梯度与方向导数

1、 87 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数二、梯度二、梯度方向导数与偏导数的关系、三元函数的方向导数梯度与方向导数、梯度的模、方向导数的最大值等高线、梯度与等高线的关系三元函数的梯度、等量面数量场与向量场、势与势场一、方向导数一、方向导数 设函数zf (x，y)在点P (x，y)的某一邻域U(P)内有定义自点P引射线 l 设 x 轴正向到射线 l 的转角为j ，并设P (xx，yy) 为 l 上的另一点且P U(P)若此极限存在， 则称此极限为函数 f (x，y)在点P 沿方向 l 的方向导数，lf记作 ，即22)()(yx其中r OxyPljPxyrr),(),(lim0y

2、xfyyxxf考虑，lfrr),(),(lim0yxfyyxxf，r lf 定理 如果函数zf (x，y)在点P (x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且有方向导数与偏导数的关系：xfyf = cos j sin j ，其中j为x 轴到方向l 的转角)(royyfxxf 简要证明： f(xx，yy)f(x，y)r),(),(yxfyyxxfrrrr)(oyyfxxflf 定理 如果函数zf (x，y)在点P (x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且有方向导数与偏导数的关系：xfyf = cos j sin j ，其中j为x 轴到方向l

3、 的转角)(royyfxxf 简要证明： f(xx，yy)f(x，y)r),(),(yxfyyxxfrrjj)(sincosoyfxflfrr),(),(lim0yxfyyxxfjjsincosyfxf讨论函数 zf (x，y)在点P 沿x 轴正向和负向， 沿 y 轴正向和负向的方向导数如何?讨论： 根据公式lfxfyf = cos j sin j 提示： 沿x 轴正向时， cos j 1， sin j 0， 沿x 轴负向时，cos j 1， sin j 0，xf；lfxfyf = cos j sin j xflfxfyf = cos j sin j ， 例1 求函数zx e 2y在点P (1

4、，0)沿从点P (1，0)到点Q(2，1)的方向的方向导数因此 x 轴到方向因为l 的转角为j 4 xzyz e 2y，2x e 2y故所求方向导数为在点(1，0)处， 1， 2xzyzlz4 1cos( )2sin( )4 22 xyO-112PQPQ 解 这里方向 l 即向量 1，1的方向，x轴到射线l 的转角为j ，rx 轴到 的转角为q ，2 讨论：jq 和j q 时的方向导数xr22yxxrxyr22yxyry 解 因为sin q cos q ，lr所以cos q cos j sin q sin j cos(qj)Oxylj 例2 设由原点到点(x，y)的向径为 ，rlr22yx r

5、其中r| | (r 0)求 ，q r(x, y)222)()()(zyx其中r ，xr cos a ，yr cos b ， 对于三元函数uf (x，y，z) ，定义它在空间一点P (x，y，z)着方向(设方向的方向角为a 、b 、g )的方向导数如下lfrr),(),(lim0zyxfzzyyxxf，zr cos g 如果函数在所考虑的点处可微分， 有xfyfzf= cos a sin b cos g lf三元函数的方向导数：二、梯度二、梯度 设函数zf (x，y)在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于任一点P (x，y) D 及任一方向l ，有称为函数f (x，y) 在点P 的梯度，记作

6、grad f (x，y)，即grad f (x，y) lfxfyf cos j sin j xfyf ， cos j ，sin j ，其中向量xfiyfjxfiyfj梯度与方向导数：lfxfyf cos j sin jxfyf ， cos j ，sin j 设 cos j sin j 是与 l 方向同方向的单位向量，则eij grad f (x，y) eeyxf),(| grad f (x，y)| cos ( grad ) 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值讨论： 已知方向导数为lf的最大值是什么？结论：梯度的模：| grad f

7、(x，y)|22yfxflfxfyf cos j sin jeyxf),(| grad f (x，y)| cos ( grad ) czyxfz),( 曲面z f (x，y)上的曲线等高线：在xOy面上的投影曲线f (x，y)c称为函数zf (x，y)的等高线xyyxffffdxdy)(11梯度与等高线的关系： 等高线 f (x，y)c上任一点P (x，y)处的法线的斜率为yxOgrad f (x，y) fy fxgrad f (x, y)法线的方向向量是什么？PyxO f (x，y)c f (x，y)c1(c1c)所以梯度 + 为等高线上点P 处的法向量xfiyfj 函数zf (x，y)在点

8、P (x，y)的梯度的方向与过点P的等高线 f (x，y)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线， 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向xyyxffffdxdy)(11梯度与等高线的关系： 等高线 f (x，y)c上任一点P (x，y)处的法线的斜率为所以梯度 + 为等高线上点P 处的法向量xfiyfj三元函数的梯度： 设函数uf (x，y，z)在空间区域G 内具有一阶连续偏导数，对于每一点P (x，y，z) G ，函数 uf (x，y，z)在该点的梯度grad f (x，y，z) 定义为：结论结论：三元函数的梯度是

9、这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值zfkgrad f (x，y，z) + + xfiyfj等量面： 曲面 f (x，y，z)c为函数uf (x，y，z)的等量面 函数uf (x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P 的等量面 f (x，y，z)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面， 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数221yx 例3 求grad 221yx 解 这里 f(x，y) xfyf因为222)(2yxx，222)(2yxy，222)(2yxxi221yx 所以 grad222)(2yxyj 例4 设f (x，y，z)x2y2z2 ， 求grad f (1，1，2) 解 grad f fx，fy，fz 2x，2y，2z，于是 grad f (1，1，2)2，2，4 如果与点M相对应的是一个向量 (M)，则称在这空间区域GF 如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量 f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等)一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定数量场与向量场：内确定了一个向量场(例如力场、速度场等)一个向量场可用一个向量函数 (M)来确定，而F其中P(M)，Q(M)，R