连续时间系统的傅里叶分析

1、主要内容主要内容：系统函数系统函数无失真传输条件无失真传输条件理想低通滤波器理想低通滤波器调制与解调调制与解调抽样与恢复抽样与恢复第五章第五章 傅立叶变换应用于通信系统傅立叶变换应用于通信系统滤波、滤波、调制与抽样调制与抽样 连续时间系统的傅氏分析，就是分析系连续时间系统的傅氏分析，就是分析系统的频域特性，这是信号的傅氏分析的统的频域特性，这是信号的傅氏分析的延伸。延伸。主要内容主要内容重点重点系统函数的定义系统函数的定义系统函数物理意义系统函数物理意义系统函数物理意义系统函数物理意义则依卷积定理有则依卷积定理有则零状态响应则零状态响应 thtetr 若若),()( Ete或或)( jE ),

2、()( Rtr或或)( jR ),()( Hth或或)( jH)()()( HER 激激励励信信号号的的傅傅氏氏变变换换响响应应信信号号的的傅傅氏氏变变换换 )()()( ERH一、系统函数的引出一、系统函数的引出设系统的冲激响应为设系统的冲激响应为h(t)，例：电路理论中，依输入、输出的含义不同，例：电路理论中，依输入、输出的含义不同，H( )可有四种情况可有四种情况)()()(12 VVH 电压比电压比)()()( IVH阻抗阻抗)()()( VIH)()()(12 IIH导纳导纳电流比电流比1. 表征系统表征系统)()( jHth2. 当当)()(tte 时时，)()(thtr ，此时此

3、时1)(t ，)()()()( HHER即即)()( Hth h(t)为冲激响应，取决于系统本身的结构，为冲激响应，取决于系统本身的结构，描述了系统的固有性质。描述了系统的固有性质。 H( )也仅仅决定于系统结构，也仅仅决定于系统结构，H( )是表征是表征系统特性的重要参数。系统特性的重要参数。证明证明)()()( jeHH )(H：系统的幅频特性系统的幅频特性 )(：相频特性相频特性设设激激励励为为,)(tjete 则系统的零状态响应为则系统的零状态响应为)()()(tethtr 等等于于激激励励)(te乘乘以以加加权权函函数数)( jH。3. 频率响应特性频率响应特性 dehtj )()(

4、 dehejtj )(tjejH )(系统可以看作是一个信号处埋器：系统可以看作是一个信号处埋器：激励：激励：E( )响应：响应：H( )E( )()()( ejeEE )()()( hjeHH )()()( HER )()()( her 对信号各频率分量进行加权。对信号各频率分量进行加权。 E的的幅度由幅度由)( H加权加权 E的的相位由相位由)( 修正修正这也是信号分解，求响应再叠加的过程这也是信号分解，求响应再叠加的过程)(jE)()()(jHjEjR)(jE)(jH)(jR)(je)(j)(jr各分量被加权各分量被加权各分量被相移各分量被相移)( jH的求解方法？的求解方法？ 方法一：

5、方法一： h(t)的傅立叶变换的傅立叶变换 方法二：方法二： 系统微分方程两边求傅立叶变换系统微分方程两边求傅立叶变换 方法三：利用输入为方法三：利用输入为 时的系统时的系统响应响应)()()( jjejHjH tjete)()()(jHetrtj方法一：方法一： h(t)h(t)的傅立叶变换的傅立叶变换)()(thFTjH)(th)()(tte系统零状系统零状态响应态响应方法二：方法二： 系统微分方程两边求系统微分方程两边求傅立叶变换傅立叶变换)()(.)()()()(.)()(1111011110teEdttdeEdttedEdttedEtrCdttdrCdttrdCdttrdCmmmmm

6、mnnnnnn)()()(FjdttfdFTnnn)()()(jEjRjH方法三：方法三： 利用输入为利用输入为 时的系统响时的系统响应应tjete)()()()()()()(*)()()(jHedheedhedhtethtetrtjjtjtjtjetrjH)()(输入为输入为 时的响应时的响应tje例：例：)()(2)(3)(tetrtrtrtjtjtjejAtrejAtrAetr 2)()()()()( tjtjeejjA2)(3)(22)(3)()(2jjetrtj2)( 3)(1)()(2jjetrjHtj可求出可求出A特解特解主要内容主要内容重点重点例题例题幅频特性幅频特性系统的频域

7、模型系统的频域模型以以 RC 低低通通网网络络为为例例，讨讨论论用用系系统统函函数数求求解解的的过过程程，此此题题求求 tv2。分析：无储能分析：无储能-零状态。零状态。 tv2的结果在时域分析的结果在时域分析中我们已经得到中我们已经得到解：解：下面我们用频域分析下面我们用频域分析-系统函数法解此题。系统函数法解此题。系统函数的求解系统函数的求解方方法法 1：由由 Hth方法方法 2：画频域模型求分压比：画频域模型求分压比1. 列方程列方程 )()()(122tvtvdttdvRC 2求求)(),(thH ，方程两边同时取傅氏变换，方程两边同时取傅氏变换 122VVVRCj 这是这是KVL的频

8、域形式的频域形式系统的频域模型系统的频域模型 jjRCRCRCjVVH111112其反变换其反变换 tueRCtuethtRCt11 其其中中RC1 ，RC1 称称为为时时间间常常数数。系统函数系统函数 2112 jeSaEVtv 12VHV 2222VjjeVeSaEj 2sin2222222 ESaEV从幅频特性可见：从幅频特性可见：o Ho 1V Eo 2V显示了网络的低通特性。显示了网络的低通特性。低频部分变化不大低频部分变化不大高频部分显著变小高频部分显著变小 212VFtv222sin2)( jeEjV= tuEetuEetutuEtt= tueEtueEtt11 tuEetuEe

9、ttEttEtvttsgn2sgn22 jjejEjEejEjEV 2主要内容主要内容 )(0)(00200)()()()( jjeejHV设设ttv01sin)( ，若：，若：)()()( jeHH ，求，求)()(22tvV 解：解： )()()(001 jV)()()(12 VHV )()()(00)( jeHj利用频移特性利用频移特性)(200 tje)(200 tje )()(020000)(21)( jtjjtjeeeejHtv )(sin)(000 tH主要内容主要内容重点重点难点难点信号处理提出的几个问题信号处理提出的几个问题: 如何保证信号经过系统不会失真？如何保证信号经过系

10、统不会失真？ 如何根据要求设计系统函数？如何根据要求设计系统函数？ 什么系统函数是理想函数？什么系统函数是理想函数？ 如何将设计的理想的系统函数变为物理可如何将设计的理想的系统函数变为物理可实现的？实现的？ 信号在经过系统前后能量有何变化？信号在经过系统前后能量有何变化？关键是有什么样的系统频率特性关键是有什么样的系统频率特性)()()(jjejHjH对系统的不同用途有不同的要求：对系统的不同用途有不同的要求：l 无失真传输无失真传输l 利用失真利用失真波形变换波形变换失真分类：失真分类：l 非线性失真非线性失真产生新的频率成分产生新的频率成分l 线线性性失失真真幅幅度度，相相位位变变化化，不

11、不产产生生新新的的频频率率成成分分信信号号经经系系统统传传输输，要要受受到到系系统统函函数数 H的的加加权权，输输出出波波形形发发生生了了变变化化，与与输输入入波波形形不不同同，则则产产生生失失真真。信号的失真由两方面因素造成：信号的失真由两方面因素造成：0)()()(tjKeERH 幅度可以比例增加幅度可以比例增加可以有时移可以有时移 波形形状不变波形形状不变h(t)h(t) te tr trot teot)()(0ttKetr 0)()(tjeKER )()()( HER 0)(:tKH即即o H Ko 0t 几点认识：几点认识：l 不不失失真真的的线线性性系系统统其其冲冲激激响响应应)(

12、th也也是是冲冲激激函函数数)(0ttK 只有相位只有相位 与频率成正比，方能保证各谐波有相同的迟延时与频率成正比，方能保证各谐波有相同的迟延时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。 0tdd 3）主要内容主要内容重点重点难点难点理想滤波器理想滤波器)( jH)( jH低通低通高通高通带通带通带阻带阻)( jH)( jH cctjeH010 0t 即：即：)()( Hth deHHFthtj)(21)()(1 CCccttjttjettjde 000)(121121 ccdeetjtj 0121 0021110ttjttjCCeejtt 00sinttttcc

13、c 0ttSacc )t (t 0ttSathcc 理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系与带宽的关系cccc)(th0tc 0)(th0t00t1)(0tt ttt1 1比较输入输出，可见比较输入输出，可见严重失真严重失真；原因：原因：信号频带无限宽，信号频带无限宽，而理想低通的通频带而理想低通的通频带( (系统频带系统频带) )有限，有限，2理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统，理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统，当当 t 经经过过理理想想低低通通时时，c 以以上上的的频频率率成成分分都都衰衰减减为为 0 0，所所以以失失真真。 cctjeHth01)(

14、0 01Rtjej )(cc CCdeejRFtrtjtj01)(21)()(1 djedeccccttjttj002121 dttc00sin2221 dxxxttc 00sin121 的的抽抽样样性性） ( 欧拉公式欧拉公式 0ttx 令令记作记作Si(y)1. 下限为下限为0；2. 奇偶性：奇函数。奇偶性：奇函数。3. 最大值出现在最大值出现在 x，最小值出现在最小值出现在 x。 ydx0 xsinx=Si(y)1)(tut0 0121ttSitrC 1 最大值位置：最大值位置：c ， 最小值位置：最小值位置：c BtCr12 CCfB 2B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。

15、是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。3阶阶跃跃响响应应的的上上升升时时间间rt与与网网络络的的截截止止频频率率 B（带带宽宽）成成反反比比1 rtB。 )()()( tutute )()(1)(00 ttSittSitrCC2. 10 的时间：的时间：Crt 84. 3 01210 ttSiAC 92. 1)(0 ttAC 11210 ttSiBC 92. 1)(0 ttBC CBArttt 84. 3 3. 9 . 01 . 0的的时时间间：Crt 8 . 2 总总之之，rt与与C 成成反反比比。1. 最最小小值值到到最最大大值值：Crt 2 为什么要进行调制为什么要进行调制使信号

16、容易辐射使信号容易辐射便于频率分配便于频率分配频分复用频分复用?将信号的频谱搬移到所希望的位置上；将信号的频谱搬移到所希望的位置上；提高了系统的有效性和可靠性。提高了系统的有效性和可靠性。5.6 调制与解调调制与解调调制调制调制调制：将信号的频谱函数搬移到任何所需的较高将信号的频谱函数搬移到任何所需的较高频段上的过程。频段上的过程。调制的分类：调制的分类：按载波按载波正弦型信号作为载波正弦型信号作为载波脉冲串或一组数字信号作为载波脉冲串或一组数字信号作为载波连续性连续性模拟（连续）调制模拟（连续）调制数字调制数字调制模拟调制是数字调制的基础。模拟调制是数字调制的基础。正弦型载波正弦型载波正弦信

17、号正弦信号三个主要特征参数三个主要特征参数K振幅振幅 角频率角频率 初相位初相位使正弦型载波的特征参数随调制信号的变化而变化，使正弦型载波的特征参数随调制信号的变化而变化，调幅：调幅：AM (amplitude modulation) 调频：调频：FM (frequency)调相：调相：PM (phase)调幅信号都可看成乘积信号调幅信号都可看成乘积信号 矩形调幅矩形调幅 指数衰减振荡指数衰减振荡 三角调幅三角调幅ttf0cos)(幅度调制的原理幅度调制的原理乘法器乘法器)(tftC costtftfCC cos)()( )(tf：调制信号调制信号)(tfC：已调信号：已调信号tC cos：载

18、波信号：载波信号C ：载波角频率：载波角频率0t)(tf)cos(tC 0t0tttfC cos)(ttftfCC cos)()( )()(21)(CCCFFF tjtjCCCeetftf )(21)(m 时时，0)( F，mC 频谱的变化频谱的变化 )()(21)(CCCFFF 0)(Fm mA0 tFC cosC C )( )( 0 )( CFC C mC mC 2A2A若用卷积定理分析：若用卷积定理分析：tjtjCCCeet 2121cos)()(cosCCCt )(21)(21)()()(21cos)(CCCCCFFFttf 解调解调(同步解调同步解调)将已调信号恢复成原来的调制信号的

19、过程。将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。乘法器)(tfCtCcosttftgCCcos)()(理想低通滤波器)(tf)(Hmm 02ttftgCC cos)()( ttfttftgCC 2cos1)(21cos)()(2 )(41)(41)(21)(CCFFFG 本地载波，本地载波，与发送端载波与发送端载波同频同相同频同相解调频谱解调频谱乘法器)(tfCtCcosttftgCCcos)()(理想低通滤波器)(tf)(Hmm 020C2C22Amm)(G4A0CCmCmC2A)(CF0tFCcosCC)()()2(41)2(41)(21)(CCFFFG )()()( FHG 频分复用频分复用

20、复用复用：在一个信道上传输多路信号。：在一个信道上传输多路信号。频分复用频分复用 （FDM）时分复用时分复用 （TDM）码分复用（码分多址）码分复用（码分多址） （CDMA）波分复用波分复用（WDM）频分复用频分复用：就是以频段分割的方法在一个信道内实：就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。现多路通信的传输体制。(frequency division multiply)复用复用发信端发信端发信端：调制，发信端：调制，将各信号搬移到将各信号搬移到不同的频率范围。不同的频率范围。 )( aF0 )( bF0 )( cF00 )( Ga b c a b c 复用复用收信端收信端收信

21、端：带通滤波器，分开各路信号，解调。收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。0 )( Ga b c a b c )()( Ftf若：若： 00)( Fetftj 00)( Fetftj则：则：小结小结(1)卷积定理卷积定理时域卷积定理时域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理频移定理频移定理 11Ftf 22Ftf 2121FFtftf 若若则则若若则则 11Ftf 22Ftf 212121FFtftf 小结小结(2)0)(CFCCmCmC2A2A乘法器)(tftCcosttftfCCcos)()(乘法器)(tfCtCcosttftgCCcos)()(理想低通滤波器)(tf)(Hmm020)(Fmm

22、A0C2C22Amm)(G4A调制调制解调解调频分复用频分复用57从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的第一个环节。数字处理的第一个环节。周期周期信号信号需解决的问题：需解决的问题：原理图：原理图：5.7 抽样（采样抽样（采样 sample）58一、矩形脉冲抽样一、矩形脉冲抽样59抽样信号的频谱结构抽样信号的频谱结构 pFtptfFFs 21 nsnnpptp 2 2 SsnnSaTp nsSsnnSaTp 22 nsSssnFnSaTF 2 nsSsnFnSaT 260频谱结构频谱结构(2)设：设：21 sT ， sST2 ， s， s

23、 22 即二即二次谐波为次谐波为 0。1 n， ssssssFFTFSaTnF 12211 n， sssFFnF 112211 nsSssnFnSaTF 2)(61频谱结构频谱结构(3)2n， 02 nFs 3 n， sssFFnF 331332213 )( sF)(1sF )(1sF )(21 F )3(31sF )3(31sF 0 s s 2s s 2 s 3 s 3)( FssT 理想抽样理想抽样 0，矩形脉冲，矩形脉冲 t 62参数影响参数影响ssT 频谱间隔增加频谱间隔增加周期的影响：周期的影响：脉冲宽度的影响：脉冲宽度的影响：)(tf0t)(tP)1(0t相相乘乘sT时域抽样时域抽

24、样)()(nsTnTtt二、理想抽样（周期单位冲激抽样）二、理想抽样（周期单位冲激抽样）)(tfs0t )()()()()(ssTsnTtnTfttftf 抽样信号抽样信号ntjnntjnnnTeTeFnTtt111.)()(1)(12)(11 nTtFTnT )()(11 nTntFT 周期单位冲激序列的周期单位冲激序列的FT)(t0t1) 1 (0)(tT1TtnF001112121112111TFSFT66二、理想抽样（周期单位冲激抽样）二、理想抽样（周期单位冲激抽样） )()()()(sssTnnTtttp )()()()()(ssTsnTtnTfttftf ttfFFTs TF 21

25、 nsSnFT 167几点认识：几点认识：ms mms 三、三、 周期矩形被冲激抽样的频谱周期矩形被冲激抽样的频谱)(1tfE221T1Ttt00221T1T)(tfsE)(sFsTTE1222sT2sT2t先重复先重复后抽样后抽样E220022E先抽样先抽样t时域抽样时域抽样频域重复频域重复1Tt1T后重复后重复sT2sT2时域重复时域重复频域抽样频域抽样22tsT11ETs1)(1tf70四、奈奎斯特（四、奈奎斯特（Nyqist）抽样率抽样率fs和抽样间隔和抽样间隔Ts从前面的频谱图可以看出，重建原信号的必要条件：从前面的频谱图可以看出，重建原信号的必要条件：不满足此条件，就要发生不满足此

26、条件，就要发生频率混叠频率混叠现象现象msfT21 msff2min msfT21max 抽样频率抽样频率抽样间隔抽样间隔奈奎斯特抽样频率奈奎斯特抽样频率奈奎斯特抽样间隔奈奎斯特抽样间隔msff2 71举例及总结举例及总结mmsfT21 五、抽样定理五、抽样定理1 时域抽样定理时域抽样定理 一个频率有限信号一个频率有限信号 , 如果频谱只占据如果频谱只占据 的范围，则信号的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间隔不大于而抽样间隔不大于 （其中（其中 ），或者说最低），或者说最低抽样频率为抽样频率为 。奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)频率频率：)(tfmm)(tfmf21mmf2mf2ms2奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)间隔间隔：信号的抽样及其频谱