空间直线的方向向量和平面的法向量

1、一、直线的方向向量。一、直线的方向向量。对于空间任意一条直线对于空间任意一条直线 ，我们把与直线，我们把与直线 平行的平行的非零向量非零向量 叫做叫做直线直线 的一个方向向量的一个方向向量。lldl一条直线一条直线 有无穷多个方向向量，这些方向有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的；直线向量是相互平行的；直线 的方向向量的方向向量 也是所有与也是所有与 平行的直线的方向向量。平行的直线的方向向量。lldl如何刻画空间直线的方向？如何刻画空间直线的方向？例例1:已知长方体已知长方体ABCDABCD的棱长的棱长AB=2,AD=4,AA=3.建系如图建系如图,求下列直线的一个方求下列直线的一个

2、方向向量向向量:(1)AA; (2)BC; (3)AC; (4)DB.ABCDABCD解解:A(4,0,3), B(4,2,3), C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0).),30,0()1(AA).30 , 0( AAdAA 的的一一个个方方向向向向量量是是直直线线).3 , 0 , 4()2(CBd).3 , 2 , 4()3(CAd).3, 2 , 4()4(DBd例例2:已知所有棱长为已知所有棱长为 的正三棱锥的正三棱锥A-BCD,试建立试建立空间直角坐标系空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量确定各棱

3、所在直线的方向向量.aABCDEFxyz(O)解解:建系如图建系如图,则则B(0,0,0)、).0 ,2,23()0 , 0(aaCaD、),0 ,2,63().0 ,2, 0(.aaFaEBCDFBDE则则的中心的中心是等边是等边的中点，的中点，为为设设 ,3632222aaaCFACAF ).36,2,63(aaaABEFxyz(O).36,2,63(aaaA)0 , 0(aD).0 ,2,23(aaC);0 , 1 , 0(BDd);0 , 1 , 3(BCd);0 , 1 , 3(CDd);22 , 3, 1 (BAd);20 , 1 (ACd).22, 3, 1(ADd如何刻画平面的

4、方向？如何刻画平面的方向？二、平面的法向量：二、平面的法向量：叫做叫做那么向量那么向量垂直，垂直，面面如果它所在的直线与平如果它所在的直线与平对于非零的空间向量对于非零的空间向量nn ,.的的一一个个法法向向量量平平面面 例例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：长方体中，求下列平面的一个法向量：（1）平面）平面ABCD; (2)平面平面ACCA; (3)平面平面ACD.xyzABCDABCD234).1 , 0 , 0(1 n）解：（解：（xyzABCDABCD234则则的的一一个个法法向向量量为为设设平平面面),()2(wvunAACC . 00ACnAAnACnAAn),0 , 2 ,

5、4(),30 , 0( ACAA 020002)4(0)3(00vuwwvuwvu, 21 vu取取).0 , 2 , 1( nAACC的的一一个个法法向向量量平平面面xyzABCDABCD234的的一一个个法法向向量量，是是平平面面设设),()3(ACDwvun 00ADnACnADnACn),3, 0 , 4(),0 , 2 , 4( ADAC.342034024 uwuvwuvu, 4, 6, 3 wvu得得取取).4,6 ,3( nACD 的的一一个个法法向向量量平平面面基本命题基本命题1：两条直线平行或重合的充要条件是它们两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行。的方向向

6、量互相平行。基本命题基本命题2：一条直线与一个平面平行或在一个平面一条直线与一个平面平行或在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向量垂内的充要条件是这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量直于该平面的法向量 .基本命题基本命题3： 两个平面平行或重合的充要条件是它们两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量互相平行的法向量互相平行.nmn0mnnmm例例4：在正方体中，：在正方体中，E、F分别为分别为BC和和BB的中点，的中点，求证：求证： ADFE.xyzAB证：设正方体的边长为证：设正方体的边长为1，建系如图，建系如图，则则A(1,0,0)、D(0,0,1)、).21, 1 , 1()1 ,

7、 1 ,21(FE、),21, 0 ,21(),1 , 0 , 1( FEDA,21DAFEDAFE .FEDADAEF显然不重合，显然不重合，与与ABCDCDEF例例5：在长方体：在长方体ABCD-ABCD中，中，., 31,31,DDCCEFDBFBDAEADBDAFEcAAbABaAD平平行行于于平平面面直直线线求求证证：且且上上的的点点，、分分别别是是、 xyzABABCDCDEF),0 , 0 , 0( )0 ,( ), 0 , 0()0 , 0 ,( DbaBcDaA、证证：建建系系如如图图，则则),0 ,32,32()3, 0 ,32(baFcaE、).3,32, 0(cbEF

8、.)0 , 0 , 1(,的的一一个个法法向向量量是是平平面面轴轴垂垂直直于于平平面面DDCCnDDCCx .0nEFnEF 内，内，不在平面不在平面又显然又显然DDCCEF.DDCCEF平面平面直线直线例例6:已知长方体的棱已知长方体的棱 AD=4,AB=2,AA=3,求证平面求证平面ABD平面平面CDBxyzABCDABCD证：建系如图，证：建系如图，B(4,2,3)、C(0,2,3)、D(0,0,3)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、D(0,0,0).).3 , 0 , 4(),0 , 2 , 4(),0 , 2 , 4(),3 , 2 , 0( CBBDDBBA).,(),(22221111wvunwvunBCDBDA 为为的法向量分别的法向量分别和平面和平面设平面设平面 . 02403211111111vuDBnwvBAnDBnBA