第十一章虚位移法

1、 11-1约束及约束方程约束及约束方程 11-2自由度自由度 广义坐标广义坐标 11-3虚位移虚位移 11-4虚位移法及其应用虚位移法及其应用w约束：约束：当质点或质点系中的某些质点运动时，受到某些事先给定的几何上或运动学上的限制条件，这些限制条件称为质点或质点系的约束。【例【例11-1】圆盘C在粗糙平面上作纯滚动。约束是指事先给定的限制条件，它与作用力、起始条件以及运动的其他条件无关。yC = R表示圆盘C受到几何上的限制，vC = R表示圆盘C受到运动学上的限制。CRvCyCw非自由质点系：非自由质点系：受约束的质点系为非自由质点系。w约束方程：约束方程：约束加于质点或质点系的限制条件，可

2、以用几何学和运动学知识写成具体的数学表达式 ，该表达式称为约束方程。【例【例11-2】 求曲柄连杆机构的约束方程。 xA2 + yA2 = r2 (xB xA)2 + (yB yA)2 = l 2 yB = 0w自由质点系：自由质点系：不受任何约束的质点系为自由质系，它可以在主动力作用下作空间任意运动。yOA(xA,yA)B(xB, yB)rxl图示复摆摆锤M的约束方程为 x2+y2 = l 2双面约束双面约束用严格的等号等号表示约束方程。这种约束如能限制物体向某一方向运动，则必能限制向相反方向运动。单面约束单面约束用不等号不等号表示约束方程。这种约束只能限制物体某个方向的运动，不能限制相反方

3、向的运动。图示单摆摆锤M的约束方程为 x2+y2 l 2yxOM(x,y)lyxOM(x,y)l-vtv如果约束方程中仅包含坐标，或坐标与时间，或包含坐标对时间的导数但能积分成有限形式 ，称这种约束为完整约束完整约束。如上面所举各例。完整约束方程的一般形式为：j (x1,y1,z1, xi,yi,zi, xn,yn,zn; t)=0 (j =1,2,s)如果在约束方程中不显含时间t ，即约束不随时间而改变 ，称该约束为定常约束定常约束。如上面所举二例。图示单摆的约束方程为：x2 + y2 = (l- vt)2如果在约束方程中显含时间t ，即约束随时间而改变 ，称该约束为非定常约束非定常约束。y

4、xOM(x,y)l如果约束方程中不仅含有坐标， 还含有坐标对时间的导数且这种方程不能积分成有限形式，称这种约束为非完整约束非完整约束。其一般形式为：完整约束方程中仅含坐标 ，它表现为对质点系的几何位置起限制作用 ，故这种约束又称为几何约束几何约束。非完整约束方程中包含有速度的投影 ，它仅表现为对质点速度所加的限制 ，故这种约束又称为运动约束运动约束。), 2 , 1(0);,.,(111111sjtzyxzyxzyxzyxzyxzyxfnnnnnniiiiiij本章只涉及定常双面完整约束。【解【解】 由质点距离不变的条件写出M1和M2的几何约束方程 (x1 - x2)2+(y1 - y2)2

5、= l 2 由点C的速度vC必须沿杆的方向的条件写出运动约束方程【例【例11-3】平面上两个质点M1和M2质量相等。由一长为 l 不计质量的刚性杆连接 ， 运动中杆中点 C 的速度只可以沿着杆的方向如图所示。写出质点M1、M2及中点C的约束方程。OxyCM2(x2,y2)M1(x1,y1)vC121221212)(2)(xxyyxxyy在完整约束条件下，用来确定质点系在空间的位置所需的独立坐标个数称为质点系的自由度。一个由n个质点组成的质点系在空间(平面)内的位置 ，在直角坐标系中需用3n (2n)个坐标来确定。如果质点系受有s个完整约束 ，则质点系的3n (2n)个坐标必须满足s个约束方程。

6、因此质点系只有k=3n - s (k=2n - s)个坐标是独立的，即其自由度k=3n - s (k=2n - s) 。【例【例11-4】求图示系统的自由度。 xA2 + yA2 = r2(xA-xB)2 + (yA-yB)2 = l 2yB= 0 k = 22 - 3 = 1yOA(xA,yA)B(xB, yB)rxl【例例11-5】 求图示双摆的自由度。xA2 + yA2 =l12(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l22k 22 2 2yxOA(xA,yA)l11l22B(xB,yB)唯一地确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。若以q1,q2, qj, qk 表示所选定的广义坐标，

7、则任一质点Mi 的直角坐标可表示为广义坐标的函数。显然,质点Mi的矢径ri也可表示为广义坐标的函数。在具体问题中，广义坐标可取为角度、弧度、直角坐标等。ri=ri(q1,q2, qj , qk)(i =1,2,n)xi= xi (q1,q2, qj,qk)yi = yi (q1,q2, qj, qk) zi = zi (q1,q2, qj, qk)(i =1,2,n)质点或质点系在给定瞬时，为约束所容许的任何微小的位移称为质点或质点系的虚位移，记为r等。w虚位移只是一个几何概念，它完全由约束的性质及其限制的条件所决定，可以是线位移或角位移。质点或质点系在力的作用下，在一定时间间隔内实际发生的位

8、移，记为dr等。w它不但与约束条件有关，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关；w它有确定的方向，既可是微小量也可是有限量。【例【例11-6】铰接于光滑水平面上的直杆OA受力如图示，画出点A的实位移和虚位移。drw在定常完整约束条件下 ， 约束的性质与时间无关，微小的实位移是虚位移之一。xyAMOd r1xyAMO1 2r2w它只是约束所容许的可能发生而实际不一定发生的位移，它与作用力无关，与时间无关；w它可以有多种不同的方向，但必须是微小量。BABAr2r1w对于非定常约束 ，由于物体的位置或形状随时间而改变 ，而虚位移与时间无关 ，实位移却与时间有关 ，所以微小的实位移不再是虚位移之一。B

9、A【例【例11-7】物块B搁置于三棱体A上，不计摩擦。画出系统由静止开始运动后物块B的实位移和虚位移。dr在定常约束条件下 ，微小的实位移是虚位移之一，故可用求实位移的方法来建立质点的虚位移间的关系。rBrA【例【例11-8】 求图示机构A点和B点的虚位移。【解】应用几何学和运动学方法求A点和B点的虚位移rA和 rBOA杆作定轴转动 ) 1 (1OArAAB杆作平面运动 ， I为瞬心 IOAB12)2(2 IArA1IBIAOA若1取为顺时针转向，画出虚位移图得出的 rA和 rB的表达式与逆时针转向是一致的。由(1)(2)式得rBrAIOAB12212IAOA2 IBrB利用广义坐标的概念，将

10、任意质点系中各质点的虚位移表示为与广义坐标间的变分关系。xi= xi (q1,q2, qj, , qk)yi = yi (q1,q2, qj, , qk) zi = zi (q1,q2, qj, , qk) (i =1,2,n)kjjjkjiiqqqqqqxx121),(kjjjkjiiqqqqqqyy121),( (i =1,2,n)kjjjkjiiqqqqqqzz121),(【解】xA=l1 cos yA=l1 sin xB=l1 cos +l2cos l1sin =l2sin【例【例11-9】求图示机构A点和B点的虚位移。OA=l1 ，AB=l2。OABxykjjjkjiiqqqqqq1

11、21),(rr (i =1,2,n)ri=ri(q1,q2, qj , qk) (i =1,2,n) rA = ixA + jyA = l1(- i sin + j cos) rB= i xB =i (- l1sin )( + cot tan )2212211sincossin(lllli可以证明用几何法和解析法所得结果是一致的。 OABxyxA = -l1sin yA = l1cos l1cos = l2cos xB = -l1sin - l2sin 力在虚位移中所作的功。 虚功为代数量。 该功为元功但不能积分。 静止系统不会有实位移，也不会有实功，但可以有虚位移，可以有虚功。W =Fr =

12、 Fxx + Fyy + Fzz W= mO(F) W= mw若以Ni表示n个质点系中第i个质点的约束反力的合力 ， ri表示该质点的虚位移 ，则质点系的理想约束条件可表示为：0rNiiw约束反力在质点系的任何虚位移中所作虚功之代数和为零的约束称为理想约束理想约束。w静力学中的固定光滑接触、不可伸长的柔性体、光滑铰链、固定端、刚性二力构件、光滑球形铰链、光滑止推轴承等均为理想约束。对具有双面、定常、理想约束的质点系，其保持静静止平衡止平衡的充要条件是：所有主动力Fi在质点系的任何虚位移ri中所作的虚功的代数和为零。虚功方程为：w矢量式：w解析式：0iirF0)(iziziyiyixixrFrF

13、rF w选取适当的广义坐标(或虚速度)；w求与各主动力相对应的虚位移(或虚速度间的关系；w列主动力的虚功方程并求解。 w若求摩擦、支座等约束反力，则可逐次解除一个约束，将结构变成机构，并视该约束反力为主动力；w有时将虚位移换成虚速度并用 表示虚功方程，即用所谓的 “虚速度法” 解题较便捷；w虚位移或虚速度是指在质点系静止平衡的基础上假想发生的；w静力学大多数问题用虚位移原理求解并不很方便。0iivF【例【例11-10】不计摩擦力及绳索质量，求图示滑轮系统平衡时P/Q的值。BOA CPDQ2xA + xB =c1xC - xA = c2(xC-xB)+(xD-xB)= c32xA+ xB = 0

14、 xC - xA = 0 xC+xD- 2xB = 0 xD= -5xC虚功方程: PxC+QxD=0求解：P/ Q= 5【解【解】yxxAxBxDxCxyFF【例【例11-11】图示机构中弹簧自然长度为l0，刚度系数为k。求在主动力P、Q作用下平衡时弹簧拉力及。【解【解】1)求虚位移间关系coslxDsinlxDcos)2(lLxEsin)2(LlxEcos2LxCsin2LxC2)列虚功方程0)cos()sin( xFxFxQyPxPEDCBB)(0lxxkFDEcos)(20llLk3)由虎克定律得4)求解sinLyBcosLyBABCDELlPQcosLxBsinLxBOABC3012

15、0O1Fm【例【例11-12】图示平面机构中，不计构件自重与摩擦。OB杆长为4l，系统在图示位置平衡，此时滑块A位于OB杆正中，求主动力偶矩m与主动力F间的关系。vavrvevBvC6030【解【解】1)求虚速度间关系AOva1lOA30sinlvvvaeB)30sin(2230cos60cosvvBClvC32)列虚功方程并求解0vFmCFlm3选滑块A为动点，OB杆为动系abmPOABCD【例【例11-13】图示机构中，曲柄OA上作用一对矩为m的力偶，另在滑块D上作用一水平力P。求其平衡时力P与力偶矩m的关系。rArBrD I 1 10【解【解1】1)求虚位移间关系ABAOBC) 1 (0

16、 arA)3(1 IArA)4(1 IBrB)6(0sin20IBarIAD由(1)(5)得：)2( brBcos2brD由)5(sin2brD2)求几何关系cot aBOaBOIAcotsinBOIB )7(cot2aa)8(sincota由(6)(8)得：)9(0)tan(cot20raD)10(00rPmD3)列虚功方程并求解由(9)、(10)得： m = aPtan2abmPOABCDrArBrD I 1 10ABAOBCvBabmPOABCDvAvD【解【解2】1)求虚速度间关系AO) 1 (AOAav)4(2tanAODav由(1)(3)得：)2(cos2cosvvAB) 3()2

17、2cos(cosvvBD22)5(0vPmDAO2)列虚功方程并求解由(4)、(5)得：m = aPtan2【例【例11-14】求图示三铰拱支座B的约束反力。IrBxPCBAamaaFBxrCrD【解【解1】 1-1)以FBx代替支座B的水平约束，并视其为主动力，将结构变为机构。1-2)求虚位移间的关系 BIrBx a2 DIrD aD1-3)列虚功方程并求解0mrFrPBxBxD02mFaaPBx22PamFBxBCACrC 2-1)以FBy代替支座B的铅垂约束，并视其为主动力，将结构变为机构。2-2)求虚位移间的关系 ABrBy a2 ADrDcosaPCBAamaaD2-3)列虚功方程并求解0)(cosmrFrPByByD02mFaaPByamPFBy22rByrDFBy45IvBxPCBAamaaFBxvCvD【解【解2】 1-1)以FBx代替支座B的水平约束，并视其为主