数学：121《排列》课件(新人教A版选修2-3)

1、排列与组合排列与组合2.1高考资源网数学学科编辑部制作排列排列1.2.1?,91.1给给出出一一种种简简捷捷的的方方法法呢呢能能否否对对这这一一类类计计数数问问题题性性工工作作而而显显得得繁繁琐琐因因做做了了一一些些重重复复解解决决这这个个问问题题时时计计数数原原理理用用分分步步乘乘法法中中我我们们看看到到节节的的例例在在探探究究.,问题的两个简单例子我们先来分析这类法为了寻求简便的计数方?,1,1,231有多少种不同的选法有多少种不同的选法同学参加下午的活动同学参加下午的活动名名另另名同学参加上午的活动名同学参加上午的活动其中其中一项活动一项活动名参加名参加名同学中选出名同学中选出从甲、乙、

2、丙从甲、乙、丙问题问题.,23:少种不同排法求一共有多序排列顺参加下午的活动在后的前按照参加上午的活动在名名同学中选出从甲、乙、丙个问题我们可以这样来分析这.2,2,2;3,13,1:种方法于是有中去选人能从余下的参加下午活动的同学只学确定后当参加上午活动的同学确定参加下午活动的同步第种方法有人人中任选从午活动的同学确定参加上步第步骤解决这一问题可分两个.12.1,623,23,所示如图种排列的不同方法共有午活动在后的顺序加下参照参加上午活动在前按名名同学中选出在根据分步乘法计数原理上午 下午 相应的排法甲乙甲丙乙甲丙乙甲乙丙丙甲乙丙甲丙乙丙甲乙12.1图图:,于是问题可叙述为象叫做把上面问题

3、中被取的对元素元素?,2c, b, a3少少种种不不同同的的排排列列方方法法一一共共有有多多列列按按照照一一定定的的顺顺序序排排成成一一然然后后个个中中任任取取个个不不同同元元素素从从.623,cb,ca,bc,ba,ac,ab种共有所有不同的排列是?,3,44, 3 , 2 , 12的的三三位位数数共共可可以以得得到到多多少少个个不不同同一一个个三三位位数数个个排排成成每每次次取取出出个个数数字字中中这这从从问问题题:.,3,4,题三个步骤来解决这个问可以分少个不同的三位数不同的排列方法就有多因此有多少种就得到一个三位数的顺序排成一列位个十百按个每次取出个数字中从显然;4,144, 3 ,

4、2 , 1,1种方法有个取个数字中任这在确定百位上的数字步第;3,3,2种方法有个数字中去取下的十位上的数字只能从余当百位上的数字确定后确定十位上的数字步第;2,2,3种方法有中去取个数字下的个位上的数字只能从余字确定后当百位、十位上的数确定个位上的数字步第.22.1,24,24234,3,44, 3 , 2 , 1,所示如图个不同的三位数共可得到因而种不同的排法共有排成一列位的顺序个十百按个数字每次取出字中个不同的数这从根据分步乘法计数原理213132214142314143324243321421431432432122.1图图,432,431,423,421,413,412,342,34

5、1,324,321,314,312,243,241,234,231,214,213,143,142,134,132,124,123:数由此可写出所有的三位:2,可归结为可归结为问题问题同样同样?,3d, c, b, a4种不同的排列方法种不同的排列方法共有多少共有多少的顺序排成一列的顺序排成一列然后按照一定然后按照一定个个中取出中取出个不同的元素个不同的元素从从.24234.dcb,dca,dbc,dba,dac,dab,cdb,cda,cbd,cba,cad,cab,bdc,bda,bcd,bca,bad,bac,adc,adb,acd,acb,abd,abc种种共共有有所所有有不不同同的的

6、排排列列有有3141433242434314322121313221414232142143?2 , 1们们推推广广到到一一般般情情形形吗吗你你能能将将它它的的共共同同特特点点是是什什么么上上述述问问题题思思考考?征征吗吗你你能能归归纳纳一一下下排排列列的的特特思思考考).tarrangemen(mn,)n(mn,个元素的一个个元素的一个出出个不同元素中取个不同元素中取叫做从叫做从按照一定顺序排成一列按照一定顺序排成一列个元素个元素个不同的元素中取出个不同的元素中取出从从一般地一般地mm排列排列.,132123;,134123,2.,它它们们也也是是不不同同的的排排列列素素的的排排列列顺顺序序

7、不不同同但但元元虽虽然然元元素素完完全全相相同同与与是是不不同同的的排排列列它它们们的的元元素素不不完完全全相相同同与与中中如如在在问问题题例例同同且且元元素素的的排排列列顺顺序序也也相相列列的的元元素素完完全全相相同同当当且且仅仅当当两两个个排排两两个个排排列列相相同同根根据据排排列列的的定定义义 .A,mnnmmnmn表表示示用用符符号号个个元元素素的的个个不不同同元元素素中中取取出出不不同同排排列列的的个个数数叫叫做做从从个个元元素素的的所所有有个个不不同同元元素素中中取取出出从从排列数排列数 .tarrangemenA的的第第一一个个字字母母排排列列是是英英文文字字; 623A,A,2

8、3, 12323已经算得记为的排列数个元素个不同元素中取出是求从上面的问题.24234A,A,34, 23434已经算得记为的排列数个元素个不同元素中取出是求从上面的问题?nmA,A?A2nmn3n2n又各是多少又各是多少是多少是多少数数个元素的排列个元素的排列个不同元素中取出个不同元素中取出从从探究探究:A,2.12n考虑可以这样求排列数的经验根据解问题.A,.,;,2a,a,an, )32.1(2nn21是排列数所有不同填法的种数就因此到样一种填法得任一个排列总可以由这过来反排列每一种填法就得到一个填一个元素一个空位个去填空取中任意元素个从图空位假定有排好顺序的两个 位位第第1位位第第2种

9、种n种种1n32.1图图;n,1n,1,1种方法有个素中任选个元可以从这个位置的元素填第步第.1n,11n,2,2种方法有个个元素中任选可以从剩下的个位置的元素填第步第.1nnA2 ,2n数为个空位的填法种根据分步乘法计数原理.2n1nnA,3A,3n3n有个空位来考虑可依次填求排列数同理:.事可分为两个步骤完成填空这件填法现在我们计算有多少种.A,.,ma,a,an,42.1m:mA,mnn21mn是是排排列列数数所所有有不不同同填填法法的的种种数数就就因因此此列列排排每每一一种种填填法法就就对对应应一一个个空空位位填填一一个个元元素素一一个个个个去去填填空空中中任任意意取取个个元元素素从从

10、图图个个空空位位假假定定有有排排好好顺顺序序的的来来考考虑虑个个空空位位可可以以按按依依次次填填求求排排列列数数一一般般地地 位位第第1位位第第2位位第第3位位第第m种种n种种1n种种2n种种1mn42.1图图 :m个步骤填空可分为;n,n1,1种选法共有个元素中任选一个填上位可以从第步第;1n,1n2,2种选法共有个填上个元素中任选一位只能从余下的第步第;2n,2n3,3种选法共有个填上个元素中任选一位只能从余下的第步第.1mn,1mnm,1m,m种选法有共个元素中任选一个填上能从余下的位只第个空位都填上后当前面的步第.1mn2n1nnm,种填法个空位共有全部填满根据分步乘法计数原理 我我们

11、们就就得得到到公公式式这这样样,.1mn2n1nnAmn . nm,Nm, n,排排列列数数公公式式这这个个公公式式叫叫做做并并且且这这里里.678A, 45A.nmmn,3825例例如如素素的的所所有有排排列列的的个个数数个个元元个个不不同同元元素素中中取取出出出出从从我我们们就就能能方方便便地地计计算算根根据据排排列列数数公公式式?式式的的特特点点吗吗你你能能概概括括一一下下排排列列数数公公, 1232n1nnA, nm.n,nmn 即有即有这时公式中这时公式中个元素的一个全排列个元素的一个全排列叫做叫做一个排列一个排列个不同元素全部取出的个不同元素全部取出的式式可可以以写写成成不不同同元

12、元素素的的全全排排列列数数公公个个所所以以表表示示用用的的叫叫做做连连乘乘积积的的到到正正整整数数的的连连乘乘积积到到等等于于正正整整数数排排列列数数个个不不同同元元素素全全部部取取出出的的就就是是说说n.! n,n,n1.n1,n,阶乘阶乘! nAnn.1! 0,我我们们规规定定另另外外 .AA3;A2;A1:113131818518410用计算器计算用计算器计算例例:用计器可得解 ;04054PrnSHIFT101PrnSHIFT 182;16002815 PrnSHIFTPrnSHIFT 1831813;160028113 ?!mn! nAAA?,AA,32mnmnnnmn1318518

13、是是否否成成立立即即有有没没有有一一般般性性呢呢这这个个结结果果那那么么我我们们看看到到由由1mn2n1nnA,mn 事实上12mn12mn1mn2n1nn .AA!mn! nmnmnnn.!mn! nAmn排列数公式还可以写成因此,?,14A2共进行多少场比赛共进行多少场比赛分别比赛一次分别比赛一次、客场、客场每队要与其余各队在主每队要与其余各队在主个队参加个队参加联赛有联赛有组组某年全国足球甲级某年全国足球甲级例例.1821314A,.214,11214比赛的总场次是因此元素的一个排列个个元素中任取对应于从客场比赛次次主场比赛与任意两队间进行解 ?,1,3352?,1,33513共共有有多

14、多少少种种不不同同的的送送法法本本人人各各每每名名同同学学本本送送给给本本不不同同的的书书中中买买从从共共有有多多少少种种不不同同的的送送法法本本每每人人各各学学名名同同本本送送给给本本不不同同的的书书中中选选从从例例 .60345A,35,335135因此不同送法的种数是一个排列个元素的个不同元素中任取对应于从学名同本送给本不同的书中选出从解 .12555513,51,52本书的不同方法种数是学每人各名同因此送给种不同的选购方法书都有本送给每个同学的种不同的书由于有 .算步乘法计数原理进行计只能用分,条件符合使用排列数公式的因此不,可能相同由于不同的人得到的书,中2而;属于求排列数问于,到的

15、书的书各人得,名同学3本送3不同的书同的书本5是从1:中两两个问题的区别在3例?,10904重复数字的三位数重复数字的三位数可以组成多少个没有可以组成多少个没有个数字个数字这这到到用用例例.,.0,0,1090来来考考虑虑问问题题殊殊元元素素的的排排列列位位置置入入手手我我们们可可以以从从特特一一般般的的是是一一个个特特殊殊的的元元素素因因此此数数可可以以排排在在任任意意位位置置上上而而其其他他能能排排在在百百位位上上不不因因为为个个数数字字中中这这到到在在本本问问题题的的分分析析可以从余下排十位和个位上的数字步第种选法有个这九个数字中任选到可以从上的数字百位步第因此可分两步完成排列数字不能是

16、百位上的数中位由于没有重复数字的三解法,2;A,190,1., 0,119).(648899AA,).52.1(A,29291929个求的三位数有所根据分步乘法原理图种选法有个个数字中任选的.648AAA,.A0,A0,A0.3,62.12292939292939个符合条件的三位数有原理根据分类加法计数个三位数有的十位数字是个的三位数有个位数字是个的三位数有不是每一位数字都类的三位数可分成符合条件所示如图解法百百位位十十位位 个个位位个个19A个个2 29A52.1图图百百位位十十位位个个位位个3 39A百百位位十十位位个个位位个个2 29A0百百位位十十位位个个位位个个2 29A62.1图0

17、.648898910AA,10,A0,A310903293102939是即所求的三位数的个数三位数的个数数字的个数字组成的没有重复的差就是用这它们在在百位上的排列数是其中列数为个数字的排个数字中任取这到从解法;,3,01.,4原原理理依依据据的的是是分分步步乘乘法法计计数数数数这这件件事事的的三三位位个个数数组组成成没没有有重重复复数数字字分分步步完完成成选选要要求求根根据据百百位位数数字字不不能能是是解解法法的的解解题题方方法法就就可可以以有有不不同同而而且且思思考考的的角角度度不不同同题题分分解解可可用用适适当当的的方方法法把把问问这这类类计计数数问问题题对对于于例例;,.02原原理理依依据据的的是是分分类类加加法法计计数数完完成成这这件件事事情情分分类类置置为为标标准准是是否否出出现现以以及及出出现现的的位位以以解解法法.),(0,310:3数数的的个个数数到到没没有有重重复复数数字字的的三三位位就就得得即即不不是是三三位位数数的的个个数数的的排排列列数数去去百百位位是是然然后后从从中中减减个个不不重重复复数数