第14章恒定平面势流

1、1第14章恒定平面势流210.1 恒定平面势流的流速势及流函数恒定平面势流的流速势及流函数 10.2 流网法解平面势流流网法解平面势流10.3 势流叠加法解平面势流势流叠加法解平面势流第第14章章 恒定平面势流恒定平面势流314.1 恒定平面势流的流速势及流函数恒定平面势流的流速势及流函数 一、流速势及等势线一、流速势及等势线 对于平面势流，设其流速为对于平面势流，设其流速为ux=f1(x,y)，uy=f2(x,y),流速势函数为流速势函数为=(x,y)，则，则对不可压缩液体，对不可压缩液体， =常数，故平面势流的连续性方程式常数，故平面势流的连续性方程式 0yuxuyxxuxyuy(14.1

2、) (14.2) 将将(14.1)式代入式代入(14.2)式得式得02222yx(14.3) 4流速势函数流速势函数( (x x, ,y y) )的全微分为的全微分为 dyydxxdxux/yuy/dyudxudyx将将(x,y)值相等连接起来的曲线值相等连接起来的曲线 等势线等势线),(yx等势线方程为等势线方程为Const),(yx或或(14.13) (14.11) 0dyudxudyx(14.12) 5二、流函数及其意义二、流函数及其意义 流线方程流线方程yxudyudx0dxudyuyxdxudyudyydxxdyx要使上述流线方程可积，必须要使上述流线方程可积，必须yuxxuy即，平

3、面流连续方程即，平面流连续方程0)()(22yxxyxyyxyuxuyx(14.4) (14.5) (14.6) 0yuxuyx流函数存在流函数存在不可压缩液体的连续方程不可压缩液体的连续方程6 流函数的性质流函数的性质1、同一流线上各点的流函数为常数，、同一流线上各点的流函数为常数，或流函数相等的点组成的曲线就是流线。或流函数相等的点组成的曲线就是流线。2、两流线间所通过的单宽流量等于该两流线的流函数、两流线间所通过的单宽流量等于该两流线的流函数值之差。值之差。Const),(yx0d0dyudxudyydxxdxy而而流线方程流线方程3、平面势流的流函数是一个调和函数。、平面势流的流函数是

4、一个调和函数。baababyxababddxudyudqq)(势流势流0)(21yuxuxyz02222yx(调和函数调和函数)7x8三、流函数三、流函数(x,y)和势函数和势函数(x,y)的关系的关系1、流函数与势函数为共轭函数。、流函数与势函数为共轭函数。xuxyuyyuxxuyyxxy2、等流函数线与等流速势线相正交。、等流函数线与等流速势线相正交。等流函数线的方程为等流函数线的方程为0dyudxudxy其斜率为其斜率为xyuudxdym1等流速势函数线的方程为等流速势函数线的方程为0dyudxudyx其斜率为其斜率为yxuudxdym21)(21yxxyuuuumm流线与等势线在同一点

5、上相正交。流线与等势线在同一点上相正交。(14.14) 在高等数学中满足这种关系的两个函数称为共轭函数9四、流函数和势函数四、流函数和势函数的的坐标表示法坐标表示法drurdudrAB的流量通过弧AB C点的坐标为(r, )，C点的流速沿r方向用ur来表示，与r正交方向用u来表示。drrrdrdrrdd而，)16.14(,rurur)17.14(,rurur对于势函数存在ED选取ABD作为研究对象drBDrdAD1014.2 流网法解平面势流流网法解平面势流一、流网原理一、流网原理 平面势流平面势流流函数流函数流速势流速势等流函数线等流函数线流线流线等流速势线等流速势线等势线等势线Cyx),(

6、Dyx),(正交正交流网流网1114.2 流网法解平面势流流网法解平面势流一、流网原理一、流网原理 问题：问题：1)流网中流函数流网中流函数与势函数与势函数的增值方向如何确定？的增值方向如何确定？2)流场中流场中，可以绘制无数根流线及等势线，可以绘制无数根流线及等势线，而而实用上实用上仅仅绘制绘制几根来代表几根来代表，流网中流线与等势线依据什么原则绘制？流网中流线与等势线依据什么原则绘制？1214.2 流网法解平面势流流网法解平面势流一、流网原理一、流网原理 1)流网中流函数流网中流函数与势函数与势函数的增值的增值方向如何确定？方向如何确定？ A点流速点流速u的方向必为该点流线的切线方向，也一

7、定是该点的方向必为该点流线的切线方向，也一定是该点等势线的法线方向。等势线的法线方向。)20.14()sin(cos)sin(sincoscos)19.14()sin(cossinsincoscos2222udmudmdmudmudxudyududnudndnudnudyudxudyxyx 过流场任一点A的一根等势线 和一根流线 并绘出其相邻的等势线 和流线 ，令两等势线之间的距离为dn，两流线之间的距离为dm。dd上式表明流速势 的增值方向与n的增值方向是相同的；流函数 的增值方向与 m 的增值方向是相同的。1314.2 流网法解平面势流流网法解平面势流一、流网原理一、流网原理 1)流网中流

8、函数流网中流函数与势函数与势函数的增值的增值方向如何确定？方向如何确定？2)流网中流线与等势线依据什么原则绘制？流网中流线与等势线依据什么原则绘制？ 在平面势流的流速场中，流速势在平面势流的流速场中，流速势 的增值方向与流速的增值方向与流速 u 的方向一致；的方向一致；将流速方向逆时针旋转将流速方向逆时针旋转90度后所得度后所得的方向即为流函数的方向即为流函数 的增值方向。的增值方向。这一法则叫做这一法则叫做儒可夫斯基法则。儒可夫斯基法则。由(19)和(20)式，得 转换为差分方程若取 常数，则 ，每个网眼将成为正交曲线方格，dmddndumnumn)20.14()19.14(udmdudnd

9、14二、流网绘制二、流网绘制 (1)确定边界条件：确定边界条件：1 1）固定边界）固定边界: : 在固定边界上，在固定边界上，un=0，允许液体质点沿固，允许液体质点沿固体边界流动，这样固体边界本身必然是流线之体边界流动，这样固体边界本身必然是流线之一，等势线必然与固定边界垂直。固体边界的一，等势线必然与固定边界垂直。固体边界的位置、形状是已知的。位置、形状是已知的。15二、流网绘制二、流网绘制 (1)确定边界条件：确定边界条件：2）自由表面边界自由表面边界: : 在自由面上，在自由面上，un=0，自由面也是流线之一，等势线必然与自由面垂，自由面也是流线之一，等势线必然与自由面垂直。但自由面的

10、位置、形状未知，需要根据自由表面的动力条件确定。直。但自由面的位置、形状未知，需要根据自由表面的动力条件确定。 先假定一个自由表面进行试绘，在修改过程中同时检验是否满足自由先假定一个自由表面进行试绘，在修改过程中同时检验是否满足自由表面上的压强等于大气压的条件，即自由表面上各点都必须满足表面上的压强等于大气压的条件，即自由表面上各点都必须满足 Hgupz2216二、流网绘制二、流网绘制 (1)确定边界条件：确定边界条件：3）入流（出流）断面入流（出流）断面: : 入流断面和出流断面的部分流动条件应该是已知的，入流断面和出流断面的部分流动条件应该是已知的，根据这些已知条件确定这些断面上等势线和流

11、线的位置。根据这些已知条件确定这些断面上等势线和流线的位置。注意：每个网格都成正方形是理论上应该做到的，那只有网格为无穷小的情况下才有可能。在实际绘制流网时，因为网格大小为有限值，所以随着边界形状的变化在某些地方常常不能做到。17二、流网绘制二、流网绘制 (2) 绘制方法绘制方法1)用一绘图纸，先用铅笔按一定比例绘出流动边界，根据边界条件定出边界上的流线和等势线。2)按照n m，试绘出流线及与其垂直的等势线，力求两族曲线构成方格，并且互相垂直。初次绘出后，检查不符合流网特性的地方，进行修改，直至满意为止。3)为了验证网格是否是正方形，可在流网的网格上绘出对角线，如对角线也成正方形，则原来的流网

12、是正确的，否则说明有误差，需要进行修改。18 l有压平面势流流网的绘制qaqaqaqaa4534231214342419 流网绘出后，即可求得任意点的流速。 对A点有： 对B点有：4342433422312qbqbqbbaaaamqmu4bbbbmqmu12如果第一根等势线为，b120l有自由表面的平面势流流网的绘制 有自由表面的平面势流流网的绘制关键在于自由表面边界的确定。如图所示二元矩形薄壁堰流，则自由表面上任意一点的能量方程为： hu为自由表面线上任意点自总水头线降落的铅垂距离。guzguz222200guguzz222200即0022nghConstnghnuuuguzzhu2200令

13、21l有自由表面的平面势流流网的绘制 而有式中 可由流网中量得，因此先试描自由表面的边界，并绘出其流网，在流网中量出 ，即可求得 的数值，然后检验自由表面上各点至总水头线的铅垂距离的平方根与 的乘积是否等于 ，若不相等则须修正自由表面线直至符合为止。这样就可确定自由表面的边界并绘得流网。0022nghConstnghnuuu0200,2nguhu0n00nhun00nhu00nhnhuu22ABnBm51. 2007. 044. 2222200guguhhAAcm7 . 344. 26 . 351. 2它在图中的高度为(3.6为h0的图尺寸)m474. 26 . 344. 265. 3Bhm0

14、36. 0474. 207. 044. 222guB190. 0036. 0Buhm712. 06 . 344. 205. 1Bnm161. 0m135. 0712. 019. 000nhnhuBuB解： (0)先试描闸门上下游自由表面线，并绘出近似流网。假定断面0-0的速度水头为0.07(可以用断面0-0和1-1列能量方程来检验) n02.44/4=0.61m 以闸门上游水面线点A和B来说明m161. 061. 007. 000nhu3.6/2.44为比例尺（图尺寸/实际尺寸），假定hB在图中的高度为3.65cm00nhnhuu(0)画流网画流网 (1)求通过闸孔的流量；求通过闸孔的流量；

15、(2)求闸孔出流的垂直收缩系数求闸孔出流的垂直收缩系数1.05cm为 在图中的尺寸Bn23m460. 26 . 344. 263. 3Bhm05. 0460. 207. 044. 222guB224. 0Bnhm712. 06 . 344. 205. 1Bnm161. 0m159. 0712. 0224. 000nhnhnBnBB点在图中的高度为点在图中的高度为3.63cm.再假定hB在图中的高度为3.63cmABnB24ABnB2514.3 势流叠加法解平面势流势流叠加法解平面势流一、势流叠加原理一、势流叠加原理 流函数流函数流速势流速势Laplace方程方程势流叠加：势流叠加：证明：证明：

16、解可以叠加解可以叠加线性方程线性方程n21设两个简单势流，其流速势分别为设两个简单势流，其流速势分别为1和和2，则，则 0212212yx0222222yx0)()()()(222222212212221222122222yxyxyxyx即即 12也满足也满足Laplace方程方程 ，所以，所以 也是某一势流的流速也是某一势流的流速势，且这一流速势等于前两个势流叠加。势，且这一流速势等于前两个势流叠加。同理可证明叠加所得势流的流函数也同理可证明叠加所得势流的流函数也等于叠加等于叠加势流的流函数之和势流的流函数之和。02222yx02222yx26势流叠加势流叠加流速场的几何相加流速场的几何相加

17、xxxx2121)(所以所以21xxxuuu同理同理21yyyuuu21uuu结论：结论：几个势流叠加后可得一个新的势流，该新的势流的流几个势流叠加后可得一个新的势流，该新的势流的流速势及流函数各等于被叠加势流的流速势及流函数之和。速势及流函数各等于被叠加势流的流速势及流函数之和。27二、几个最简单的基本势流二、几个最简单的基本势流 1、等速均匀流、等速均匀流见例见例14.1流函数流函数流速势流速势1CUy2CUx等势线方程为等势线方程为ConstUx流线方程为流线方程为ConstUy流线是一组平行于流线是一组平行于x轴的直线。轴的直线。等势线是一组平行于等势线是一组平行于y轴的直线。轴的直线

18、。令令C10， C20，282、源与汇、源与汇源：源：不可压缩的液体从平面中的一个源泉同样均匀地不可压缩的液体从平面中的一个源泉同样均匀地流向各方，流线是由源泉流向各方，流线是由源泉O点发出的辐射直线。点发出的辐射直线。源强：源强：每秒钟流过以源点为中心每秒钟流过以源点为中心r为半径的圆周的流量为半径的圆周的流量Q。任意点任意点M(r， )的流速为的流速为rQur20u由由(14.17)式得式得drdrur积分得积分得rQln2ddrrur11由由(14.16)式得式得drrQdrudr2dQrdudr2等势线为等势线为Constln2rQConstr，为一组以源点为中心的同心圆。，为一组以源

19、点为中心的同心圆。流线为流线为积分得积分得2QConst2QConst，为一组通过源点的辐射线。，为一组通过源点的辐射线。rurQ1229汇：汇：不可压缩的液体从四周均匀地流向不可压缩的液体从四周均匀地流向O点。点。rQln22Q30三、势流叠加应用举例三、势流叠加应用举例1.源与均匀等速流叠加源与均匀等速流叠加源的流速势和流函数为源的流速势和流函数为均匀等速流的流速势和流函数为均匀等速流的流速势和流函数为rQln2121QUy2Ux2sin2Urcos2Urcosln221UrrQsin221UrQ两者叠加后得到一个新的势流，其流速势和流函数为两者叠加后得到一个新的势流，其流速势和流函数为3

20、1cosln221UrrQsin221UrQ =0的流线（零流线）方程为的流线（零流线）方程为 sin2UrQ当当0时，时，sin=0，r为为任何值时上式都能满足，故任何值时上式都能满足，故通过原点的水平线通过原点的水平线OA是是 0流线的一个解。流线的一个解。 =Q/2的流线方程为的流线方程为 2sin2QUrQ当当时，时，sin=0，r为为任何值时上式都能满足，故水平线任何值时上式都能满足，故水平线BS是是 Q/2流线的一流线的一部分部分。当当/2,3/2时，时， Q/2流线流线上上的的r值为值为UQQUr4)1 (2sin1对于流速为零的驻点对于流速为零的驻点S，它的位置可确定如下：，它的位置可确定如下： 0rur0cos12UrQrcos12UQrUQr2均匀流绕桥墩流动均匀流绕桥墩流动即C、D点32A点（点（a，0）点源点源B点（点（a，0） 点汇点汇叠加叠加l 点汇点汇22ln2rQ222Ql 点源点源11ln2rQ112Q叠加叠加222221lnln2lnln2yaxyaxQrrQ）（）（）（41ln4ln4222222yaxaxQyaxyaxQ）（）（）（2.点源和点汇叠加的流动点源和点汇叠加的流动偶极流偶极流 33axyaxy21tan,tan222