Lecture8浮点运算和浮点运算器

1、问题n1.51.5 10103 3 + + 2.02.0 10104 4=?=?n1.51.5 10103 3 2.02.0 10104 4=?=?nX = 0.1101X = 0.1101 2 20101 Y = (0.1010) Y = (0.1010) 2 21111 nX X + +Y=?Y=? X X Y=?Y=?浮点数运算课程结构主要内容n浮点数加减法浮点数加减法n浮点数乘除法浮点数乘除法n浮点数运算流水线浮点数运算流水线x = Mx 2Exy = My 2Ey(1) 求阶差求阶差(2) 对阶原则对阶原则E = Ex Ey = Ex= Ey 已对齐已对齐Ex Ey Ex Ey x

2、向向 y 看齐看齐y 向向 x 看齐看齐x 向向 y 看齐看齐y 向向 x 看齐看齐小阶向大阶看齐小阶向大阶看齐Mx 1, My 1, Mx 1, My 1, = 0 0 0 Ex1Ey+1 Ex+1Ey11对阶对阶左移会溢出；左移会溢出；右移只会影响右移只会影响精度精度例例x = 0.1101 201 y = (0.1010) 211阶和尾数都用补码表示，求阶和尾数都用补码表示，求 x + y解：解：x补补 = 00, 01; 00.1101 y补补 = 00, 11; 11.0110 (1) 对阶对阶E补补 = Ex补补 Ey补补= 00, 0111, 0111, 10阶差为负（阶差为负（

3、 2） Mx 2 Ex+ 2 对阶对阶x补补 = 00, 11; 00.0011+ 求阶差求阶差阶为什阶为什么用么用2 2位位符号位？符号位？如果阶如果阶用移码用移码会怎么会怎么样？样？2尾数求和尾数求和Mx补补 = 00.0011 My补补= 11.011011.1001 x+y补补 = 00, 11; 11. 1001+对阶后的对阶后的Mx补补 尾数为尾数为什么用什么用2 2位符号位符号位？位？x补补 = 00, 01; 00.1101 y补补 = 00, 11; 11.0110 x补补 = 00, 11; 00.0011(1) 规格化数的定义规格化数的定义(2) 规格化数的判断规格化数的

4、判断r = 2 |M| 1 12M0真值真值原码原码补码补码反码反码规格化形式规格化形式M 0规格化形式规格化形式真值真值原码原码补码补码反码反码0.1 0.1 0.1 0.1 原码原码 不论正数不论正数、负数负数，第一数位为第一数位为1补码补码 符号位和第符号位和第 一数位不同一数位不同 0.1 1.1 1.0 1.0 3规格化规格化(3) 左规左规(4) 右规右规尾数左移一位尾数左移一位，阶码减阶码减 1，直到数符和第一数位不同为止直到数符和第一数位不同为止 上例上例 x+y补补 = 00, 11; 11. 1001左规后左规后 x+y补补 = 00, 10; 11. 0010 x + y

5、 = ( 0.1110)210 当当 尾数溢出尾数溢出时，需时，需 右规右规即尾数出现即尾数出现 01. 或或 10. 时时尾数右移一位尾数右移一位，阶码加阶码加 1当当 尾数没溢出尾数没溢出且未规格化时，需且未规格化时，需 左规左规3规格化规格化例例x = 0.1101 210 y = 0.1011 201求求 x +y（除阶符、数符外，阶码取（除阶符、数符外，阶码取 3 位，尾数取位，尾数取 6 位）位） 解：解：x补补 = 00, 010; 00. 110100y补补 = 00, 001; 00. 101100 对阶对阶 尾数求和尾数求和E补补 = Ex补补 Ey补补 = 00, 010

6、 11, 111100, 001阶差为阶差为 +1 My 1, Ey+1 y补补 = 00, 010; 00. 010110Mx补补 = 00. 110100My补补 = 00. 010110对阶后的对阶后的My补补01. 001010+尾数溢出需右规尾数溢出需右规 右规右规x +y补补 = 00, 010; 01. 001010 x +y补补 = 00, 011; 00. 100101右规后右规后 x +y = 0. 100101 2114. 舍入舍入在在 对阶对阶 和和 右规右规 过程中，可能出现过程中，可能出现 尾数末位丢失尾数末位丢失引起误差，需考虑舍入引起误差，需考虑舍入(1) 0

7、舍舍 1 入法入法 (2) 恒置恒置 “1” 法法4舍入舍入 设机器数为补码，尾数为设机器数为补码，尾数为 规格化形式，规格化形式，并假设阶符取并假设阶符取 2 位，阶码的数值部分取位，阶码的数值部分取 7 位，数符取位，数符取2 位，尾数取位，尾数取 n 位，则位，则该该 补码补码 在数轴上的表示为在数轴上的表示为上溢上溢下溢下溢上溢上溢 对应对应负浮点数负浮点数 对应对应正浮点数正浮点数00,1111111;11.00 0 00,1111111;00.11 111,0000000;11.011 111,0000000;00.100 02127(1) 2-128(2-1+ 2-n)2-128

8、2-12127(12-n)最小负数最小负数最大负数最大负数最小正数最小正数最大正数最大正数0阶码阶码01, 阶码阶码01, 阶码阶码 10, 按机器零处理按机器零处理5溢出判断溢出判断浮点加减运算小结浮点加减运算小结n方法：阶码相同时，尾数直接加减；阶码不同时，先对阶，方法：阶码相同时，尾数直接加减；阶码不同时，先对阶，再进行尾数加减。加减完成后需要规格化。再进行尾数加减。加减完成后需要规格化。n步骤：步骤：首先进行首先进行0 0操作数的检查操作数的检查, ,看有无简化操作的可能看有无简化操作的可能；1. 1. 比较阶码大小并完成对阶（小阶向大阶对齐）；比较阶码大小并完成对阶（小阶向大阶对齐）

9、；2. 2. 尾数进行加或减运算；尾数进行加或减运算；3. 3. 结果规格化并进行舍入处理结果规格化并进行舍入处理4. 4. 溢出判断溢出判断浮点加减运算流程浮点加减运算流程主要内容n浮点数加减法浮点数加减法n浮点数乘除法浮点数乘除法n浮点数运算流水线浮点数运算流水线浮点乘法和除法运算n设有两个浮点数和：设有两个浮点数和：2 2E EM M2 2E EM Mn2 2(E(EE E) )(M(MM M) )n2 2(E(EE E) )(M(MM M) )n乘除运算分为四步乘除运算分为四步n0操作数检查操作数检查n阶码加减操作阶码加减操作n尾数乘除操作尾数乘除操作n结果规格化和舍入处理结果规格化和

10、舍入处理阶码运算n浮点数的阶码运算（移码的运算规则）浮点数的阶码运算（移码的运算规则）nx移移+y移移=2n+x+y移移 (n为不含符号位时整数的位数为不含符号位时整数的位数)2(mod21nnxyyxyxyx补移补移移移移)2(mod1nxyyxyx补移补移移x移+y移=x补+2n+y补+2n=x+y补+2n+2n=x+y移+2n两边同时加2n，有尾数运算n尾数处理尾数处理n截断截断n舍入舍入n尾数用原码表示时尾数用原码表示时n只要尾数最低为只要尾数最低为1或者移出位中有或者移出位中有1数值位，使最低位置数值位，使最低位置1n0舍舍1入入n尾数用补码表示时n丢失的位全为0，不必舍入 (对真值

11、没有影响)。n丢失的最高位为0，以后各位不全为0时；或者最高为1，以后各位全为0时，不必舍入。n丢失的最高位为1，以后各位不全为0时，则在尾数的最低位入1(加1)的修正操作。0.xxxx;xxxx0.xxx1;xx1x0.xxx1;1xxx机器数 真值 舍入后真值0.10,011.10,01 -0.0111 -0.101.10,10 -0.0110 -0.100.10,11 0.1011 0.111.10,11 -0.0101 -0.011.11,11 -0.0001 01.01,11 -0.1001 -0.10 举例 例例 设有浮点数设有浮点数250.0110011,23(0.1110010

12、),阶码用阶码用4位移码表示位移码表示,尾数尾数(含符号位含符号位)用用8位补码位补码表示。求表示。求浮。要求用补码完成尾数乘法运算浮。要求用补码完成尾数乘法运算,运算运算结果尾数保留高结果尾数保留高8位位(含符号位含符号位),并用尾数低位字长值处理舍并用尾数低位字长值处理舍入操作。入操作。移码采用双符号位移码采用双符号位, ,尾数补码采用单符号位尾数补码采用单符号位, ,则有则有 MM 补补0.0110011, 0.0110011, MM 补补1.0001110,1.0001110, E E 移移01 011, 01 011, E E 补补00 011, 00 011, E E 移移00 0

13、11,00 011, 浮浮00 011, 0.0110011, 00 011, 0.0110011, 浮浮01 011, 1.000111001 011, 1.0001110解:移码采用双符号位移码采用双符号位,尾数补码采用单符号位尾数补码采用单符号位,则有则有 M补补0.0110011, M补补1.0001110,E移移01 011, E补补00 011, E移移00 011,浮浮00 011, 0.0110011, 浮浮01 011, 1.0001110(1)判断操作是否为判断操作是否为”0”,求阶码和求阶码和EE移移E移移E补补00 01100 01100 110, 值为移码形式值为移码

14、形式2。(2) 尾数乘法运算可采用补码阵列乘法器实现尾数乘法运算可采用补码阵列乘法器实现,即有即有M补补M补补0.0110011补补1.0001110补补 1.1010010,1001010补补(3) 规格化处理规格化处理 乘积的尾数符号位与最高数值位符号相同乘积的尾数符号位与最高数值位符号相同,不是规格化的数不是规格化的数,需要左需要左规规,阶码变为阶码变为00 101(-3), 尾数变为尾数变为 1.0100101,0010100。(4) 舍入处理舍入处理尾数为负数尾数为负数,取尾数高位字长，按舍入规则取尾数高位字长，按舍入规则,舍去低位字长，故尾数舍去低位字长，故尾数为为1.010010

15、1 。最终相乘结果为最终相乘结果为浮浮00 101,1.0100101 其真值为其真值为23(0.1011011)主要内容n浮点数加减法浮点数加减法n浮点数乘除法浮点数乘除法n浮点数运算流水线浮点数运算流水线提高并行性的两个渠道提高并行性的两个渠道n空间并行性：增加冗余部件，如增加多操作部件处理空间并行性：增加冗余部件，如增加多操作部件处理机和超标量处理机机和超标量处理机n时间并行性：改善操作流程如：流水线技术时间并行性：改善操作流程如：流水线技术流水线原理n在流水线中必须是在流水线中必须是连续的任务连续的任务，只有不断的提供任务才能充，只有不断的提供任务才能充分发挥流水线的效率分发挥流水线的

16、效率n把一个把一个任务分解任务分解为几个有联系的子任务。每个子任务由一个为几个有联系的子任务。每个子任务由一个专门的功能部件实现专门的功能部件实现n在流水线中的每个功能部件之后都要有一个在流水线中的每个功能部件之后都要有一个缓冲寄存器缓冲寄存器，或，或称为锁存器称为锁存器n流水线中流水线中各段的时间应该尽量相等各段的时间应该尽量相等，否则将会引起，否则将会引起“堵塞堵塞”和和“断流断流”的现象的现象n流水线需要有流水线需要有装入时间和排空时间装入时间和排空时间，只有当流水线完全充满，只有当流水线完全充满时，才能充分发挥效率时，才能充分发挥效率流水线原理设过程段设过程段 S Si i所需的时间为

17、所需的时间为i i, ,缓冲寄存器的延时为缓冲寄存器的延时为l l, ,线性流水线的时钟周期定义为线性流水线的时钟周期定义为maxmaxi i l lm ml l流水线处理的频率为流水线处理的频率为 f f1/1/。流水线原理n一个具有一个具有k k 级过程段的流水线处理级过程段的流水线处理 n n 个任务需要的时个任务需要的时钟周期数钟周期数T Tk kk k(n(n1)1)，所需要的时间为：所需要的时间为： T TT Tk k 而同时，顺序完成的时间为：而同时，顺序完成的时间为：T Tn nk knk k级线性流水线的加速比：级线性流水线的加速比：C Ck k TLTL n nk . k

18、. Tk kTk k(n(n1)1)流水线浮点运算器A Aa a2 2P,P,B Bb b2 2q q在在4 4级流水线加法器中实现上述浮点加法时级流水线加法器中实现上述浮点加法时, ,分为以下操分为以下操作：作：(1) (1) 求阶差求阶差(2) (2) 对阶对阶(3) (3) 相加相加(4) (4) 规格化规格化小结n浮点数加减法的过程浮点数加减法的过程n对阶、尾数加减、规格化（左规，右规）（含溢出判断）、对阶、尾数加减、规格化（左规，右规）（含溢出判断）、舍入处理舍入处理n浮点数乘除法的过程浮点数乘除法的过程n阶码加减、尾数乘除、规格化（含溢出判断）、舍入处理阶码加减、尾数乘除、规格化（含溢出判断）、舍入处理n流水线概念及浮点运算器中的流水线流水线概念及浮点运算器中的流水线作业88-1.已知两浮点数：已知两浮点数：x=0 011, 0 1001y=1 111, 0 1011阶码用以阶码用以2为基的为基的4位补码表示位补码表示(最高位为阶符