经济学专业数学二阶常系数线性微分方程配套课件

1、2022年年6月月2日星期四日星期四1第三节 二阶常系数线性微分方程 第八章第八章 一、线性微分方程解的结构一、线性微分方程解的结构四、小结与思考练习四、小结与思考练习二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解 三、二阶常系数非齐次线性微分方程求解三、二阶常系数非齐次线性微分方程求解 2022年年6月月2日星期四日星期四2一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时当重力与弹性力抵消时, 物体处于物体处于 平衡状态平衡状态, 例例1 质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动力作用下作往复运动,xxo解解:

2、阻力的大小与运动速度阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向若用手向物体在弹性力与阻物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图建立坐标系如图.设时刻设时刻 t 物位移为物位移为 x(t).(1) 自由振动情况自由振动情况.弹性恢复力弹性恢复力物体所受的力有物体所受的力有:(虎克定律虎克定律)fk x 成正比成正比, 方向相反方向相反.建立位移满足的微分方程建立位移满足的微分方程.2022年年6月月2日星期四日星期四3据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得22ddddxxmkxtt 阻力阻力txRdd22d

3、d0ddxxmkxtt即即这就是在有阻尼的情况下，描述物体这就是在有阻尼的情况下，描述物体自由振动的方程自由振动的方程。(2) 强迫振动情况强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力若物体在运动过程中还受铅直外力sinpt，作作用用则得则得强迫振动方程强迫振动方程:22ddsinddxxmkxpttt2022年年6月月2日星期四日星期四4 可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是二阶微分方程二阶微分方程而且而且未知函数未知函数及其及其各阶导数各阶导数都是都是一次幂一次幂的，的， 我们把这种方程称为我们把这种方程称为二阶线性微分方程二阶线性微分方程。

4、其一般形式可其一般形式可表示为表示为( )( )( ),yP x yQ x yf xn 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为的一般形式为)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时时, 称为称为非齐次非齐次的方程的方程0)(xf时时, 称为称为齐次齐次的方程的方程.0)(xf2022年年6月月2日星期四日星期四5 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕证毕二、线性微分方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边代

5、入方程左边, 得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1 2022年年6月月2日星期四日星期四6不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是并不是通解通解但是但是)()(2211xyCxyCy则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的下面

6、引入函数的线性相关线性相关与与 线性无关线性无关概念概念. 说明说明:2022年年6月月2日星期四日星期四7)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,21nkkk使得使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关, 否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如， ,sin,cos,122xx在在( , )上都有上都有0sincos122xx故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如，又如，,12xx若在某区间若在某区间 I 上上,02321xkxk

7、k则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为必需全为 0 ,可见可见2,1xx故在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数定义定义2022年年6月月2日星期四日星期四8)(),(21xyxy线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的21, kk使使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为中有一个恒为 0, 则则)(),(21xyxy必线性

8、必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略证明略)21, yy可微函数线性无关线性无关两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:2022年年6月月2日星期四日星期四9)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, 则则)()(2211xyCxyCy数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解有特解,cos1xy ,sin2xy 且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为xCxCysincos21推论推论nyyy,21若是是 n 阶齐次方程阶

9、齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则方程的通解为则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC定理定理 2 2022年年6月月2日星期四日星期四10)(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,)()()(xfyxQyxPy 则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程左端代入方程左端, 得得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQ

10、yxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ定理定理 32022年年6月月2日星期四日星期四11)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解是非齐次方程的解,又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,例如例如, 方程方程xyy 有特解有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程对应齐次方程0 yy有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕证毕因而因而 也是通解也是通解 .2022年年6月月2日星期四日星期四12( ) (1, 2,)kyxkn设分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程),2, 1()()()(

11、nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理定理3, 定理定理4 均可推广到均可推广到 n 阶阶线性非齐次方程线性非齐次方程. 定理定理 42022年年6月月2日星期四日星期四13例如，例如，)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解无关特解, 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程

12、的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解2022年年6月月2日星期四日星期四1412,yy设函数设函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程)()(yP x yfQxx y定理定理5的解的解, 则则12yyy必为原方程对应齐次线性方程必为原方程对应齐次线性方程的特解。的特解。(0( )yP x yQ x y提示：提示：设设111( )( )( )yP x yQ xf xy （1）222( )( )( )yP x yQ xf xy （2）（1）-（2），得得121212( )( )0yyyyyxxyPQ 三、非齐

13、次线性方程与其对应齐次方程解的关系2022年年6月月2日星期四日星期四15内容小结1. 二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的概念2. 二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构3.非齐次线性方程其对应齐次方程解的关系非齐次线性方程其对应齐次方程解的关系2022年年6月月2日星期四日星期四16思考练习则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ).321,yyy1. 设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意常数是任意常数, ;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB112

14、2123( )(1);CC yC yCCy.)1()(3212211yCCyCyCD提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解且线性无关都是对应齐次方程的解且线性无关 . 3322311)()()(yyyCyyCD(反证法可证反证法可证)D2022年年6月月2日星期四日星期四172. 常系数齐次线性微分方程 第八章第八章 (Constant coefficient homogeneous linear differential equation)一、常系数齐次线性微分方程定义一、常系数齐次线性微分方程定义二、常系数齐次线性方程解法二、常系数齐次线性方程解法三、小结与思考练习三、小结与思考

15、练习2022年年6月月2日星期四日星期四18一、常系数齐次线性微分方程定义0 qyypy二阶二阶常系数常系数齐次齐次线性方程的标准形式线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶二阶常系数常系数非齐次非齐次线性方程的标准形式线性方程的标准形式( )(1)11( )nnnnya yaya yf xn阶阶常系数线性微分方程的标准形式常系数线性微分方程的标准形式2022年年6月月2日星期四日星期四19二、二阶常系数齐次线性方程解法基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化2022年年6月月2日星期四日星期四20),

16、(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子和它的导数只差常数因子,代入得代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当当042qp时时, 有两个相异实根有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为因此方程的通解为xrxreCeCy2121( r 为待定常数为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令的解为所以令的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:2022年年6月月2日星期四日星

17、期四21042qp时时, 特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x , 则得则得,12xrexy 因此原方程的通解为因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru2. 当当2022年年6月月2日星期四日星期四22042qp时时, 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复

18、根irir21,这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx3. 当当2022年年6月月2日星期四日星期四23),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xC

19、xCeyx特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .小结：小结：2022年年6月月2日星期四日星期四24450yyy求求方方程程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程2450 ,rr特征根特征根:1215 ,rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为512xxyC eC e解解: 特征方程特征方程因此原方程的通解为因此原方程的通解为利用初始条件得利用初始条件得于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为例例12440 ,rr221 rr特征根特征根 )(e212xCCyx. 1, 121CC2e1()xyx2022年年6月月2日星期

20、四日星期四25解解: 所给微分方程的特征方程为所给微分方程的特征方程为22100rr它有一对共轭虚根它有一对共轭虚根 113ri 213ri 故所求通解为故所求通解为 12ecos3sin3xyCxCx2022年年6月月2日星期四日星期四26xxttfxtttfxxf00d)(d)(21)(xttfxf0d)(2)()()(xfxf 这是二阶常系数齐次线性方程这是二阶常系数齐次线性方程.易求解易求解.2022年年6月月2日星期四日星期四27内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根特征根:21, rr(1) 当当时时, 通解为通解为xrxreCeCy212121rr (2) 当当时时, 通解

21、为通解为xrexCCy1)(2121rr (3) 当当时时, 通解为通解为)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .课后练习课后练习习题习题83 1-22022年年6月月2日星期四日星期四28思考练习 1.求方程求方程0 yay的通解的通解 .答案答案:0a通解为通解为xCCy21:0a通解为通解为xaCxaCysincos21:0a通解为通解为xaxaeCeCy212022年年6月月2日星期四日星期四293. 常系数非齐次线性微分方程 第第八章章 (Constant coefficient non-homogen

22、eous linear differential equation)( )( )xmf xeP x型型xxPexflxcos)()( )sinnP xx型型一、一、三、小结与思考练习三、小结与思考练习二、二、2022年年6月月2日星期四日星期四30)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为Yy *y非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系

23、数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法2022年年6月月2日星期四日星期四31一、 型)()(xPexfmx 为实数为实数 ,)(xPm为为 m 次多项式次多项式 .)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx设特解为设特解为, )(*xQeyx其中其中 为待定多项式为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xQ (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02qp即则取则取),(xQm从而得到特解从而得到特解形式为形式为. )(*xQeymx)()2(

24、xQp)()(2xQqp)(xPmQ (x) 为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式2022年年6月月2日星期四日星期四32(2) 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为xmexQxy)(*(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为xmexQxy)(*2小结小结对方程对方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2

25、(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解2022年年6月月2日星期四日星期四331332 xyyy求方程的一个特解的一个特解.解解: 本题本题而特征方程为而特征方程为,0322rr不是特征方程的根不是特征方程的根 .设所求特解为设所求特解为,*10bxby代入方程代入方程 :13233010 xbbxb比较系数比较系数, 得得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为于是所求特解为.31*xy0,0例例52022年年6月月2日星期四日星期四34先求对应齐次方程的通解，其特征方程是先求对应齐次方程的通解，其特征方程是 0652 rrxxCCY3221ee2yAxBxC2022年年6月月2日星期四日星期四35. 2106652)106(622xxCBAxABAx. 2652,10106, 66CBAABA从而所求方程的通解为从而所求方程的通解为23212ee.xxyCCx2022年年6月月2日星期四日星期四36解解: 参见教材参见教材.解解: 参见教材参见教材.