空间向量的坐标表示(两课时)--zhq修改

1、空间向量的空间向量的坐标表示坐标表示共线向量与共面向量共线向量与共面向量1.共线向量的定义：共线向量的定义：若表示若表示空间空间向量的有向线段所在的直线互相向量的有向线段所在的直线互相平行或平行或重合重合，则这些向量叫做，则这些向量叫做共线向量或平行向量共线向量或平行向量。ba/记记作作2.共线向量定理：共线向量定理：./),0(,bababba 使使存存在在唯唯一一实实数数对对于于空空间间任任意意两两个个向向量量注：注：零向量与任一向量是共线向量。零向量与任一向量是共线向量。作用：作用：判定线线平行（需说明不重合）判定线线平行（需说明不重合）一、共线向量一、共线向量.二、共面向量二、共面向量

2、., 于于平平面面平平行行则则称称内内或或在在平平行行于于平平面面所所在在直直线线若若aOAa /a记记作作BMabPpp2.共面向量基本定理：共面向量基本定理：byaxpyxbapba 使使存存在在实实数数对对共共面面与与不不共共线线与与,AA 1.向量与平面平行向量与平面平行:3 3、平面向量基本定理、平面向量基本定理这表明这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线不共线向量向量线性表示线性表示.如果如果 是平面内的两个是平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这向量，那么对于这一平面内的任一向量一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数

3、1,2，使，使得得12,e e a1 122aee ll=+我们把不共线的两个向量我们把不共线的两个向量 叫做表示这一平叫做表示这一平面内所有向量的一组面内所有向量的一组基底基底.12,e e (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底个基底.123123 ,e e ee e e 基底-基向量，使使的的有有序序实实数数组组，那那么么对对空空间间任任一一向向量量不不共共面面，如如果果三三个个向向量量),(,321zyxpeee存存在在唯唯一一 321ezeyexp强调：对于基底强调：对于基底123 ,e e e 1231,e e e （ )不

4、共面123,30e e e （ ）中能否有 ?4 4、空间向量基本定理、空间向量基本定理: :如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫那么这个基底叫正交基底正交基底.特别地特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时向量时,称为称为单位正交基底单位正交基底，通常用通常用 表示表示,ij k O A B CP,(x y z) OP xOA yOB zOC 推论：设 、 、 、 是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的有序实数组 ， ， ，使得当当x+y+z=1时，必有时，必有P、A、B、C四点共面

5、四点共面.4 4、空间向量基本定理、空间向量基本定理: : p给定一个平面直角坐标系和向量给定一个平面直角坐标系和向量 ，i j 、且设且设分别为分别为x,y轴正方向上的单位向量，由平面向量基轴正方向上的单位向量，由平面向量基本定理，存在唯一的有序实数组本定理，存在唯一的有序实数组 ( , )x y则有序实数组则有序实数组 叫做叫做 在平面直角坐标系在平面直角坐标系O-xyz中的坐标，中的坐标，p( , )x y上式可简记作上式可简记作( , )px y pxiy j 使得使得 1212(,),(,)aaabb b(1)若1122(,),(,)A xyB xy(2)若a b 则 1122(,)

6、,ab aba b 1122(,),ab aba12(,)(),aaRAB 则2121(,)xx yy则有序实数组则有序实数组 叫做叫做 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，中的坐标，p( , , )x y z xyzOA(x,y,z)p1e2e 3e上式可简记作上式可简记作( , , )px y z p给定一个空间直角坐标系和向量给定一个空间直角坐标系和向量 ，i j k 、 、且设且设分别为分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量轴正方向上的单位向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组基本定理，存在唯一的有序实数组 ( , , )x y zpxiy jzk 使

7、得使得ab123123(,),(,)a aabb bb(1)设aaba则:112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,)aaa111222(,),(,)A abcB abc(2)若则AB 212121(,)aa bb cc(2, 3,5),( 3,1, 4)ab 例1、已知a b ab8a 解:,8ab aba 求(2, 3,5) ( 3,1, 4) ( 1, 2,1) (2, 3,5) ( 3,1, 4) (5, 4,9)8 (2, 3,5)(16, 24,40)例题例题2.正方体正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2,建立如图所示坐标系建立如图

8、所示坐标系.写出下列向量的坐标写出下列向量的坐标.AA1B1C1D1DCBzyx(1)AB 1(2)AB(3)AC1(4)AC 1(5)CD 1(6)C A(2,0,0)(2,0,2)(2,2,0)(2,2,2)( 2,0,2) ( 2, 2,2) 1( 3,2,5),(1,5, 1)ab 、已知;ab求(1);a b(2)3; a(3)6答案：（-2，7，4）（-10，1，16）（-18，12，30）2.已知已知 ,则则(3,5, 7),( 1,2,9)ABAC _BC 3.已知已知 ,若若则则y=_,z=_.(4, 2,6),( 2, , )mny z m n已知空间两向量已知空间两向量1

9、11222( ,),(,),(0)ax y zbxyza则则a b 121212,()xxyyzzR即对应坐标成比例即对应坐标成比例.4.判断下列各组中的两个向量是否共线判断下列各组中的两个向量是否共线.9(1)( 2,3,4,),(3, 6)2ab (2)(2,0, 4,),(4,1, 8)ab(3)(2,0, 4,),(4,0, 8)ab5.已知已知 ,若若则则a=_,b=_.(8,3, ),(2 , 6,5)ma nbm n例题例题3:(1)已知已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边若四边形形ABCD是平行四边形是平行四边形,求点求点D的坐标的坐标.(2)已知

10、已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3),D(10,14,17),试判断试判断A,B,C,D四点是否共面四点是否共面.变变:已知已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,9),试证明试证明:四边形四边形ABCD是梯形是梯形.空间向量的空间向量的坐标表示坐标表示第二课时第二课时2.2.空间向量数量积的坐标表示：空间向量数量积的坐标表示：设空间两个非零向量设空间两个非零向量111222()()axyzbxyz， ， ，12121 2a bx xy yz z则则4.4.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式已知、已知、 ，则，则111(,)A x

11、yz222(,)B xyz222212121()()()ABxxyyzz注：此公式的注：此公式的几何意义是表几何意义是表示长方体的对示长方体的对角线的长度。角线的长度。注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向； （2）当）当 时，反向；时，反向； （3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，时，的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b6.6.空间两非零向量垂直的条件空间两非零向量垂直的条件12121 200 aba bx xy yz z(2, 3,5) ( 3,1,

12、4)a b (2, 3,5)( 3,1, 4)ab 2|2(3)5=4a （）88(2, 3,5)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 15 ( 4)-6 -3 -20a b （，）（ ， ）解解:例例1已知已知 (2,3,5),( 3,1,4),|,8 ,abab abaa a b 求2+ -3-3 +1 5+ -4 = -2（ ）+（ ） +（ ）(8 2, 3,5)=(16, 3,5) (2-3 -3-1 5-4 =(-1, 4,1)， ）(2, 3,5) ( 3,1, 4)a b (2, 3,5)( 3,1, 4)ab 222|2( 3)538a 88(2,

13、3,5)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 1 5 ( 4)29a b 解解:例例1已知已知 (2 ,3, 5 ),(3,1,4 ), |, 8,abab abaaab求(2+ -3-3 +15+ -4 =(-1,-2,1)（） ， （），（） )(8 2,83,8 5)=(16, 24,40) （ ）(2-3-3-1 5-4=(5, 4,9)（ ），（ ）2,7,410,1,1618,12,302( 3,2,5) (1,5, 1)a b 解解:33( 3,2,5) (1,5, 1)a b ( 9,6,15)(1,5, 1)=66( 3,2,5)a ( 3,2,5)

14、 (1,5, 1)3 1 2 5 5 ( 1)a b 1.已知3,2,5 ,1,5, 1 ,ab 求：（1）;ab（4）ab3;ab（2）6 ;a（3）例例2： 已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则解：设是的中点，则(, )M x y zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222(13)(03)(5 1)29 .ABOABMOxyz1A1C1D1BDCABEF1EFDA 因此因此1EFDA 即即111 1(, ) (1,0,1) 022

15、 2EF DA 所以所以1(1 ,1 ,)2E1 1( ,1)2 2F1(1, 0 ,1)A(0,0,0)D所以所以11 1(,)22 2EF 1(1,0,1)DA 1111111111114,-,.ABCD ABC DE FAB C DBEDF例 如图 在正方体中点分别是的一个四等分点求与所成角的余弦值xOyzF1E1C1B1A1D1DABC13(1 , 1 , 0) ,1 , 1,4BE 11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF ，1311 , 1(1 , 1 , 0)0 , 1,44BE 1110 , 1(0 , 0 , 0)0 , 1.44DF ，111115BE0 , - 1

16、0 , 1=4416DF ，111717|, |.44B ED F 111111151516cos,.17|171744B ED FB ED FB ED F 所所 以以1115,17BED F因 此与所 成 角 的 余 弦 值 是111111111111 ,-,.ABCD ABC DE FAB C DBEDF例4 如图 在正方体中点分别是的一个四等分点求与所成角的余弦值13(1 , 1 , 0) ,1 , 1,4BE 11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF ，131(1 , 1 , 0)1 , 10 , -1,44E B 1110 , 1(0 , 0 , 0)0 , 1.44DF ，

17、111717|, |.44E BD F 11111115-1516cos,-.17| |171744E BD FE BD FE BD F 所所 以以1115,-17BEDF因此与所成角的余弦值是F1E1C1B1A1D1DABCxOyz1115,17BEDF因此与所成角的余弦值是111115BE0 , -10 , 1= - 4416DF ，111111111111 ,-,.ABCD ABC DE FAB C DBEDF例4 如图 在正方体中点分别是的一个四等分点求与所成角的余弦值11111222411,44/ /,/ /1 723 44 21 71 5 1 7A EA B A FA BE FA

18、FD FA FB EE FA E FA FE FA EC O SA F EA EE F解 ： 如 图 ， 不 妨 设 正 方 体 的 棱 长 为，取连 接则 ，在中 ， A E = 2 ， A F = E F =1115,17BED F因 此与所 成 角 的 余 弦 值 是A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 例例5.5.在正方体在正方体中，中，E、F分别是分别是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位正交为单位正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：1,

19、DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 因因为为1100D F DAD F DE 所所以以，11D FDAD FDE 即即，DEDAD 又又所以所以1D FADE 平平面面112233(,) ;abababab123123(,),(,),aaaabbbb1.设则123(,), ();aaaaR112233.aba baba b112233(,)abababab一一.空间向量坐标运算空间向量坐标运算212121(,) ( ABaa bb cc 终点减起点）111222(,),(,),A abcBabc2 . 设则312121212133133223

20、,M=(,)222222abcabaabbccaabbcbccca（中点坐标公式）1112223(,),(,),M=, , )AB,A abcB aba b cc.设（是的中点 则1 12233=02;.0 aba ba ba ba b向量垂直123123( ,),( ,),aa a abb b b设则112233312123123/ /,();(01.)ababababRaaab b bbbb向量平行二二.空间向量平行与垂直空间向量平行与垂直三三. .距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式222123| aa

21、aaaa ；222212121|()()()ABdABaabbcc 111222(,),(,),A a b cB abc2.设则cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb四四. .两个向量夹角公式两个向量夹角公式1.cos,1a b,0 aba b与 同向，即2.cos,1 a b,180 aba b与 反向，即3.cos,0 a b,90 aba b， 即 4.0cos,1 a b0 , 90a b.0,51 cos a b90 , 180a b12121122( ,),( ,), ( ,), (,)aa abb bA a bB a b设则1122(+,+)abab+a