第4.3节 协方差与相关系数——概率论与数理统计(李长青版)

1、第三节第三节 协方差及相关系数协方差及相关系数问题问题 对于二维随机变量对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布已知联合分布边缘分布边缘分布 对二维随机变量对二维随机变量,除每个随机变量各自除每个随机变量各自的概率特性外的概率特性外, ()()E XEX YEY数数反映了随机变量反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系之间的某种关系去去反映这种联系反映这种联系.相互之间可能还有某种联系相互之间可能还有某种联系, 问题是用一个怎样的数问题是用一个怎样的数()()E XEX YEY为为 X ,Y 的协方差的协方差. cov( , )()()X YE XEX YEY称称cov( , )cov(

2、 , )DXX YX YDY为（为（X , Y ）的协方差矩阵的协方差矩阵可以证明可以证明 协方差矩阵为半正定矩阵协方差矩阵为半正定矩阵协方差的定义协方差的定义定义定义 称称 记为记为 协方差的性质协方差的性质q cov( , )cov( ,)X YY Xq q q ),cov(),cov(YXabbYaX),cov(),cov(),cov(ZYZXZYXcov(,)X XDX()E XYEXEY,;a b 为常数q 2|cov(, )|X YDX DY当当DX 0, DY 0 时，当且仅当时，当且仅当0( )()1P YE Yt XE X时时, 等式成立等式成立. Cauchy-Schwar

3、z不等式不等式 协方差的数值虽然在一定程度上反映了协方差的数值虽然在一定程度上反映了X和和Y相互间的联系相互间的联系, 但其值还受但其值还受X和和Y本身取值大小的本身取值大小的影响影响, 比如比如X和和Y同时增大到同时增大到k倍倍, 即即X1= kX, Y1= kY, 这时这时X1和和Y1间的相互联系与间的相互联系与X和和Y间的相互联系是间的相互联系是相同的相同的, 然而协方差却增大到了然而协方差却增大到了k2倍倍, 即即211cov()cov().X ,YkX,Y为了克服协方差的这一缺点为了克服协方差的这一缺点, , 将将随机变量标准化随机变量标准化, ,取取*XEXXDX，*YEYYDY，

4、则则()( )cov(, )cov(,)()( )()( )XE XYE YX YXYED XD YD XD Y若若D X 0, DY 0 ,称称为为X ,Y 的相关系数的相关系数)()(),cov(YDXDYXXY若若, 0XY 称称 X ,Y 不相关不相关.无量纲无量纲 的量的量相关系数的定义相关系数的定义2()()22cov(,)cov(, )()()kXkYkX kYkX YD kXD kYk DXk DYcov(, ).XYX YDXDY由此知由此知, , 相关系数确实克服了协方差的不足相关系数确实克服了协方差的不足. .相关系数就是相关系数就是标准化随机变量间的协方差标准化随机变量

5、间的协方差, 并且有并且有 相关系数的意义和性质相关系数的意义和性质q q 1|XY1|XY即即Y 与与X 有线性关系的概率等有线性关系的概率等于于1，这种线性关系为这种线性关系为程度的量程度的量相关系数相关系数是表征随机变是表征随机变量量X与与Y之间线性关系紧密之间线性关系紧密0( )()1P YE Yt XE Xq 0XYX , Y 不相关不相关0),cov(YX()E XYEX EY()D XYDXDYX ,Y 相互独立相互独立X , Y 不相关不相关X与与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系关系.时，时，X 与与 Y 之间以概率之间以概率1存在

6、线性关系；存在线性关系； 1XY当当越接近于越接近于0时时, X 与与 Y 之间的线性关系越弱之间的线性关系越弱; XY时，时，X 与与 Y 之间不存在线性关系之间不存在线性关系(不相关不相关). 0XY当当 若若 ( X ,Y ) 为离散型，为离散型，11cov(, )()( )ijijijX YxE XyE Y p若若 ( X ,Y ) 为连续型，为连续型，cov( , )( )( ) ( , )d dX Yx E Xy E Y f x y x y 协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的计算例例1 设随机变量设随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为试验证和试验证和X是是Y不相关不相关,

7、但但X和和Y不是相互独立的不是相互独立的. 证证 先求出先求出X和和Y的边缘分布律如下：的边缘分布律如下：kpYkp323( 1)010888EXEY 3311()iiijjiE XYx y p1111( 1)( 1)( 1) 11 ( 1)1 108888 ()E XYEX EY可得可得因此因此0XY故故X, Y是不相关的是不相关的. 又又220,000 088P XYP XP Y故故X, Y不独立不独立. 1(), 02,02,( , )80, xyxyf x y 其它.cov()X,Y()D XY，.XY求求和和解解22007( , )d d()d d86xEXxf x yx yxyx

8、y ，22222005( , )d d()d d83xEXx f x yx yxyx y ，22004()( , )d d()d d.83xyE XYxyf x yx yxyx y .例例2 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数由期望的计算公式可得由期望的计算公式可得由由x,y 在在f (x,y)的表达式中的对称性的表达式中的对称性, 可知可知76EYEX，225.3EYEX4491cov(, )()33636X YE XYEX EY ，2225711()( )3636DYDXEXEX，5()2cov(, )9D XYDXDYX Y，cov(, )1.11XYX YDXD

9、Y 例例3 设设 U(0,2 ) , X=cos , Y=cos( + ), 是给定的常数，求是给定的常数，求 XY 解解其他0,20,21)(ttf201cos0,2EXtdt201cos()0,2EYtdt2011()cos cos()cos22E XYttdtcos21),cov(YX, 0若若1XYXY ,若若1XYXY 1|XYYX,有线性关系有线性关系,23,2若若0XYYX,不相关，不相关，但但YX,不独立不独立.虽然虽然 X, Y 没有线性关系，但有函数关系没有线性关系，但有函数关系122YX例例4 设设 ( X ,Y ) N ( 1 , 2; 12, 22 ; ), 求求 XY 解解12cov( , )()() ( , )d dX Yxyf x y x y 222122(1)122()ed d21utttuu t uts令22