第八章 地图投影变换

1、8.1 地图投影变换的基本概念地图投影变换的基本概念8.2 高斯高斯-克吕格投影克吕格投影8.3 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影8.4 兰勃特投影兰勃特投影 将地面观测元素归算的到椭球面，将地面观测元素归算的到椭球面，解决了地面与椭球面这对解决了地面与椭球面这对矛盾矛盾，大地控制网完全有可能在椭球面上进行计算。但是，椭球，大地控制网完全有可能在椭球面上进行计算。但是，椭球面上的计算相当的复杂和繁琐，且，对于小面积的测量工作，椭面上的计算相当的复杂和繁琐，且，对于小面积的测量工作，椭球面上表示点、线位置的经度、纬度、大地线长度和大地方位角球面上表示点、线位置的经度、纬度、大地线长度和大地方

2、位角等这些大地坐标元素很不适应。等这些大地坐标元素很不适应。 为了便于为了便于测量计算测量计算和和生产实践生产实践，需要将椭球面上的元素化算，需要将椭球面上的元素化算到平面上，并在平面直角坐标系中采用大家熟悉的简单公式计算到平面上，并在平面直角坐标系中采用大家熟悉的简单公式计算平面坐标。以此平面坐标。以此解决椭球面和平面这一对矛盾解决椭球面和平面这一对矛盾。8.1 地图投影变换的基本概念地图投影变换的基本概念 投影的意义投影的意义l方便地形测图和使用方便地形测图和使用l简化计算简化计算投影的定义投影的定义地图投影，就是将地图投影，就是将椭球面上的元素椭球面上的元素，按照一定的，按照一定的数学规

3、则转换到地图平面上的理论和方法。数学规则转换到地图平面上的理论和方法。投影的方法投影的方法l几何法几何法l数学解析法数学解析法椭球面元素包括点的大地坐标、大地线的长度和椭球面元素包括点的大地坐标、大地线的长度和大地方位角，其中大地方位角，其中点的坐标点的坐标是关键。因为点的位是关键。因为点的位置确定后，两点间大地线的方位和距离就确定了。置确定后，两点间大地线的方位和距离就确定了。几几 何何 法法OQNP 这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示：这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示： ),(),(21BLFyBLFx 式中式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而是椭球面上某点的大地坐标，而

4、是该点投影后的平面是该点投影后的平面(投影面投影面)直角坐标。直角坐标。 称为称为投影函数投影函数。yx, 上述方程式表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，上述方程式表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做也叫做。 12,F F数学解析法数学解析法 投影的方法很多，每种方法的本质特征都是投影的方法很多，每种方法的本质特征都是由由投影条件投影条件和和坐标投影公式坐标投影公式F 的具体形式体现的。的具体形式体现的。 椭球面是椭球面是不可展曲面不可展曲面，不能展成平面。如果取一可展曲面（如平面、，不能展成平面。如果取一可展曲面（如平面、圆锥面、圆柱面），使其与椭球

5、面相切或相割，然后按一定的数学规则，圆锥面、圆柱面），使其与椭球面相切或相割，然后按一定的数学规则，将椭球面上的元素转换到可展曲面上，并将可展曲面展平，就变成平面上将椭球面上的元素转换到可展曲面上，并将可展曲面展平，就变成平面上的元素了。的元素了。二、投影的变形二、投影的变形)(lim1101PPPPmPP dSdsm 椭球面上一微小线段椭球面上一微小线段 ，投影到平面上相应线段为，投影到平面上相应线段为 ，当，当 时的极限值，叫做投影长度比，简称长度比，用时的极限值，叫做投影长度比，简称长度比，用m表示。表示。即即12PP1P P 10PP 一点上的长度比，不仅随点的位置，而且随线段的方向而

6、发生变化。也一点上的长度比，不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。也就是说，就是说，不同点上的长度比都不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不不同点上的长度比都不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同相同。 投影后一点投影后一点的长度比依方向的不同而发生变化。其中，的长度比依方向的不同而发生变化。其中，最大及最小最大及最小长度比的方向，称为长度比的方向，称为主方向主方向。这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。 直角直角AOC经过投影变成锐角经过投影变成锐角AOC，但，但是，如果在椭球面上，直角是，如果在椭球面上，直角AOC绕着绕着

7、O点进点进行旋转，从行旋转，从AOC位置一直旋转到位置一直旋转到COB位置，位置，那么，它的投影也会从锐角那么，它的投影也会从锐角AOC逐渐变化逐渐变化成钝角成钝角C O B。而在它的变化过程中，必。而在它的变化过程中，必然有一个位置是直角。然有一个位置是直角。 可见，可见，在椭球面上的任一点在椭球面上的任一点O上，必然上，必然有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的也必是相互垂直的。长度比的主方向处在椭球面上两个相互垂直的方向上。长度比的主方向处在椭球面上两个相互垂直的方向上。 以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比极值为长、

8、以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比极值为长、短半轴的椭圆，即短半轴的椭圆，即变形椭圆变形椭圆。OP在不同方向时，长度比不一样。在不同方向时，长度比不一样。 ， 为主方向。为主方向。夹角为夹角为 时，时，P点的坐标为点的坐标为( , ) cos ,sin 如果已知主方向上的长度比，就可计算任意其他方向上的长度比。如果已知主方向上的长度比，就可计算任意其他方向上的长度比。 根据长度比的定义，根据长度比的定义，设主方向的长度设主方向的长度比分别为比分别为a和和b,则投影后，有：则投影后，有：,xayb再联系式：再联系式：221可以写出：可以写出：22221xyab 这就是在投影面上

9、，以某定点为圆心，以主这就是在投影面上，以某定点为圆心，以主方向上长度比为长、短半轴的椭圆方程。该椭圆方向上长度比为长、短半轴的椭圆方程。该椭圆称为称为变形椭圆变形椭圆。 椭球面上的微分圆，投影后，变为微分椭圆。在原面上与主方向一致椭球面上的微分圆，投影后，变为微分椭圆。在原面上与主方向一致的一对直径，投影后成为椭圆的长轴和短轴。的一对直径，投影后成为椭圆的长轴和短轴。,xyab 设原面上单位为设原面上单位为1的微分圆上的一点的微分圆上的一点P投影到平面上变成微分椭圆上投影到平面上变成微分椭圆上的一点的一点P的向径为的向径为r，则，由，则，由长度比长度比的定义可知：的定义可知：1rmr 由此，

10、可得，由此，可得，O。变形椭圆可以形象地表达点的投影变形情况。变形椭圆可以形象地表达点的投影变形情况。长度比长度比 椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形投影的变形。4. 投影变形投影变形2222cossinmab 为所研究线段的方位角。为所研究线段的方位角。a，b为主方向上的长度比。为主方向上的长度比。利用此式可

11、以计算出任意方向上的长度比。利用此式可以计算出任意方向上的长度比。,xaybcos,sin22mrxy定义定义m和和1之差为相对长度变形，简称之差为相对长度变形，简称长度变形长度变形，用，用 表示。表示。1m很显然，很显然， 值可大于、小于或等于值可大于、小于或等于1，因此，因此， 值可能为正、负或值可能为正、负或0。Pvm（2）方向变形）方向变形 在原面上，在原面上，OP方位角为方位角为 ，投影后，投影后OP的方位角变为的方位角变为 ，则，则 称为称为方向变形方向变形。()tantanybbxaa 上式即为上式即为方向变形公式方向变形公式。很显然，当很显然，当 ，即在主方向，即在主方向上，没

12、有方向变形。当上，没有方向变形。当 方向变形最大。方向变形最大。(090)等于 或时90270或时，sin()sin()ababtantansin()/coscostantansin()/coscostantantantantantanabaaba设此时的方位角为设此时的方位角为00最大方或，变形用向表示，则tantan(90)cottantan(90)cot oo此时，由于 可得定义：角度变形为投影之前的角度定义：角度变形为投影之前的角度和投影之后对应角度和投影之后对应角度之差之差uuu 00sinsin()abab00tan, tanabba 在大多数情况下，组成角度的两条边都不在主方向上

13、，此时应该研究角在大多数情况下，组成角度的两条边都不在主方向上，此时应该研究角度变形与最大的角度变形。度变形与最大的角度变形。arcsinabab12设设OA及及OB分别为最大的变形方向，它们与分别为最大的变形方向，它们与X轴的夹角分别为轴的夹角分别为 和和 。12，则，则AOB可以表示为：可以表示为：211111801802u该角度投影之后为：该角度投影之后为：211111801802u两式相减，得两式相减，得最大角度变形最大角度变形：112()2uuu 2arcsinabuab=得arcsinabab又由 原面上，单位圆的面积为原面上，单位圆的面积为 ，投影后，变形椭圆的面积为，投影后，变

14、形椭圆的面积为 ，则，则，投影的面积比投影的面积比为为ababPab 保证投影前后的角度不变形。投影前后，需满足下式：保证投影前后的角度不变形。投影前后，需满足下式： 或或 即，在等角投影中，微分圆的投影仍为微分圆，投影前后保持微小圆形即，在等角投影中，微分圆的投影仍为微分圆，投影前后保持微小圆形的相似性。的相似性。 因此，又把等角投影称为因此，又把等角投影称为正形投影正形投影。 保持投影前后的面积不变形。满足下式：保持投影前后的面积不变形。满足下式： 这类投影，即不等角，又不等积，即这类投影，即不等角，又不等积，即其中，保持某一主方向的长度比等于，即其中，保持某一主方向的长度比等于，即 即为

15、即为等距离投影等距离投影。,1abab11a 或 b2arcsinabuab=abPab：圆锥轴或圆柱轴与地球自转轴相重合时的投影。：圆锥轴或圆柱轴与地球自转轴相重合时的投影。投影面的轴线与地球的自转轴相垂直，投影面的轴线与地球的自转轴相垂直，且与某一且与某一条经线相切所得的投影条经线相切所得的投影。：投影面与原面相切于除了极点和赤道以外的某一：投影面与原面相切于除了极点和赤道以外的某一位置所得的投影。位置所得的投影。 取一平面与椭球面的取一平面与椭球面的极极，将，将极点附近极点附近的区域投影在该平的区域投影在该平面上。面上。 取一圆锥面与椭球的取一圆锥面与椭球的，将，将纬圈附近纬圈附近的区域

16、投影于的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。 取圆柱（或椭圆柱）与椭球取圆柱（或椭圆柱）与椭球，将，将赤道附近赤道附近区域投影到区域投影到圆柱面（或椭圆柱面）上，然后将圆柱（或椭圆柱）展开成平面。圆柱面（或椭圆柱面）上，然后将圆柱（或椭圆柱）展开成平面。 （1）中国）中国全国地图全国地图投影投影 斜轴等面积斜轴等面积方位方位投影、斜轴等角方位投影、伪方位投影、投影、斜轴等角方位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥圆锥投影。投影。 （2）中国）中国分省（区）地图分省（区）地图的投影的投影

17、正轴等角割正轴等角割圆锥圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角角圆柱圆柱投影、高斯投影、高斯-克吕格投影（宽带）。克吕格投影（宽带）。 （3）中国）中国大比例尺地图大比例尺地图的投影的投影 多面体投影（北洋军阀时期）、多面体投影（北洋军阀时期）、等角割圆锥投影（兰等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯勃特投影）（解放前）、高斯-克吕格投影（解放以后）。克吕格投影（解放以后）。这样：这样： 保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变，变，免除了大量的投影计算工作免除了大量的投影计算工作； 所测制的地

18、图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球所测制的地图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似，给国民经济建设中上原形保持相似，给国民经济建设中识图用图识图用图带来很大方便。带来很大方便。 如图如图有限小多边形有限小多边形，相应角度相等，但长度有变，相应角度相等，但长度有变化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。长度比。 即在微小范围内保证了形状的相似性，当即在微小范围内保证了形状的相似性，当ABCDE无限接近时，可把该多边形看作一个点，因无限接近时，可把该多边形看作一个点，因此此给地图测制及地图的使用等带来极大方便

19、。给地图测制及地图的使用等带来极大方便。A BE AmABEA L 2. 要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数形而引起的改正数 为此地图投影应该为此地图投影应该限制在不大的投影范围内限制在不大的投影范围内，从而控制变形并，从而控制变形并能进行简单计算。能进行简单计算。 3. 要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体。简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体。NSc赤道赤道高斯投影平面高斯投影平面赤道赤道中央子午线中央子午线，是德

20、国测量学家高斯于，是德国测量学家高斯于18251830年首先提出的。实际上，直到年首先提出的。实际上，直到1912年，由德国另一位年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。克吕格投影。 我国规定按经差我国规定按经差 和和 度进行投影分带，为大比例尺测图和工程测度进行投影分带，为大比例尺测图和工程测量采用量采用 带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用 带或任意带。带或任意带。 06030305.1自自 子午线起每

21、隔经差子午线起每隔经差 自西向东分带，依次编号自西向东分带，依次编号1,2,3,。我国中央子午线的经度，由。我国中央子午线的经度，由 起每隔起每隔 而至而至 ，共计，共计12带，带号用带，带号用n 表示，中央子午线的经度用表示，中央子午线的经度用 表示，表示， 。 0600060601350690L360 nL在在 带的基础上分成的，它的中央子午线一部分同带的基础上分成的，它的中央子午线一部分同 带带中央子午线重合，一部分同中央子午线重合，一部分同 带分界子午线重合，带号用带分界子午线重合，带号用 n 表示，表示， 带带中央子午线用中央子午线用L表示，关系是：表示，关系是： 030606060

22、3nL 3 3带和带和6 带的关系是：带的关系是： 3 带的奇数带中央子午线与带的奇数带中央子午线与6 带中央子带中央子午线重合；偶数带的中央子午线与午线重合；偶数带的中央子午线与6 带的分带子午线重合。带的分带子午线重合。 已知某点的大地经度为已知某点的大地经度为L时，计算改点所在投影带的带号的公式：时，计算改点所在投影带的带号的公式：（如果有余数）（如果有余数）16LN135 . 1Ln 3带：带： 6 带：带：1352306带带号：带带号：1323 3带带号：带带号：24457340世界地图世界地图赤赤 道道自然坐标和通用坐标自然坐标和通用坐标 为避免出现负的横坐标，可在为避免出现负的横

23、坐标，可在横坐标上加横坐标上加500km。此外还应在坐。此外还应在坐标前面冠以带号，这种坐标称为国标前面冠以带号，这种坐标称为国家家通用坐标通用坐标。去掉带号，再减去。去掉带号，再减去500km，最后得点的，最后得点的自然坐标自然坐标。 86.257881.4485076:B86.257881.4485076:Ayxyx4485076.814485076.81A:B:19497421.1419502578.86xxyy通用坐标为：通用坐标为：投影带的重叠投影带的重叠 由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各带连

24、成整体，的投影带内，为了把各带连成整体，其中每一投影带向东加宽，其中每一投影带向东加宽 ，向西加宽，向西加宽 ，这，这样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，方便跨样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，方便跨带三角锁平差、跨带地图的拼接、图幅外三角点的展点等应用。带三角锁平差、跨带地图的拼接、图幅外三角点的展点等应用。30157.5或 由于高斯投影是由于高斯投影是正形投影正形投影，故保证了投影的角度不变性、，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性；图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性； 由于采用了同样法则的由于采用了同样法则的分带投

25、影分带投影，既限制了长度变形，既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算；变形引起的各项改正的计算； 带与带间的互相换算带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。也能用相同的公式和方法进行。 高斯投影这些优点使它得到广泛的推广和具有国际性。高斯投影这些优点使它得到广泛的推广和具有国际性。高斯投影的优点高斯投影的优点n 墨卡托投影为墨卡托投影为正轴等角圆柱投影正轴等角圆柱投影，是，是由墨卡托于由墨卡托于1569年专门为航海目的设计的。年专门为航海目的设计的。其设计思想其设计思想是令一个

26、与地轴方向一致的圆是令一个与地轴方向一致的圆柱切于或割于地球，将球面上的经纬网按柱切于或割于地球，将球面上的经纬网按等角条件等角条件投影于圆柱表面上，然后将圆柱投影于圆柱表面上，然后将圆柱面沿一条母线剪开展成平面，即得墨卡托面沿一条母线剪开展成平面，即得墨卡托投影投影 。n 该投影的经纬线是互为垂直的平行直该投影的经纬线是互为垂直的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤道向两线，经线间隔相等，纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大。在极逐渐扩大。在正轴等角切圆柱投影正轴等角切圆柱投影中，中，赤道为没有变形的线，随纬度增高面积变赤道为没有变形的线，随纬度增高面积变形增大。形增大。n 该投影具有该投影具有等角

27、航线等角航线被表示成直线的特被表示成直线的特性，故广泛用于编制航海图和性，故广泛用于编制航海图和航空图航空图等等 。8.3 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影 中华人民共和国国家标准中华人民共和国国家标准“海底地形图编绘规范海底地形图编绘规范”(GB/T 17834-1999)中中5.1.3.1款规定款规定 1:25万及更小比例尺图采用万及更小比例尺图采用墨卡托墨卡托投影投影 。n UTM投影是为了全球战争需要投影是为了全球战争需要1938年创建的，美国于年创建的，美国于1945年投入使用的。年投入使用的。 UTM投影投影全称为全称为“通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影” （Univers

28、al Transverse Mercator Projection ），是一种，是一种“等角横轴割圆柱投影等角横轴割圆柱投影”。n 椭圆柱割地球于南纬椭圆柱割地球于南纬80度、北纬度、北纬84度两条等高圈（度两条等高圈（标准纬线标准纬线），投影后两），投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比0.9996。UTM和高斯投影坐和高斯投影坐标存在固定的比例关系，因而有文献称其为标存在固定的比例关系，因而有文献称其为“m0=0.9996的高斯投影的高斯投影”。NS8.3 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影n UTM投影分带方法与高投影分带方法与高斯

29、斯-克吕格投影相似，是自克吕格投影相似，是自西经西经180起每隔经差起每隔经差6 自自西向东分带，将地球划分为西向东分带，将地球划分为60个投影带，用个投影带，用1-60表示。表示。纬度区一共纬度区一共20个，每个区的个，每个区的南北跨度为南北跨度为8，以字母，以字母C-X表表示（没有字母示（没有字母I和和O）。）。A、B、Y、Z不在系统范围内，不在系统范围内，专门用来表示南极和北极区。专门用来表示南极和北极区。8.3 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影 （1）UTM投影在中央经线上，投影变形系数投影在中央经线上，投影变形系数m0.9996，而高斯投影的，而高斯投影的中央经线投影的变形系数中

30、央经线投影的变形系数m1。 （2）UTM为了减少投影变形也采用分带，它采用为了减少投影变形也采用分带，它采用6分带。但起始的分带。但起始的1带带是（是（ W180 W174），所以，），所以，UTM的的6分带的带号比高斯的大分带的带号比高斯的大30。 （3）很重要的一点，）很重要的一点， 高斯投影与高斯投影与UTM投影可近似计算。计算公式是：投影可近似计算。计算公式是： XUTM=0.9996 * X高斯高斯 YUTM=0.9996 * Y高斯高斯这个公式的误差在这个公式的误差在1米范围内，完全可以接受。米范围内，完全可以接受。 （4）UTM是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。UTM与高斯投影的异同：与高斯投影的异同：8.3 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影 设有一个圆锥，其轴与地轴一致，套在地球椭球体上，然后将椭球设有一个圆锥，其轴与地轴一致，套在地球椭球体上，然后将椭球体面的经纬线网按照等角的条件投影到圆锥面上，再把圆锥面沿母线切体面的经纬线网按照等角的条件投影到圆锥面上，再把圆锥面