在水平面内匀速圆周运动匀速圆周运动,切向加速度为切向加速度为a = dv/dt=0an=v2/r法向加速度指向法向加速度指向O点点,其大小为其大小为4.建立建立M点的运动微分方程点的运动微分方程F =ma =0 Fn =man TAsin45+TBsin60=mv2/rABOM4560WTATBnr由由得得:在竖直方向在竖直方向;TAcos45+TBcos60-W=0联立求解得联立求解得:TB=7.38(N)TA=8.65(N) 有一圆锥摆如图所示。摆锤质量为有一圆锥摆如图所示。摆锤质量为M，摆，摆线长为线长为L，质量不计。已知摆锤在水平面内作匀，质量不计。已知摆锤在水

14、平面内作匀速圆周运动且摆线与铅垂线始终成速圆周运动且摆线与铅垂线始终成的角试的角试求小球的速度和摆线的拉力求小球的速度和摆线的拉力 解：题意分析解：题意分析将摆锤视为质点，由题意知，将摆锤视为质点，由题意知，其运动轨迹为一巳知圆，其运动轨迹为一巳知圆，其速度大小不变，其速度大小不变，摆锤的加速度只有向心摆锤的加速度只有向心加速度，其方向为已知，加速度，其方向为已知，大小为未知。大小为未知。摆锤所受的力有已知重力和未知拉力摆锤所受的力有已知重力和未知拉力,例例3 要求的未知量，既有运动量，要求的未知量，既有运动量，也有未知力，质点作曲线运动，也有未知力，质点作曲线运动，故可利用质点运动微分方程亦

15、故可利用质点运动微分方程亦自然轴上的投影式求解，自然轴上的投影式求解， 其步骤如下：其步骤如下：an=V2 / lsinab = 0(3) 摆锤受力有已知重力摆锤受力有已知重力mg，未知拉力，未知拉力T。(1) 取摆锤为研究对象。取摆锤为研究对象。(2) 摆锤的加速度为摆锤的加速度为(4) 由质点运动微分方程在自然轴上的投影式得由质点运动微分方程在自然轴上的投影式得 要求的未知量，既有运动量，要求的未知量，既有运动量，也有未知力，质点作曲线运动，也有未知力，质点作曲线运动，故可利用质点运动微分方程亦故可利用质点运动微分方程亦自然轴上的投影式求解，自然轴上的投影式求解， 其步骤如下：其步骤如下：

16、 (4)由质点运动微分方程在由质点运动微分方程在 自然轴上的投影式得自然轴上的投影式得man = m(V2 / lsin) =Tsin0 = T cos - mg(5) 解方程得解方程得: cosmgT tgglV cos 重重G=10公斤的物体公斤的物体A，随跑车以速度，随跑车以速度V0=1m/S沿桥式起重机的水平梁作匀速度运沿桥式起重机的水平梁作匀速度运动。重物的重心动。重物的重心A到悬挂点到悬挂点O的距离的距离OAL4m，当跑车突然急刹车时，重物因惯性而绕，当跑车突然急刹车时，重物因惯性而绕悬挂点向前摆悬挂点向前摆(图图)，求钢组所受的最大拉力，求钢组所受的最大拉力例例4 解解 (1)受

17、力分析：受力分析：取重物取重物A为研究对象，为研究对象，并将它看成为质点。并将它看成为质点。重物重物A受到重力受到重力G与与钢绳拉力钢绳拉力T作用作用(图图)。 (2)运动分析：在刹车前，运动分析：在刹车前，重物随同跑车以速度重物随同跑车以速度V0作匀速作匀速直线运动，刹车后重物沿以悬挂点直线运动，刹车后重物沿以悬挂点o为圆心，为圆心，OA=L为半径的圆弧向前摆动，因此，运动轨为半径的圆弧向前摆动，因此，运动轨迹为已知。迹为已知。(3)当重物摆到钢绳与铅垂线成角当重物摆到钢绳与铅垂线成角的任意位的任意位置时，取自然轴如图示，列运动微分方程置时，取自然轴如图示，列运动微分方程 由此可见，跑车在吊

18、车梁上匀速行驶时，重由此可见，跑车在吊车梁上匀速行驶时，重物处于平衡状态，钢绳的拉力就等于物体的重物处于平衡状态，钢绳的拉力就等于物体的重量量G,当跑车刹车时，重物的运动状态发生变化，当跑车刹车时，重物的运动状态发生变化，为了避免钢绳中产生过大的附加动拉力，应要为了避免钢绳中产生过大的附加动拉力，应要求跑车行驶平稳，速度放慢，另外在不影响起求跑车行驶平稳，速度放慢，另外在不影响起吊等工作安全的条件下，吊绳应尽量长些以减吊等工作安全的条件下，吊绳应尽量长些以减小动荷系数。小动荷系数。 如图所示，一粗糙平面的倾角为如图所示，一粗糙平面的倾角为， 以以一水平加速度一水平加速度a0向右运动。如果一质点

19、放于向右运动。如果一质点放于斜面上要保持相对静止，问质点和斜面之间斜面上要保持相对静止，问质点和斜面之间的摩擦系数至少应为多少的摩擦系数至少应为多少7 例例5 解：题意分析解：题意分析 本题要求质点相对于斜面保持本题要求质点相对于斜面保持静止，即要求质点与斜面具有相同的速度和静止，即要求质点与斜面具有相同的速度和加速度，因此质点的加速度为已知。根据静加速度，因此质点的加速度为已知。根据静力学知。质点和斜面无相对滑动的条件是力学知。质点和斜面无相对滑动的条件是FfN，即，即fF/N，其中，其中F为摩擦力，为摩擦力，N为法向为法向反力。因此，求摩擦系数反力。因此，求摩擦系数f的最小值，即是求的最小

20、值，即是求F/N的值。可见此题以质点为研究对象，属于的值。可见此题以质点为研究对象，属于动力学的第一类问题，即巳知运动求力的动力学的第一类问题，即巳知运动求力的问题。其解题步骤如下：问题。其解题步骤如下： (1) 取质点为研究对象，如图所示。取质点为研究对象，如图所示。(2) 质点的加速度质点的加速度a=a。为巳知。为巳知。(3)质点受已知重力质点受已知重力mg，未知摩擦力，未知摩擦力F和和 法向反力法向反力N(4)取坐标轴取坐标轴x和和y如图所示，由质点运动如图所示，由质点运动 微分方程在微分方程在x,y两坐标轴上的投影式可得两坐标轴上的投影式可得 例例5 (第二类问题第二类问题)质量为质量

21、为m的质点在已知力的质点在已知力X=Hcost的作用下沿水平轴的作用下沿水平轴x运动，其中运动，其中H与与均为常数：当初瞬时均为常数：当初瞬时t0时，时，XX0,VV0(图图)。求此质点的运动规律。求此质点的运动规律。VoPXNxoxox例例6 炮弹以初速炮弹以初速V。与水平面成。与水平面成夹角发射，夹角发射，若不计空气阻力，求炮弹在重力作用下的运若不计空气阻力，求炮弹在重力作用下的运动方程。动方程。解：题意分析解：题意分析 炮弹可视为质点。要求质点的炮弹可视为质点。要求质点的运动方程，必须先求出质点在任意时刻的加运动方程，必须先求出质点在任意时刻的加速度，然后根据质点的初始运动条件进行积速度，然后根据质点的初始运动条件进行积分。质点的受力只有重力，因此质点加速度分。质点的受力只有重力，因此质点加速度可求。此题为典型的第二类动力学问题。其可求。此题为典型的第二类动力学问题。其解题步骤如下解题步骤如下:例例7(1) 取炮弹为研究对象，并视为质点取炮弹为研究对象，并视为质点 (3) 炮弹受巳知重力炮弹受巳知重力mg作用作用(2) 炮弹为自由质点，一般可在三维空间运动炮弹为自由质点，一般可在三维空间运动(4)取炮弹初始位置力坐标系取炮弹初始位置力