线性矩阵不等式1

1、 鲁棒控制鲁棒控制 线性矩阵不等式处理方法Robust control LMI Method主要内容主要内容线性矩阵不等式概论线性矩阵不等式概论系统性能分析系统性能分析控制器设计控制器设计线性矩阵不等式概论线性矩阵不等式概论线性矩阵不等式的一般表示线性矩阵不等式：线性矩阵不等式： 仿射矩阵不等式仿射矩阵不等式仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，A 是一个 mk 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为 其中 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数

2、。 0110mmF xFx Fx F1(,)TmmxxxR决策向量Tn niiFFR实对称矩阵 F x是负定的1110mmmf xxbx Ax AiA凸（约束）问题kRC 1CCC 20,1,CCC211211CC1C2C定义（凸集）定义（凸集） 一个集合一个集合的的连线仍在集合内。连线仍在集合内。和和及参数及参数有有称为称为的凸组合。的凸组合。 称为凸的，如果集合中任意两点称为凸的，如果集合中任意两点即任意给定两点即任意给定两点和和将矩阵不等式的解约束在将矩阵不等式的解约束在矩阵变量定义的空间中矩阵变量定义的空间中关于凸集定义的理解关于凸集定义的理解Schur补定理补定理11121222TX

3、XXXX11X0X110XT1221211120XX XX220X1T111222120XX XX引理引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵对于分块对称阵其中其中b)，且，且c)，且，且a)为方阵，则以下三个条件是等价的：为方阵，则以下三个条件是等价的：10TTA PPAPBR B PQ0TTA PPAQPBB PRSchur补应用补应用 若要证明存在对称矩阵若要证明存在对称矩阵P0,Q0,R0, ,使得如下不等使得如下不等式成立式成立 只需证明只需证明如下线性矩阵不等式如下线性矩阵不等式(LMI)成立成立 Schur补补：是将非线性矩阵不等式转化为线：是将非线性矩阵不等式

4、转化为线性矩阵不等式的有效工具性矩阵不等式的有效工具标准的线性矩阵不等式问题标准的线性矩阵不等式问题 可行性问题可行性问题(LMIP)求不等式的可行解求不等式的可行解 检验是否存在检验是否存在x，使得，使得 成立。成立。 特征值问题特征值问题(EVP)求不等式的优化解求不等式的优化解 广义特征值问题广义特征值问题(GEVP)仿射矩阵函数的不等式优化仿射矩阵函数的不等式优化问题问题Linear Matrix Inequality (LMI)min. . ( )( )0st G xIH xmin. . ( )( )( )0( )0st G xF xF xH x( )0F x 系统性能分析系统性能分

5、析连续时间系统3.1.1系统增益指标 考虑 x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)0( )sup( )wsize zsize w L2范数 对于平方可积的信号 ，定义 其中 是向量的欧式范数。这样定义的 正好是信号 的能量。将所有有限能量的全体记成 即 也称为信号 的 范数 f12220( )ff tdt( )( ) ( )Tf tft f t2ff2L220:( )Lff tdt 2ff2LL范数 对幅值有界的信号 ，定义 当 是一个标量信号时， 等于 的峰值。 将所有幅值有界的信号全体记成 即 也称为信号 的 范数。f0sup( )tff tfffL:( )Lff t

6、 ffL四个性能指标 IE(Impulse-to-Energy)增益： EP(Energy-to-Peak)增益： EE(Energy-to-Energy)增益： PP(Peak-to-Peak)增益：002( )( ) 1supiew twtwz 21supepwz221supeewz1supppwz定理1-IE x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)min s.t. 0 B P0TTTPAA PC CPBIie 若有一最优值 ，则定理2-EPmin s.t. 0 CQC Q0TTTAQQABBI若有一最优值 ，则ep x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+

7、Dw(t)定理3-EE x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)定理4-PP x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)H2性能T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的输出能量。(IE)系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)对于SISO系统2( )ieepT s x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数 x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)H性能 x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)增益 有一个频率域的解释：它恰好等

8、于传递函数 的 范数，即eeH( )T s( )eeT s 用线性矩阵不等式刻画系统的H范数 定理：针对系统定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数和给定的一个常数 0,若若存在对称矩阵存在对称矩阵P0,使得如下线性矩阵不等式成立使得如下线性矩阵不等式成立0TTTTA PPAPBCB PIDCDI则有则有|T(s)| ,且系统渐进稳定。且系统渐进稳定。 x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)证明：证明：0TTTTA PPAPBCB PIDCDI20TTTTA PPAPBCB PIDCDI对上述不等式分别左乘对上述不等式分别左乘, ,右乘矩阵右乘矩阵diag1/2I,1

9、/2I,-1/2I,得得20TTTTA XXAXBCB XIDCDI记记X=P运用运用Schur补，可得补，可得 120TTTTTTA XXAC CXBC DID DB XD C若若D=0,则有则有20TTTA XXAXBB XC C严格真传递函数阵的严格真传递函数阵的H范数与矩阵不等式的等价关系范数与矩阵不等式的等价关系给出了系统给出了系统H范数与范数与LMI之间的关系之间的关系使得使得H控制问题可基于控制问题可基于LMI进行求解进行求解有界实引理(Bounded real lemma )0in 0mTTTTA PPAPBCB PIDCDIP控制器设计控制器设计H控制器设计 x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)1211112( )( )u tu t x(t)Ax(t)B w(t)